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第二十讲 与圆有关的位置关系
命题点1 点、直线与圆的位置关系(10考)
1.(2022六盘水)如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
2. (2024广州)如图,⊙O中,弦AB的长为 点C在⊙O上, AB,∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若( 则点 P与⊙O 的位置关系是 ( )
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O外 D.无法确定
命题点2 切线的性质
类型一 切线性质的计算(91考)
3. (2024山西)如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点 D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C 的度数为 ( )
A. 30° B. 40° C. 45°
4. (2024福建)如图,已知点A,B在⊙O上, 直线MN与⊙O 相切,切点为C,且C为. 的中点，则∠ACM等于 ( )
A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°
5. (2024泸州)如图,EA,ED是⊙O 的切线,切点为A,D,点B,C在⊙O上,若 则∠E= ( )
A. 56° B. 60° C. 68° D. 70°
6. 新考法数学文化(2024滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多
解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图， 中， ,AB,BC,CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b的式子表示出. 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )
A. d=a+b-c
7.(2024包头)如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点 P，连接OA，OB,若 则 的度数为 .
8. (2024重庆A卷)如图,以AB 为直径的⊙O与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE,点 D,E均在⊙O上,DE与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点G,连接DG.若. 则 ,DG= .
9. (2024泰安)如图,AB是⊙O的直径,AH是⊙O 的切线,点C为⊙O上任意一点，点D 为 的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点 F.若 则AE的长为 .
10. (2024天津)已知. 中， AB 为⊙O 的弦,直线MN与⊙O 相切于点C.
(Ⅰ)如图①,若 直径CE与AB 相交于点D，求 和 的大小；
(Ⅱ)如图②,若 垂足为G，CG与OB 相交于点F,OA=3,求线段OF的长.
类型二 切线性质的相关证明(107考)
11. (2024盐城)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,过点C作⊙O的切线l，过点A 作 垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:
(2)若 求⊙O的半径.
12. 新考法 结论开放(2024贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点 C，与OF的延长线相交于点 D，AC与OF相交于点 E，
(1)写出图中一个与 相等的角： ；
(2)求证:
(3)若 求PB 的长.
13. (2024陕西)如图,直线l与⊙O相切子点A,AB是⊙O的直径,点C,D在l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:
(2)若⊙O的半径为6, 求EF 的长.
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14. (2024 北京)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,OD平分
(1)求证:
(2)延长DO交⊙O 于点E,连接CE交OB 于点 F,过点B作⊙O的切线交 DE 的延长线于点 P，若 求⊙O半径的长.
命题点3 切线的判定与性质(142考)重难
15. (2024自贡)在 中， ⊙O是 的内切圆，切点分别为D,E,F.
(1)图①中三组相等的线段分别是 ;若 则⊙O半径长为 ；
(2)如图②,延长AC到点M,使 过点M作 于点 N.求证：MN是⊙O的切线.
16. 新考法求两条线段乘积(2024凉山州)如图，AB是⊙O 的直径,点C在⊙O上,AD平分 交⊙O 于点 D,过点 D 的直线 交AC的延长线于点 E，交AB 的延长线于点 F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)连接EO并延长,分别交⊙O于M,N两点,交AD 于点G,若⊙O的半径为2， ,求GM·GN的值.
17. 一题多设问 (2024甘肃省卷)如图，AB 是⊙O 的直径， 点E在AD的延长线上，且
(1)求证:BE是⊙O 的切线;
(2)当⊙O的半径为2, 时，求 的值.
新考法 补充过程、依据(3)在(2)的基础上，求CD的长.下面为小华写的不完整的求解过程，请你帮他补全.
解：如解图，设CD与AB交于点 F.
∵∠ADC=∠AEB,∴DC∥BE,( ① )
∴∠AFD=∠ABE=90°,
∴AB⊥DC,∴∠ACB=∠BFC=90°,
(垂直于弦的直径
② )∴△BCF∽△,③ ,
由(2)得
∴CD= ④ .
[考法源自2024重庆B卷21(2)题]
18. (2024广西)如图,已知⊙O是 的外接圆， 点D,E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点 F，使 连接AF.
(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；
(2)求证:AF与⊙O相切;
(3)若 求⊙O 的半径.
19. 新考法 结合锐角三角形(2024德阳)已知⊙O的半径为5，B，C是⊙O上两定点，点A 是⊙O上一动点，且. 的平分线交⊙O于点 D.
