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　专题二　第7讲
A组·基础练
1.(多选)(2024·广西卷)如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。M水平向右运动，速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N在(　　)
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【答案】　BC
【解析】　由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，由于两小球质量相等，故碰撞后两小球交换速度，即vM＝0，vN＝v，碰后小球N做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v；在竖直方向上做自由落体运动，即竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动。故选BC。
2.(多选)(2024·甘肃卷)电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．小车的动能不变
B．小车的动量守恒
C．小车的加速度不变
D．小车所受的合外力一定指向圆心
【答案】　AD
【解析】　做匀速圆周运动的物体速度大小不变，故动能不变，故A正确；做匀速圆周运动的物体速度方向时刻在改变，故动量不守恒，故B错误；做匀速圆周运动的物体加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误；做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定指向圆心，故D正确。故选AD。
3.(多选)(2023·新课标全国卷，19)如图，使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻(　　)
A．甲的速度大小比乙的大
B．甲的动量大小比乙的小
C．甲的动量大小与乙的相等
D．甲和乙的动量之和不为零
【答案】　BD
【解析】　根据F－μmg＝ma可得a＝F－μg，因m甲＞m乙，故a甲＜a乙，则任意时刻甲的速度大小比乙的小，A错误；m甲＞m乙，又μ甲＝μ乙，则f甲＞f乙，故甲和乙组成的系统所受合外力向左，合外力的冲量方向向左，即甲的动量大小比乙的小，B、D正确，C错误。
4.(2024·江苏五校模拟)“雨打芭蕉”是文学中常见的抒情意象。当雨滴竖直下落的速度为v时，为估算雨打芭蕉产生的压强p，建立以下模型：芭蕉叶呈水平状，落到芭蕉叶上的雨滴一半向四周溅散开，溅起时竖直向上的速度大小为，另一半则留在叶面上。已知水的密度为ρ，不计重力和风力的影响，则压强p为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】　设芭蕉叶的面积为S，t时间内落到芭蕉叶上面雨滴的质量m＝ρvtS；根据题意有一半的雨滴向四周散开，设竖直向上为正方向，根据动量定理可知F1t＝m×－，另一半则留在叶面上，根据动量定理F2t＝0－，根据压强定义式p＝＝，联立解得p＝，故选D。
5.(2024·江苏宿迁一模)踢毽子是我国传统的民间体育运动。如图是一个小孩在踢毽子，毽子近似沿竖直方向运动，空气阻力与速率成正比。毽子在空中运动过程中(　　)
A．刚离开脚时，加速度最大
B．动量变化率先变小后变大
C．上升的时间等于下降的时间
D．重力的冲量上升过程大于下降过程
【答案】　A
【解析】　毽子上升过程mg＋kv＝ma上，下降过程mg－kv＝ma下，因刚离开脚时速度最大，则加速度最大，选项A正确；动量变化率等于毽子受到的合外力，因上升过程合外力减小，下降过程中合外力也减小，则动量变化率逐渐减小，选项B错误；因上升的平均加速度大于下降的平均加速度，根据h＝at2可知，上升的时间小于下降的时间，选项C错误；根据IG＝mgt可知，重力的冲量上升过程小于下降过程，选项D错误。
6.(多选)(2023·广东卷)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型，多个质量均为1 kg的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力F，推动滑块1以0.40 m/s的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为0.04 s，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为0.22 m/s，关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有(　　)
A．该过程动量守恒
B．滑块1受到合外力的冲量大小为0.18 N·s
C．滑块2受到合外力的冲量大小为0.40 N·s
