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2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．
(1)画出三角形；
(2)若三角形是由三角形平移后得到的，且的坐标是，请你画出三角形，并写出点与点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的对应点．连接．
(1)点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_______；
(2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设．
(1)求点的坐标：（用含的代数式表示）
(2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标是．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)将三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，在坐标系中画出三角形，并写出三点的坐标；
(3)点是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点P的对应点，则点的坐标为______．
5．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
(1)已知点A的坐标为，
①若点B的坐标为，点A，B的“相关矩形”的面积是 ；
②点C在直线上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求点C的坐标．
(2)已知点M的坐标为，若在二次函数图象上存在点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
6．综合与实践
【问题背景】
在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）求的面积．
【解决问题】
（2）若，，，求四边形的面积．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标．
【拓展延伸】
（4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，、．
(1)求点的坐标；
(2)若是线段上的动点，问是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．
(3)若是线段上的动点，是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．
8．如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，且
(1)求a、b的值并写出A、B两点的坐标；
(2)点C在x轴上，三角形的面积是三角形面积的一半，求点C的坐标；
(3)如图2，点在x轴负半轴，，交y轴于点D，直接写出点D的坐标．
9．在平面直角坐标系中，点坐标分别为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，点在延长线上，连接，是上一点，过点作的垂线交轴于点，点坐标，垂足为，当时，求点坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，长方形的顶点，，点在第二象限．
(1)点的坐标为______；长方形的面积为______；
(2)将长方形沿轴向右平移，得到长方形，点，，，的对应点分别为，，，.长方形与重叠部分的面积为．
小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图2）S最大；
小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图3），即的中点与的中点恰好重合时S最大．
请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的S比较大，并说明理由（提示：设与长方形的边、分别交于、两点，可令图中的）
11．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形中，，，．
(1)如图1，O为的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，点P是边上一个动点，当直线是的等腰分割线时，求的长度．
(3)如图3，若将放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
12．如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
(1)点的坐标是__________；
(2)如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
《2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合》参考答案
1．(1)画图见解析
(2)画图见解析，，
【分析】（）根据点的坐标描出各点，再相连即可；
（）根据的坐标可知三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，据此可画出图形，再根据图形写出点与点的坐标即可；
本题考查了坐标与图形，图形的平移，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，．
2．(1)，，
(2)在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍，
【分析】（）根据平移的性质解答即可求解；
（）设点的坐标为，则，可得，解方程求出即可求解；
本题考查了点平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由平移得，点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴四边形的面积，
故答案为：，，；
（2）解：在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍，理由如下：
设点的坐标为，则，
∵，
∴，
∵三角形的面积是三角形面积的倍，
∴，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
3．(1)
(2)线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由见详解
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用．
（1）作轴于，则，先证出，再证明，得出，，求出，即可得出点的坐标；
（2）连接，与交于点，先证明四边形是正方形，得出，，再证出四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】（1）解：
如图所示，过点作轴于，则，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）解：线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由如下：
如图所示，连接与交于点，
，，，
四边形是矩形，
又，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5．
4．(1)，
(2)画图见解析，，，
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；
（2）先确定平移后的点的坐标，再顺次连接即可得出；
（3）根据坐标的平移方式（左减右加，上加下减）即可确定平移后的坐标．
【详解】（1）解：根据图形，得，；
（2）解：如图，即为所求，
，，
（3）解：∵三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，
∴点的对应点点的坐标为
故答案为：．
5．(1)①8；②点C的坐标为或
(2)或
【分析】（1）①首先画出图形，然后根据矩形面积公式求解即可；
②设，根据题意分两种情况，然后根据正方形的性质列方程求解即可；
