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第二十一讲 与圆有关的计算
命题点1 与弧长有关的计算(70考)
1. (2024安徽)若扇形AOB的半径为6, 则 的长为( )
A. 2πB. 3π C. 4π D. 6π
2. (2024 广安)如图,在等腰三角形ABC中, 以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点 D，E，则 的长度为( )
3. (2024包头)如图,在扇形AOB中, 半径 C是 上一点,连接OC,D是OC上一点,且OD=DC,连接BD,若BD⊥OC,则 的长为 ( )
D. π
4.(2024长春)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A 经过的路径长至少为 cm.(结果保留π)
5. 新考法 真实问题情境(2024苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若 则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π)
6. 新考法 真实问题情境(2024兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转 则n=
7.(2024江西)如图，AB是半圆O的直径，点D 是弦AC延长线上一点,连接BD,BC,
(1)求证：BD是半圆O的切线；
(2)当 时，求 的长.
命题点2 与扇形面积有关的计算
类型一 直接公式法(15考)
8.(2024河南)如图,⊙O 是边长为4 的等边三角形ABC的外接圆，点D是 的中点，连接BD，CD.以点 D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ( )
B. 4π D. 16π
9.(2024长沙)半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 .(结果保留π)
10. (2024 深圳)如图,在矩形ABCD中, O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF 的面积为 .
类型二 直接和差法(56考)
11. 新考法 真实问题情境(2024遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积 ( )
平方米 平方米
平方米 平方米
12. (2024重庆A卷)如图,在矩形ABCD中,分别以点A 和C为圆心,AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若 则图中阴影部分的面积为 ( )
13.(2024吉林省卷)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O 和扇形BOC组成,OB,OC分别与⊙O交于点A, ，则阴影部分的面积为 m .(结果保留π)
14. 新考法 真实问题情境(2024山西)如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1m,点C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为 m .
类型三 构造和差法(32考)
15. (2024日照)如图,在菱形ABCD 中, 点O 是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为( 的扇形EOF，点D 在扇形EOF内，则图中阴影部分的面积为 ( )
D.无法确定
类型四 等积转化法(10考)
16.(2023滨州)如图、某既具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为 ( )
A. πcm
17. (2023 娄底)如图,正六边形ABCDEF 的外接圆⊙O的半径为2,过圆心O的两条直线l ，l 的夹角为( 则图中的阴影部分的面积为 ( )
类型五 容斥原理法(8考)
18. (2023 广安)如图,在等腰直角 中， 以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB 于点E，以点B 为圆心，BC为半径画弧，交AB于点 F，则图中阴影部分的面积是 ( )
A. π-2
19.(2024泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )
命题点3 切线与求阴影部分面积结合(12考)
20. (2024山东省卷)如图,在四边形ABCD中, AB=BC=2AD=2.以点A为圆心,以AD为半径作 交AB于点E，以点 B为圆心，以BE为半径作 交 BC 于点 F,连接FD交 于另一点G，连接CG.
(1)求证:CG为 所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)
21. (2024乐山)如图,⊙O是 的外接圆，AB 为直径，过点 C 作⊙O的切线CD交BA 延长线于点 D，点E为 上一点，且
(1)求证:
(2)若EF垂直平分OB, ，求阴影部分的面积.
命题点4 圆锥、圆柱的相关计算(42考)
22.(2024云南)某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为 ( )
A. 700π平方厘米 B. 900π平方厘米
C. 1200π平方厘米 D. 1600π平方厘米
23.(2024扬州)若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm.
24.(2024齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm.
