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2025年中考数学解答题系列：反比例函数综合
1．电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴、轴分别相交于点、，作轴，垂足为点，连接，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时，直接比较，的大小．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积等于的面积，求点的横坐标；
(3)将在平面内沿某个方向平移得到（其中点、、的对应点分别是、、），若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．
4．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
5．已知反比例函数，正比例函数，请根据表中提供的数据，回答下列问题．
1
(1)试求表格中a，b的值，并画出正比例函数的大致图象；
(2)当时，求x的值；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
6．直线与双曲线交于点，交y轴于点．
(1)求k，m的值；
(2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，．
①当时，求的面积；
②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
7．在物理中，压强，压力，受力面积满足公式．
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）
(2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
8．【问题探究】
下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．
（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________．
③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
【问题解决】
（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，）
9．【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成．
【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）．
【问题解决】
(1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物；
(3)若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点．
(1)则点的坐标为______；
(2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与 轴交于点．
(1)求的值以及点坐标；
(2)为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标．
(3)为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标．
12．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并写出点的坐标：
(2)线段在轴上运动，且点在右侧，求四边形周长的最小时点的坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年中考数学解答题系列：反比例函数综合》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键．
（1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的值即可得到答案．
【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设，把代入中得：，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴当该电磁波的频率为时，它的波长是．
2．(1)
(2)当时，；当时，；当时，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．
（1）先利用，得出点的纵坐标，进而代入，得出点的坐标，即可得出反比例函数的表达式；
（2）由题意结合图像直接进行判断即可，注意交点横坐标的取值．
【详解】（1）解：由，得，
点的坐标为，
当，代入得，
点的坐标为，
,
轴，即轴，
由，可得，
点的坐标为，
，
反比例函数表达式为；
（2）当时，，
当时，．
当时，．
3．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】（1）将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；
（2）如图，作于反比例第一象限的交点为，可得的面积是面积，直线为，再建立方程组求解即可；求解，把直线向上平移4个单位可得，直线与反比例函数在第一象限的交点为，再进一步求解即可；
（3）由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数解析式；
（2）解： 如图，作于反比例第一象限的交点为，与轴的交点为，

∴的面积是面积，
直线为，
∴，
解得：或，
∴，
∵直线为，
当时，，
∴，
∴把直线向上平移4个单位可得，
记直线与反比例函数在第一象限的交点为，此时满足条件；
∴，
解得：或；
∴；
综上：点的横坐标为或；
（3）解：如图，由题意可知， ，
四边形是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称，
，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，平行四边形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
4．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为；
(2)16
(3)点E的坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积；
（3）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，点E的坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
所以点E的坐标为．
5．(1)，，函数图象见解析
(2)的值为或
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、正比例函数的图象与性质、解分式方程，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可，再根据表格画出函数图象；
（2）由题意可得，再解分式方程即可得解；
（3）根据函数图象结合（2）即可得解．
【详解】（1）解：∵时，；时，，
∴，
∴，，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
函数图象如图：
；
（2）解：当时，则，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴的值为或；
（3）解：由图象可得，当时，的取值范围是或．
6．(1)，
(2)①；②
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
（2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可；
②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得：，
∴一次函数解析式为，
∵在的图象上，
∴，
∴，
∵在的图象上，
，
解得：．
（2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
设，则有，
，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
；
②连接，由平移可得：，即，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