（2）设，根据题意得到，然后分两种情况讨论，分别根据判别式求解即可．
【详解】（1）①如图所示，
∴点A，B的“相关矩形”的面积是；
②∵点C在直线上，
∴设
如图所示，
当点C在位置时，
∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴
解得
∴；
当点C在位置时，
∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴
解得
∴；
（2）∵点N在二次函数图象上
∴设
∵点M的坐标为，点M，N的“相关矩形”为正方形
∴
∴
当时，
整理得，
根据题意得，
解得；
当时，
整理得，
根据题意得，
解得；
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】此题考查了坐标与图形，一次函数和二次函数的上点的坐标特点，正方形的性质，解题的关键是正确画出图形表示出点的坐标．
6．（1）；（2）9；（3）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键．
（1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案；
（3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案；
（4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为
∴轴，
∵点坐标为，
∴点B到的距离为，
∴；
（2）当，，时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，点M是中点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴点N的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）∵，，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于四边形面积的3倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
7．(1)点坐标为
(2)是定值，其值为1
(3)是定值，其值为
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，找到角或面积之间的关系是解题的关键．
（1）由条件可知点的纵坐标和点的相同，延长交轴于点，可求得的长，可求得点的横坐标；
（2）过点作，交于点，则由平行的性质可得出，可得出结论；、
（3）设平行四边形的边上的高为，则可表示出和的面积和，表示出平行四边形的面积，可找出其关系，得出结论．
【详解】（1）解：
如图 1，延长交轴于点，
四边形为平行四边形，
，且点坐标为，
，，
点坐标为；
（2）解：
如图 2，过点作，交于点，
，
，
，， ，
，
是定值，其值为1；
（3）解：设平行四边形的边上的高为， 则，，，
∴，
∴，
是定值，其值为．
8．(1)，，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）设．根据构建方程求出m即可解决问题．
（3）如图2中，连接，，由，推出，由此构建方程求出即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，，且，
∴，，
∴，；
（2）解：设．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴C的坐标为或．
（3）解：如图2中，连接，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出，即可而得出结论；
（2）由（1）知，求出，利用勾股定理逆定理即可证明结论；
（3）过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，证明，结合题意证明，求出，得到，再证明，推出，，即可得到点坐标为．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（3）解：过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点坐标为．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确构造三角形全等时解题的关键．
10．(1)，
(2)小张同学猜想的位置的S比较大，理由见解析
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，解题关键是利用等腰直角三角形和长方形的性质，通过合理设未知数来计算重叠部分面积并比较大小 ．
（1）由，，，及四边形是矩形即可得出答案；
（2）分别求出两种情况的面积，再比较即可，具体减详解．
【详解】（1）解：，，，
，，
四边形是矩形，
，，，
点的坐标为；长方形的面积为，
故答案为：，；
（2）小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图，
是等腰直角三角形，
，
将长方形沿轴向右平移，得到长方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
长方形与重叠部分的面积为长方形的面积；
小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图，
此时的，
的面积，
长方形与重叠部分的面积为长方形的面积长方形的面积，
，
小张同学的方法使得重叠部分的面积更大．
11．(1)是
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形；
（2）设，①当，根据勾股定理列方程得：，解出x即可，②当时；可得；
（3）分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论，当时可求出点；当时，可求出，当时，Q不在边上，舍去．再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为或；
【详解】（1）解：，O为中点，
在中，，
和是等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
故答案为：是．
（2）解： ①当时，，
设，
①当，
在中，，
，
解得：，
即：；
②时，；
即的长为或；
（3）解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，舍去．
②若为等腰三角形．
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综合以上可得点Q的坐标为或或或
故答案为：或或或
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题的关键是正确理解题意，了解等腰分割线的意义．
12．(1)
(2)①当或时，是直角三角形；②或
【分析】（1）首先求出，然后得到，进而求解即可；
（2）①由题意，得，，得到，然后分两种情况讨论：当时和当时，根据题意分别求解即可；
②根据题意分两种情况讨论：当时和当时，然后根据等腰三角形的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①由题意，得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴只有和两种情况，此时点P只能在线段上，
则；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形；
②如图：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形，
∴，即；
如图3：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
∴，
综上所述：当是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：或．
【点睛】此题考查了坐标与图形综合，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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