D．滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N
【答案】　BD
【解析】　取向右为正方向，滑块1和滑块2组成的系统的初动量为p1＝mv1＝1×0.40 kg·m/s＝0.40 kg·m/s，碰撞后的动量为p2＝2mv2＝2×1×0.22 kg·m/s＝0.44 kg·m/s，p1≠p2，则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A错误；对滑块1，取向右为正方向，则有I1＝mv2－mv1＝1×0.22 kg·m/s－1×0.40 kg·m/s＝－0.18 kg·m/s，负号表示方向水平向左，故B正确；对滑块2，取向右为正方向，则有I2＝mv2＝1×0.22 kg·m/s＝0.22 kg·m/s，故C错误；对滑块2，根据动量定理有FΔt＝I2，解得F＝5.5 N，则滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N，故D正确。
7.(多选)(2024·黑龙江大庆模拟)一轻质弹簧两端分别连着木块A和B，静止于光滑的水平面上。木块A被水平飞行的初速度为v0的子弹射中并镶嵌在其中，已知木块B的质量为m，A的质量是B的，子弹的质量是B的，则(　　)
A．子弹击中木块A后，与A的共同速度为v0
B．子弹击中木块A后，与A的共同速度为v0
C．弹簧压缩到最短时的弹性势能为mv
D．弹簧压缩到最短时的弹性势能为mv
【答案】　AC
【解析】　子弹射入A的过程时间极短，根据动量守恒定律可得mv0＝v，解得v＝v0，A正确，B错误；对子弹、木块A、B和弹簧组成的系统，三者速度相等时弹簧被压缩到最短。压缩弹簧最短时，A与B具有共同的速度，根据动量守恒定律有mv0＝v1，此时弹簧的弹性势能为Ep，由能量守恒定律得×v2＝×v＋Ep，解得Ep＝mv，C正确，D错误。
B组·综合练
8.(多选)(2024·宁夏银川一模)如图，质量为m的小球A和质量为4 m的小球B用长为L的弹性绳连接，小球B静止在光滑水平面上，小球A在小球B正上方高为0.72L处以一定的初速度水平向右抛出，小球落地时弹性绳刚好拉直(第一次处于原长)，小球A落地与地面碰撞时，竖直方向的速度减为零，水平方向的速度保持不变，弹性绳始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计小球大小，则(　　)
A．小球A抛出时的初速度大小为
B．小球A抛出时的初速度大小为
C．弹性绳具有的最大弹性势能为mgL
D．弹性绳具有的最大弹性势能为mgL
【答案】　AC
【解析】　小球在空中做平抛运动，则0.72L＝gt2，L＝v0t解得小球A抛出时的初速度大小为v0＝，故A正确，B错误；小球A落地后，当两小球共速时，弹簧的弹性势能最大，根据系统动量守恒以及能量守恒可得mv0＝(m＋4m)v，mv＝×(m＋4m)v2＋Ep解得弹性绳具有的最大弹性势能为Ep＝mgL，故C正确，D错误。故选AC。
9.(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则(　　)
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球以后将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为Mv
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
【答案】　BC
【解析】　从小球冲上小车到小球离开小车的过程，系统在水平方向上动量守恒且系统机械能守恒，设小球离开小车时，小球速度为v1，小车速度为v2，根据动量守恒定律有Mv0＝Mv1＋Mv2，根据机械能守恒定律有Mv＝Mv＋Mv，联立解得v1＝0，v2＝v0，即作用后两者交换速度，小球速度变为零，开始做自由落体运动，A错误，B正确；根据动能定理，小球对小车所做的功W＝Mv－0＝Mv，C正确；小球上升到最高点时，与小车相对静止，有相同的速度v，根据动量守恒定律有Mv0＝2Mv，根据机械能守恒定律有Mv＝2×＋Mgh，联立解得h＝，D错误。
10.(多选)(2024·全国卷)蹦床运动中，体重为60 kg的运动员在t＝0时刚好落到蹦床上，对蹦床作用力大小F与时间t的关系如图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦床水平。忽略空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.15 s时，运动员的重力势能最大
B．t＝0.30 s时，运动员的速度大小为10 m/s
C．t＝1.00 s时，运动员恰好运动到最大高度处
D．运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4 600 N
【答案】　BD