(1)证明:点 D为 上一定点；
(2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点 F.
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若 为锐角三角形，求DF 的取值范围.
20. |一题多设问 (2024武汉)如图， 为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点 D，底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.
新考法 结合尺规作图(3)情用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线，交线段AC 于点 H，若 求线段AH的长.(保留作图痕迹)
第二十讲 与圆有关的位置关系
1. B 【解析】根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆相交的位置关系，故选 B.
2. C 【解析】如解图,记OC与AB 的交点为点 D,∵ OC为半径，AB 为弦，且 ∠ABC=30°∴ ∠AOC=2∠ABC=60°,在△ADO 中,∠ADO=90°,∠AOD=60°,AD=2 ,∵sin∠AOD= 即⊙O 的半径为4,∵OP=5>4,∴点P在⊙O外.
3. D 【解析】∵OD=OB,∴∠ODB=∠B,∴∠AOD=2∠B=80°,∴∠B=40°.∵⊙O与AC 相切于点A,且AB为直径,∴AB⊥AC,即∠A=90°,∴∠C=90°-∠B=90°-40°=50°.
4. A 【解析】∵∠AOB=72°,C 为 的中点,∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=36°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC= .直线 MN与⊙O 相切,切点为 C,OC 为⊙O 的半径,∴ OC⊥MN,∴∠OCM=90°,∴∠ACM=90°-∠OCA=90°-72°=18°.
5. C 【解析】如解图,连接AD,∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,∴ ∠BAD+∠BCD=180°,∵ ∠BAE+∠BCD=236°,∴∠EAD=∠BAE+∠BCD-(∠BAD+ ∵EA,ED是⊙O的切线,根据切线长定理得,EA=ED,∴∠EAD=∠EDA=56°,∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-56°-56°=68°.
6. D 【解析】如解图,设E,F,D为切点,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则OE⊥AC,OD⊥BC,OF⊥AB,OD= 由切线长定理得,AE=AF,CE=CD,BD=BF,∵∠ACB=∠OEC=∠ODC=90°,∴四边形 ODCE是矩形,∵CE=CD,∴矩形 ODCE 是正方形,∴CE= 故A正确，不合题意； 故B正确，不合题意； 2b(c-a)= 2(c-a) (c-b),∵ d>0,∴ d = 故C正确,不合题意;令a=3,b=4,c=5,∴d=a+b-c=3+4-5=2,i而|(a-b)(c-b)|=|(3-4)×(5-4)|=1,∴d≠|(a-b)(c-b)|,故 D错误，符合题意.
解题技巧
1.本题利用切线长定理可知圆外一点到圆上的两条切线长相等，可证出四边形OECD为正方形，根据长度相等得出A 结论；2.由内切圆半径相等，利用面积法将△ABC面积分别用不同的方法表示出来即可得到B结论；利用A，B结论可推出C结论.
7. 105° 【解析】连接 OC,∵ OA=OB=OC,∠AOB= ∠OCB=∠OBC,∵CP是⊙O切线,∴∠OCP=90°,即∠OCB+∠BCP = 90°,∵ ∠BCP = 35°,∴ ∠OBC =∠OCB=55°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°,∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-75°=105°.
8. 8; 【解析】如解图，连接 DO 并延长，交⊙O于点H,连接GH,设CE,AB交于点M,∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,∴AB⊥AC,∴∠CAB=90°.∵四边形ACDE 为平行四边形,∴DE∥AC,AC=DE=8,∴∠BFD=∠CAB=90°,∴AB⊥DE,∴ DF=EF= = √OD -DF =3,∴AF=OA+OF=5+3=8.∵DE∥ 即 解得 DH为⊙O 的直径,∴∠DGH=90°,∴ ∠DGH=∠EFM,∵DG=DG,∴ ∠DEG=∠DHG,∴ △EFM∽△HGD,∴MBC=FM,即 解得
解题技巧
由于AF=AO+OF，利用垂径定理求出 OF的长是解题关键;求线段 DG的长,可利用△EFM∽△HGD∽△CAM去求解.
