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2025年中考数学解答题系列：不等式与不等式组的实际应用
1．深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间的关系可以近似地看作一次函数，设每月的利润为w（单位：元）（利润=销售额－投入）．如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
2．某科技公司训练模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据集包含个字符，图片数据每一个数据集包含张图片．处理一个文本数据集需要秒，处理一个图片数据需要秒．
(1)某次训练任务中，总共处理了个数据集，且处理的总字符数比总图片数多．求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
(2)为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过秒．求有哪几种处理方案？
3．在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表：
原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨）
原料A 20 40 30 600
原料B 50 10 40 800
(1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？
(2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案．
4．2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 2400元
第二周 6台 9台 5100元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
(2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
5．某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件） 所需费用（元）
A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．
6．甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件．
(1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？
(2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？
7．2022年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元．
(1)雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？
(2)每个雪容融售价30元，每个冰墩墩售价24元，商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多15个，在采购总价不超过1290元的情况下，如何安排雪容融和冰墩墩的采购数量，可使全部售完获得的总利润最大？
8．金秋十月，我省某农业合作社种植的玉米喜获丰收，该合作社租用了若干台四行玉米收割机和五行玉米收割机收割玉米．已知每台四行玉米收割机比每台五行玉米收割机每小时少收割4亩玉米；单独使用一台收割机收割完80亩玉米，四行玉米收割机所用时间是五行玉米收割机所用时间的倍．
(1)求每台四行、五行玉米收割机每小时分别收割多少亩玉米．
(2)该合作社计划租用这两种玉米收割机共10台，若这两种玉米收割机每天均工作8小时，且一天至少要收割608亩玉米，则至少应租用多少台五行玉米收割机？
9．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
10．2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．
(1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
11．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
12．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？
《2025年中考数学解答题系列：不等式与不等式组的实际应用》参考答案
1．所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用以及不等式的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键．
先根据每月投入不超过20000元求出x的范围，再列出二次函数求最大值即可．．
【详解】解：由题意得，，
∴，
设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元，
由题意得，，
∵，，
∴当时，W取得最大值，最大值，
即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元．
2．(1)处理了个文字数据集和个图片数据集；
(2)一共有种处理方案，方案一：处理个文字数据集和个图片数据集；方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
【分析】（1）设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，由题意得，解一元一次方程后即可得解；
（2）设第二次训练时处理了个文字数据集，由题意得一元一次不等式组，求解后列出方案即可．
【详解】（1）解：设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
则，
答：处理了个文字数据集和个图片数据集．
（2）解：设第二次训练时处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，则或，
答：一共有种处理方案，
方案一：处理个文字数据集和个图片数据集，
方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出一元一次方程及一元一次不等式组．
3．(1)使用种原料2吨，种原料4吨
(2)使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键．
（1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解．
【详解】（1）解：设使用种原料吨，种原料吨，
根据题意得，
解得，
答：使用种原料2吨，种原料4吨．
（2）解：追肥用量是底肥用量的，
追肥用量为（吨），
设使用种原料吨，则种原料吨，
要求肥料中含有不少于100千克钾，
，
解得，
设总成本为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低．
4．(1)A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元
(2)当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据3台型号，3台型号的销售收入为2400元，6台型号9台型号的销售收入为5100元，列方程组求解；
（2）设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过5880元，列不等式求解；
【详解】（1）解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元．
由题意，得，
解得：，
答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元．
（2）解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台．
由题意，得，
解得：．
设总利润为W元．
由题意，得．
，
W随a的增大而增大．
当时，W有最大值为4320元，此时，．
答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元．
5．(1)A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
(2)当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元．
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，根据A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，列出不等式求出的范围，设获得的利润为w元，根据总利润等于两种商品的利润和，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，
由题意得：，
解得：，
设获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，
此时，，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
6．(1)甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件
(2)甲至少需要加工12小时才能离开
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲需要加工a小时才能离开，根据现有1720个零件需要加工，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，要在规定时间内完成任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件
根据题意，得，
解方程得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件；
（2）解：设甲工作a小时离开，
，
解不等式得，，
∴甲至少需要加工12小时才能离开．
7．(1)雪容融和冰墩墩的进货单价各是24元，18元
(2)当购进45个冰墩墩，20个雪容融时，可使全部售完获得的总利润最大．
【分析】（1）设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是y元，利用总价=单价×数量，根据第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元，列方程组求解即可；
（2）设购进m个冰墩墩，则购进个雪容融，设总利润为w元，利用总价单价数量，结合总价不超过1290元，即可得出关于m的一元一次不等式，然后表示出，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是y元，
根据题意，得，
解得：，
答：雪容融和冰墩墩的进货单价各是24元，18元；
（2）解：设购进m个冰墩墩，则购进个雪容融，设总利润为w元，
根据题意，得，
解得：，
∵
∴w随m的增大而增大
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
∴
∴当购进45个冰墩墩，20个雪容融时，可使全部售完获得的总利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数．
8．(1)每台四行玉米收割机每小时收割6亩玉米，每台五行玉米收割机每小时收割10亩玉米
(2)至少应租用4台五行玉米收割机
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．
（1）设每台四行玉米收割机每小时收割x亩玉米，则每台五行玉米收割机每小时收割亩玉米，根据题意根据题意得方程，解方程即可得到结论；
（2）设租用m台五行玉米收割机一天至少要收割608亩玉米，根据题意得不等式，解不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设每台四行玉米收割机每小时收割亩玉米，则每台五行玉米收割机每小时收割亩玉米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合实际，
．
答：每台四行玉米收割机每小时收割6亩玉米，每台五行玉米收割机每小时收割10亩玉米．
（2）解：设租用五行玉米收割机台，则租用四行玉米收割机台，
根据题意，得，
解得．
答：至少应租用4台五行玉米收割机
9．(1)元
(2)种
(3)；甲种电脑台，乙种电脑台
【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可；
（2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案；
（3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可．
【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元．
依题意，得：，
解得．
检验可知是方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元．
（2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台．
依题意，得：，
解得：．
∵为正整数，
∴，9，10，11，12
∴共有5种进货方案．
答：一共有5种进货方案；
（3）设甲种电脑台，总获利为元．则：
．
∵要使（2）中所有方案获利相同，
∴的结果与无关，
∴，
∴．
∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利
答：的值为200，购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利．
10．(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
(2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键．
（1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可；
（2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可．
【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴种机器人的价格为（万），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为个，
∴由题意可得：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润最大，
把代入可得：，
∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
11．(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元
(2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11或12，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为3辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元．
12．(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元．
由题意，得
解得
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱．
由题意，得
解得．
因为m为正整数，所以m可取40，41，42．
故该商店有三种进货方案：
①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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