，
即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知，
∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到．
7．(1)
(2)这块薄木板的面积至少．
【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键．
（）根据函数解析式即可判断求解；
（）把，代入计算即可求解；
把，代入计算即可求解；
【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
当为定值时，，是的正比例函数，故错误；
当为定值时，是的正比例函数，故正确；
∴正确的有，
故答案为：；
（2）解：把，代入
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
8．（1）①能，②，③不能；（2）6
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键．
（1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答；
③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答．
【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道，
当时，线段能通过直角弯道，
故答案为：能；
②如图，过点作，交于点，
，
，
线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，
，
，
，
，
由题意可得，
，
当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，
，
，
故答案为：；
③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道，
故答案为：不能；
解：（2）如图，过点作轴于点，
第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
把代入，可得，
解得，
反比例函数的解析式为，
设直线与的交点为，则，
过点作轴于点，
则，
，
，
根据（1）中可得与轴的夹角为，
故可设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
令，
解得，
经检验，是原方程的解，
,
，
，
要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为．
9．(1)；
(2)扫地机器人不会触碰到障碍物；
(3)或．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出直线为，再联立求得从而求出判定即可；
（3）分别过、作轴，轴于，设，根据面积公式得，进而分当点在点的右侧时，，和点在点的左侧时，，两种情况讨论求解即可。
【详解】（1）解：设，
∵过
∴，
∴；
（2）解：设直线为，
∵在上，
∴，
∴，
∴直线为，
联立，
解得或（舍去），
∴
∴
∴扫地机器人不会触碰到障碍物；
（3）解：分别过、作轴，轴于，设，
∵，
∴，
∴，
当点在点的右侧时，，，
解得或（舍去），
当时，，
∴，
当点在点的左侧时，，，
解得或（舍去），
当时，，
∴，
综上，机器人的圆心的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键．
10．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系求解即可；
分别求出正比例函数经过点和点时的的值，即可得到的取值范围；求出当点是中点时的坐标，利用待定系数法即可求出的 值；
根据中心对称图形的性质可得：阴影部分的面积是的面积的，根据平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：关于原点中心对称，
点与点关于原点中心对称，
又点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：当正比例函数（为常数，）的图像经过点时，
可得：，
当正比例函数（为常数，）的图像经过点时，
可得：，
解得：，
；
当点是中点时，
点的横坐标为，
点的坐标为，
，
解得：；
故答案为：，；
（3）解：点，的坐标分别为，，点的坐标为，
，点到的距离为，
又和正比例函数的图象都是关于原点的中心对称图形，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、中心对称图形的性质，解决本题的关键是利用中心对称图形的性质求出点的坐标，再根据点的坐标求出阴影部分的面积．
11．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，直角坐标系中的面积，轴对称将军饮马问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键．
（1）将代入即可求出，联立反比例函数与直线解析式即可求出的坐标；
（2）利用一次函数求出，，设，则，利用列式求解即可；
（3）作点作轴的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，此时与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，即可得．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得：或，
故；
（2）解：令，
解得：，
则，，
令，得，
则，，
设，
则，
则，
解得：或，
∴点的坐标为或；
（3）解：作点作轴的对称点，连接，
则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，
此时与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
则．
12．(1)，
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点代入直线与双曲线之中即可得出，，则点，再根据对称性可得点的坐标；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明得，进而得点，则，由此得当为最小时，四边形的周长为最小，作点关于轴的对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，证明四边形是平行四边形得，则，根据“两点之间线段最短”得：，则点、、在同一条直线上时，为最小，即为最小，然后由待定系数法求出直线的表达式为，进而得点的坐标为，由此可得点的坐标；
（3）当点在轴上时，过点作轴于点，先求出，证明得，则点的坐标为；当点在轴上时，过点作轴于点，同理由得，则点的坐标为；综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，
，
解得：，
点，反比例函数的表达式为，
直线与双曲线都关于原点对称，
点、关于原点对称，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
当线段在轴上运动时，四边形的周长为，
当为最小时，四边形的周长为最小，
作点关于轴的对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，如图所示：
，
线段在轴上移动，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
点、、在同一条直线上时，为最小，即为最小，
点，点与点关于轴对称，
点，
，
点，
设直线的表达式为，
将点，代入，得：，
解得：，
直线的表达式为，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
此时点的坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示：
则，
点，
，，
在中，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
，
点的坐标为；
当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示：
点，
，，
同理可证明，，
，
，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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