9. 【解析】∵ AH 是⊙O 的切线,∴∠BAF=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADF=∠ADB=90°,∴∠ADF=∠BAF=90°,∵∠AFD=∠AFB,∴△ADF∽△BAF,∴ 在Rt△ADF中,DF=1,∴AD=2,AF= ,∵点 D 是 的中点,∴∠B=∠DAC,∴∠FAD=∠DAC,∵∠FDA=∠ADE=90°,AD=AD,∴△ADF≌△ADE,∴AE=AF
10. 解:(Ⅰ)∵AB为⊙O的弦,
∴OA=OB,可得∠A=∠ABO=30°.
∵直线MN与⊙O 相切于点 C,CE为⊙O的直径,
∴CE⊥MN,即∠ECM=90°.
又∵AB∥MN,
∴∠CDB=∠ECM=90°.
在 Rt△ODB 中,∠BOD = 90°-∠ABO = 90°-30°=60°.
∴∠BCE=30°.
综上,∠AOB=120°,∠BCE=30°;
(Ⅱ)
解题思路
第一步:连接OC,由 MN为⊙O 的切线,推出OC⊥MN,结合OB∥MN推出∠COB=90°;
如解图,连接OC,∵直线MN与⊙O 相切于点 C,OC为⊙O的半径，
∴OC⊥MN,∠OCM=90°,
∵OB∥MN,
∴∠COB=∠OCM=90°.
第二步:由 CG⊥AB,∠ABO=30°,推出∠CFO =∠BFG=60°;
∵CG⊥AB,∴∠FGB=90°.
∵∠ABO=30°,
∴∠CFO=∠BFG=60°.
第三步：在 Rt△COF中，利用三角函数求出 OF 的长.
在Rt△COF中,
∵OC=OA=3,
11. (1)证明:如解图,连接OC,∵l为⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥l,
∵AD⊥l,∴AD∥OC,
∴∠OCA=∠DAC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ADC,
∴△ABC∽△ACD;
(2)解:∵AC=5,CD=4,
由(1)得△ABC∽△ACD,
即
即⊙O 的半径为
12. (1)解:∠AEO或∠DCE;
(2)证明:如解图,连接OC,
∵PC是半圆O的切线，OC是半圆O的半径，
∴OC⊥DC.
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO.
∵∠DCE+∠ACO=90°,
∴∠DCE+∠CAO=90°.
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC.
∵∠DEC=∠AEO,
∴∠DCE=∠AEO,
∴∠AEO+∠CAO=90°,
∴∠AOE=90°,即OD⊥AB;
(3)解:设OE=x,则OA=2x,
∵OA=OF,
∴EF=OF-OE=OA-OE=x,
∴DE=DC=x+2.
∵OA=OF=OC,
∴OC=2x,
∴OD=2x+2,
在△DOC中,∠DCO=90°.
由勾股定理得，
解得x=4或x=0(舍去),
∴OC=8,OD=10,DC=6,
∵∠ODP+∠P=∠COP+∠P=90°,
∴∠COP=∠D,
即
解题技巧
在第(2)问中，通过切线性质得到角度关系，结合三角形中等边对等角以及对顶角相等得到OD⊥AB；在第(3)问中，确定圆中构造的线段关系，如果有垂直关系，往往联系直角三角形的性质，利用勾股定理求解，或者运用圆的切线垂直于经过切点的半径，构造直角三角形，注意数形结合在求解过程中的灵活运用.
13. (1)证明:∵AB是⊙O 的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=90°-∠ABF.
∵直线l与⊙O 相切于点 A,
∴∠BAD=90°,
∴∠CDB=90°-∠ABF,
∴ ∠BAF=∠CDB;
(2)
解题思路
连接AE,已知r=6,AD=9,AC=12,在 中，由勾股定理可求 BD 的长，再根据 可推出BE=AE，且根据等腰直角三角形边长关系，可求出BE,再由∠BEF=∠BAF及(1)中结论等量代换求出△BEF∽△BDC,即可求出EF的长.
解：如解图①，连接AE，
∵AC=12,AD=9,
∴CD=AC+AD=21,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,AB=2r=12,
∴AE⊥BC,AC=AB.
在Rt△BAD中,
∵∠BAC=∠BEA=90°,
由(1)知∠BAF=∠CDB,
∴∠BAF=∠BEF,
∴∠BEF=∠BDC,
∴ △BEF∽△BDC,
即
解得
一题多解
如解图②，连接AE，
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2r=12,
∴AE⊥BC,AC=AB.