【解析】　根据牛顿第三定律结合题图可知t＝0.15 s时，蹦床对运动员的弹力最大，蹦床的形变量最大，此时运动员处于最低点，运动员的重力势能最小，故A错误；根据题图可知运动员从t＝0.30 s离开蹦床到t＝2.3 s再次落到蹦床上经历的时间为2 s，根据竖直上抛运动的对称性可知，运动员上升时间为1 s，则在t＝1.3 s时，运动员恰好运动到最大高度处，t＝0.30 s时运动员的速度大小v＝10×1 m/s＝10 m/s，故B正确，C错误；同理可知运动员落到蹦床时的速度大小为10 m/s，以竖直向上为正方向，根据动量定理F·Δt－mg·Δt＝mv－(－mv)，其中Δt＝0.3 s代入数据可得F＝4 600 N，根据牛顿第三定律可知运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4 600 N，故D正确。故选BD。
11.(2024·天津一模)如图所示，水平粗糙轨道AB长为L，竖直面内半径为R的四分之一光滑圆弧轨道BC与轨道AB相切于B点，质量为m的物块P以初速度v0从A点向左运动，与静止于B点质量为2m的物块Q发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两物块粘在一起运动，恰能到达轨道最高点C，已知重力加速度为g，物块P、Q均可视为质点，求：
(1)两物块碰后瞬间对轨道B点的压力FN的大小；
(2)物块P与水平轨道AB间的动摩擦因数μ；
(3)碰撞过程中物块P对物块Q做的功W的大小。
【答案】　(1)9mg　(2)　(3)2mgR
【解析】　(1)碰撞后恰好能运动到最高点－(m＋2m)gR＝0－(m＋2m)v2
碰后瞬间FN′－(m＋2m)g＝(m＋2m)
根据牛顿第三定律，压力与支持力等大反向FN＝FN′
解得FN＝9mg。
(2)P从A到B的过程中－μmgL＝mv－mv
碰撞过程中mv1＝(m＋2m)v
解得μ＝。
(3)碰撞过程中W＝·2mv2
解得W＝2mgR。
12.(2024·江苏泰州一模)如图所示，可视为质点的两个小物块A、B并排放在粗糙水平面上，一根轻绳一端固定于水平面上的O点，另一端系在小物块A上。已知mA＝1 kg，mB＝3 kg，A、B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，轻绳长l＝0.314 m，g取10 m/s2，π取3.14且π2＝10。现给A一个向左的初速度v0＝2 m/s，使其绕O点做圆周运动，运动一周时与B发生弹性碰撞。求：
(1)A刚开始运动时所受轻绳拉力的大小FT；
(2)A与B碰前瞬间的加速度大小a；
(3)A与B碰后B滑行的距离s。
【答案】　(1)76.43 N　(2)2 m/s2
(3)1 m
【解析】　(1)A刚开始运动时轻绳拉力提供向心力FT＝mA
解得轻绳拉力的大小FT＝76.43 N。
(2)设A与B碰前瞬间的速度为v，根据动能定理－μmAg·2πl＝mAv2－mAv
解得v＝4 m/s
此时绳子的拉力为FT′＝
根据牛顿第二定律＝mAa
解得a＝2 m/s2。
(3)根据动量守恒mAv＝mAv1＋mBv2
根据机械能守恒mAv2＝mAv＋mBv
解得v2＝2 m/s
B的加速度aB＝μg＝2 m/s2
A与B碰后B滑行的距离s＝＝1 m。
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专题二　功和能、动量
第7讲　动量定理、动量守恒定律
内容 重要的规律、公式和二级结论
2.动量守恒定律及其应用 (3)动量守恒的条件：①不受力；②合外力为零；③内力远大于外力；④某方向的合力为零，则这一方向上动量守恒。
(4)三种表达形式

① 相互作用的两物体组成的系统，两物体相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量 p1＋p2＝p1′＋p2′
一维情形：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
② 系统总动量不变 Δp总＝0
③ 相互作用的两物体组成的系统，两物体动量的增量等大反向 Δp2＝－Δp1
2.“一动碰一静”的完全非弹性碰撞(机械能损失最多)
１
动量、冲量与动量定理
1.冲量的三种计算方法
(1)公式法：I＝Ft，适用于求恒力的冲量。
(2)动量定理法：I＝p′－p，多用于求变力的冲量或F、t未知的情况。
(3)图像法：用F－t图线与时间轴围成的面积可求变力的冲量。若F－t呈线性关系，也可直接用平均力求变力的冲量。
2.动量定理在“四类”问题中的应用
(1)求解缓冲问题。
(2)求解平均力问题。
(3)求解流体问题。
(4)在电磁感应中求解电荷量问题。
(多选)(2024·福建卷)物块置于足够长光滑斜面上并锁定，t＝0时刻解除锁定，并对物体沿斜面施加如图所示变化的力F，以沿斜面向下为正方向，下列说法正确的是(　　)
A．0～4t0，物体一直沿斜面向下运动
B．0～4t0，合外力的总冲量为0
C．t0时动量是2t0时的一半
D．2t0～3t0过程物体的位移小于3t0～4t0的位移
【答案】　AD