在Rt△BAD中,
∵∠BAC=∠BEA=90°,
过点B 作BG⊥EF于点G,
∵∠BEG=∠BAF=∠BDC,∠EBF=∠CBD,
∴∠BFG=∠ACB.
在Rt△BEG中,EG=BE·cos∠BEG=BE·cos∠ADB
在Rt△ABF中,
在Rt△BFG中,FG=BF·cos∠BFG=BF·cos∠ACB
14. (1)证明:∵OD平分∠AOC,
∴OD∥BC;
(2)解:如解图,连接AC,设⊙O的半径为r.
∵OD∥BC,∴∠POB=∠ABC,△FEO∽△FCB,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴在Rt△ACB中,
∵BP为⊙O的切线,∴∠PBO=90°.
∵∠POB=∠ABC,∴∠P=∠BAC,
∵在Rt△POB中,
类题通法证明两条线段平行的方法：
通过等角(同角)的余角(补角)相等及等边对等角等其他角度间的等量代换，得到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，从而证明两线段平行.
15. (1)解:AD;BE;1;
【解法提示】如解图①，连接OE，OF，设⊙O 的半径为r,∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∴由切线长定理得,CE=CF,AF=AD,BD=BE,在四边形OFCE中,∠OFC=∠C=∠OEC=90°,OF=OE,∴四边形OFCE为正方形,则CF=CE=r,则AF=AD=3-r,BD=BE=4-r,在Rt△ACB中,由勾股定理得,AB=5,∴AD+BD=AB=5,即3-r+4-r=5,解得r=1.
(2)证明:如解图②,连接OD,OE,OF,OA,OM,ON,OB,过点O作OG⊥MN于点 G,
设⊙O的半径为r，
∵MN⊥AB,
∴∠ACB=∠ANM=90°,
∵∠CAB=∠NAM,AM=AB,
∴△CAB≌△NAM,
∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴OD=OE=OF=r,
同理
∴OG=r,
∴OG为⊙O半径,
∵OG⊥MN,
∴MN是⊙O的切线.
解题技巧
先证明出△CAB≌△NAM，再利用面积相等证明出OG的长=半径的长，即可证明MN是⊙O的切线.
16. (1)证明:如解图①,连接OD,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠DAO,∴∠ADO=∠EAD,
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD+∠EDA=90°,
∴∠ADO+∠ADE=90°,
即∠ODE=90°,
∴OD⊥EF,
又∵OD 是⊙O的半径,
∴EF是⊙O 的切线;
(2)
解题思路
第一步:由(1)推出 OD∥AE,即可得△AGE∽△DGO;
解:如解图②,连接OD,MD,AN,
由(1)可得,∠ODF=90°,
∵DE⊥AC,∴AE∥OD,
∴∠EAD=∠GDO,∠AEG=∠DOG,
第二步:由∠F=30°,AD 平分∠BAC,推出∠EAD=∠FAD=∠DFA=30°,即AD=DF.由半径OD=2,求出AD,AE的长;
∵∠F=30°,OD=2,∴∠EAF=∠DOF=60°,
∵AD为∠EAB的平分线,
∴∠DAF=∠EAD=30°,
第三步：根据第一步的相似比例关系，代入第二步求出的AE长，即可求出DG，AG的长；
第四步：由已知条件推出△MGD∽△AGN，即可求出GM·GN的值.
∴∠ADM=∠ANG,
∵∠DGM=∠AGN,∴△MGD∽△AGN,∴MC=CDN,
17. (1)证明:∵BC=BD,∴∠CAB=∠BAE.
∵AC=AC,∴∠ABC=∠ADC.
又∵∠ADC=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.
∵AB是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°,即AB⊥BE.
∵OB 为⊙O的半径,
∴ BE 是⊙O 的切线;
(2)解:∵ OB=2,
类题通法求三角函数值的方法：
求未知角的三角函数值，实质是将所求角放在直角三角形中求线段长的比值，可构造直角三角形或通过等角转化来求解.
(3)解：①同位角相等，两直线平行；②平分弦；③BAC;
18. (1)证明:∵D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴四边形ABDF 是平行四边形；
(2)证明:如解图,连接AD,OB,OC,
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,即AD是 BC的垂直平分线,
∵OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上，即A，O，D 三点共线，由(1)知四边形ABDF 是平行四边形，
∴BC∥AF,∴OA⊥AF,
∵OA是⊙O的半径,
∴AF是⊙O的切线;
(3)解:∵AB=AC,AD是BC的垂直平分线,
易得AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠BAC=2∠BAD,
∵OA=OB 且∠BOD 是△ABO的外角,
∴∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=∠BAC,
在 Rt△BOD 中,
解得OD=8,
∴在Rt△BOD中,
∴⊙O 的半径为10.
易错点拔
在第(2)问中，连接AD后，易证AD⊥AF，但忽视证明AD经过圆心，即无法得到半径与所求证切线垂直的事实，所以解题的关键点在于证明A，O，D三点共线.证明三点共线的方法有两种：一是连接AD，再证明点O在BC垂直平分线AD上，利用的知识点是垂直平分线的判定定理；二是连接AO 并延长交BC 于点H,利用“SSS”证得△AOB≌△AOC,得到AH 是∠BAC的平分线，再根据“三线合一”，得到点D，H重合.
19. (1)证明:∵∠BAC的平分线交⊙O 于点 D,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵B,C是⊙O上两定点,
∴点D为BC上一定点；
(2)解:①DF 与⊙O 相切,理由如下:
如解图①，连接OD.
∴OD⊥BC,
∵BC∥DF,
∴OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,
∴DF 是⊙O 的切线,即 DF与⊙O 相切;
②
解题思路
第一步:当∠ABC为直角时,由BAC=60°,半径为5,可求出AB,BC的长,再由OD⊥BC,可证明 BC，即可求出DF的长；
如解图②,记OD 交 BC 于点 Q,当∠ABC=90°时,AC为直径，
∴AC=10,
∵∠BAC=60°,∴∠ACB=30°,
∵∠BQD=90°=∠FDQ=∠ABC=∠FBQ,
∴四边形 BFDQ 为矩形,
第二步:当∠ACB为直角时,易证∠BOD=∠BAC,即△BOD为等边三角形,OQ=QD,由BC∥DF,得点B为 OF 的中点,推出DF=2BQ,求出DF的长;
如解图③,记OD 交BC 于点 Q,连接BD,当∠ACB=90°时,
∵∠ACB=90°,OD⊥BC,∴OD∥AC,
∴∠BOD=∠BAC=60°,
∵OB=OD,
∴△BOD为等边三角形，
∴OQ=QD,
同理可得
∵BC∥DF,∴B为OF 的中点,∴ 第三步：当△ABC是锐角三角形时，即可得DF的取值范围.
∴当△ABC 为锐角三角形时，DF 的取值范围为
类题通法 切线的判定方法：
1.切点确定，连半径，证垂直：(1)利用平行证垂直；
(2)利用等角转换证垂直；(3)利用三角形全等证垂直；
2. 切点不确定，作垂直证半径.
解题技巧
切线的证明：
①有交点连半径，证垂直：常连接圆心和交点，构造半径，再证明半径与所证直线垂直；
②无交点作垂直，证半径：常过圆心作所证直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.
20. (1)证明:如解图①,连接OA,OD,过点O作ON⊥AB于点 N,
∵△ABC为等腰三角形，O是底边 BC的中点，
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AC与半圆O 相切于点 D,
∴OD⊥AC,
∵ON⊥AB,∴ON=OD,
∴ON是半圆O的半径，
∴AB是半圆O的切线，
即AB与半圆O相切；
(2)解:由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC,
∴∠AOC=90°,∠ODC=90°,
∴∠OAC=∠COD,
∵OF=OD,CF=2,
∴在Rt△ODC中,CD=4,OC=OF+FC=OD+2,
,解得OD=3,
(3)解:如解图②,BH 即为∠ABC的平分线,设BH与AO交于点L,过点L作LM⊥AB于点M,过点H作HK⊥BC于点 K.
∵BH平分∠ABC,
∴∠LBM=∠LBO,
又∵LO⊥BC,LM⊥AB,
∴∠LOB=∠LMB=90°,LM=LO,
在△BLM与△BLO中
∴△BLM≌△BLO(AAS),∴BM=BO,
∵AB=AC=5,BO=CO=4,
∴AM=AB-BM=AB-BO=1,AO=3,
设LO=x,则AL=3-x,ML=x,
在 Rt△AML中,由勾股定理得,
解得
∴设HK=m,则

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