据动量定理I合＝Δp≠0，故B错误；根据图像可知t0时物块速度大于2t0时物块的速度，故t0时动量不是2t0时的一半，故C错误；v－t图像与横轴围成的面积表示位移，故由图像可知2t0～3t0过程物体的位移小于3t0～4t0的位移，故D正确。故选AD。
1.气体在流动时会出现分层流动的现象即层流(laminar flow)，不同流层的气体流速不同。相邻两流层间有粘滞力，产生粘滞力的原因可以用简单模型解释：如图，某气体流动时分成A、B两流层，两层的交界面为平面，A层流速为vA，B层流速为vB，vA>vB，由于气体分子做无规则热运动，因此A层的分子会进入B层，B层的分子也会进入A层，稳定后，单位时间内从A层进入B层的分子数等于从B层进入A层的分子数，若气体分子的质量为m，单位时间、单位面积上由A层进入B层的分子数为n，则B层对A层气体单位面积粘滞阻力为(　　)
A．大小：nm(vA－vB)，方向：与气体流动方向相同
B．大小：nm(vA－vB)，方向：与气体流动方向相反
C．大小：2nm(vA－vB)，方向：与气体流动方向相同
D．大小：2nm(vA－vB)，方向：与气体流动方向相反
【答案】　B
【解析】　由题意可知Δt时间内，单位面积上由B层进入A层的分子数为nΔt，则这部分分子的质量为m0＝nmΔt这部分分子的速度由vB变为vA，取气体流动方向为正方向，则根据动量定理有FΔt＝m0vA－m0vB可得，流层A对这部分分子的作用力为F＝nm(vA－vB)，方向与气体流动方向相同，根据牛顿第三定律可知，B层对A层气体单位面积粘滞阻力大小为f＝F＝nm(vA－vB)，方向与气体流动方向相反，故选B。
2. (2024·山东烟台统考)娱乐风洞是一种空中悬浮装置，在一个特定的空间内人工制造和控制气流，游客只要穿上特制的可改变受风面积(游客在垂直风力方向的投影面积)的飞行服跳入飞行区，即可通过改变受风面积来实现向上、向下运动或悬浮。现有一竖直圆柱形风洞，风机通过洞口向风洞内“吹气”，产生竖直向上、速度恒定的气流。某时刻，有一质量为m的游客恰好在风洞内悬浮，已知气流密度为ρ，游客受风面积为S，重力加速度为g，假设气流吹到人身上后速度变为零，则气流速度大小为(　　)
【答案】　C
2
动量守恒定律的应用
(2024·江苏卷)嫦娥六号在轨速度为v0，着陆器对应的组合体A与轨道器对应的组合体B分离时间为Δt，分离后B的速度为v，且与v0同向，A、B的质量分别为m、M。求：
(1)分离后A的速度v1大小；
(2)分离时A对B的推力大小。
(2023·山东新高考联考)在空间技术发展过程中，喷气背包曾经作为宇航员舱外活动的主要动力装置，它能让宇航员保持较高的机动性。如图所示，宇航员在距离空间站舱门为d的位置与空间站保持相对静止，启动喷气背包，压缩气体通过横截面积为S的喷口以速度v1持续喷出，宇航员到达舱门时的速度为v2。若宇航员连同整套舱外太空服的质量为M，不计喷出气体后宇航员和装备质量的变化，忽略宇航员的速度对喷气速度的影响以及喷气过程中压缩气体密度的变化，则喷出压缩气体的密度为(　　)
【答案】　D
3
碰撞中的动量和能量综合问题
(2022·河北卷，13)如图所示，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0.1。重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)若0(2)若k＝0.5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。
【审题指导】
关键表述 物理量及其关系
光滑水平面；在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板 A与B、C与D均发生完全非弹性碰撞，碰撞过程动量守恒
【易错提醒】　(1)碰撞过程没有理清，碰撞的系统选择错误，没有分别对A、B和C、D应用动量守恒定律解题；(2)第(2)问使用牛顿第二定律和运动学公式解题，过程麻烦，计算相对位移出错。
(多选)(2023·河北唐山三模)在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的运动方向。如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三部分组成，各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上
表面的高度为h。一小球以初速度v0水平向右射入
细管，小球的质量与小车的质量(包含细管)相等，
小球可视为质点，忽略一切阻力作用。下列说法正
确的是(　　)
A．小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统动量守恒
B．小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用
D．若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中
【答案】　BCD

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