25.(2024 烟台)如图，在边长为6 的正六边形ABCDEF中,以点 F 为圆心,以 FB的长为半径作 剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
26. 新考法综合与实践(2024广东省卷)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如题图①所示；
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如题图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如题图①所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
命题点5 圆与正多边形的相关计算(17考)
27. (2024雅安)如图,⊙O 的周长为8π,正六边形ABCDEF 内接于⊙O,则 的面积为 ( )
A. 4 C. 6
28. 新考法 数学文化(2023福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“翳之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，⊙O的半径为1，运用 割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 若用圆内接正十二边形作近似估计 可得π的估计值为 ( )
C. 3 D. 2.3
29. (2023河北)如图,点 是⊙O的八等分点,若△P P P ,四边形P P P P 的周长分别为a、b、则下列正确的是 ( )
A. aC. a>b D. a，b大小无法比较
第二十一讲 与圆有关的计算
C 【解析
2. C 【解析】如解图,连接OD,OE,∵AB=AC=10,∠C=70°,∴∠BAC=40°,∠C=∠ABC=70°,∵ OD=OA=OE=OB,∴∠BAC=∠ADO=40°,∠OEB=∠OBE=70°,∴ ∠EOB=40°,又∵ ∠BAC+∠ADO =∠EOB+∠DOE=80°,∴∠DOE=40°,∵OD=OE= AB=5,∴ 的长度为
3. B 【解析】如解图,连接BC,∵OD=DC,BD⊥OC,∴OB=BC,∴△OBC是等腰三角形,∵OB=OC,∴OB=OC=BC,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∵∠AOB=80°,∴ ∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°,∵OA=3,∴AC的长度为
4.8π 【解析】∵将该三角板绕点 B 顺时针旋转，使点 C的对应点 C'落在直线l上，. ∴ 点 A 经过的路径长至少为
5. 8π 【解析】如解图,过点 C作 CM⊥AB 于点 M,∵AC 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O，∴ 60°,∵OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形,∴∠OAB=∠AOB=60°,∵C是△ABO的内心,∴∠CAB=∠CBA=30°,∠ACB = 180°-∠CAB-∠CBA = 120°, 在Rt△ACM中,∵ 的长为 花窗的周长为 ×6=8π.
6. 108 【解析】∵⊙M 转动3周,⊙N上的点 P 随之转动n°,∴点P转动的弧长为3×2π=6π,∵⊙N的半径为10cm, 解得 n=108.
7. (1)证明:∵AB 是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°.∴∠D+∠DBC=90°.
∵∠D=∠ABC,∴∠ABC+∠DBC=90°.
即∠ABD=90°.
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线；
(2)解:如解图,连接OC,
∴OC=OB.
∵∠ABC=60°,∴△OBC是等边三角形,
∴OC=BC=3,∠BOC=60°.∴∠AOC=120°.
∴AC的长为
8. C 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∵四边形 ABDC内接于⊙O,∴∠BDC=120°,∵点 D 为BC 的中点,∴
9.4π 【解析】扇形的面积为
10. 4π 【解析】∵ 为BC中点,∴ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠BOE=45°,同理,∠COF=45°,∴ ∠EOF=180°-∠BOE-∠COF=90°,∴S扇形
11. A 【解析】如解图,过点O作OC⊥AB 于点 C,则AC 米,∠ACO=90°,∵圆的直径为2米,∴ OA = OB = 1 米,在 Rt△AOC 中, OC = 米,∵OA=AB=OB,∴△AOB 为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴淤泥横截面的面积= 平方米.
12. D 【解析】如解图,连接AC,根据题意可得AC=2AD=8,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4,∠ABC=90°,在 Rt△ABC中, .阴影部分的面积
13. 11π 【解析】由题意得,
【解析】∵点 C,D 分别为 OA,OB 的中点
15. A 【解析】如解图,连接DO,记OF,OE 分别交AD,CD边于点 G,H,∵四边形ABCD 是菱形,∴DO⊥AC,∵ ∠ADC = ∠B = 120°,∴ ∠ADO = 60°,在Rt△ADO中,AD=AB=2,OA=AD·sin∠ADO=2× ∵以O为圆心，OA长半径作扇形 EOF， 过点O 分别作AD，CD边的垂线，垂足记为点 M，N，则OM=ON,在△ADC中,∵AD=CD,∠ADC=∠B=120°,∴ ∠DAC=∠DCA=30°,∴∠AOM=∠CON=60°,∴∠MON=60°,即∠MON=∠GOH,∴∠GOM=∠NOH,∴△GOM≌△HON,即S四边形OGDH=S四边形MDNO,在Rt△AOD中,(OA= ,∠DAO=30°,∴OD=AO· 在Rt△DMO中,∠MDO=60°,DN=DM=OD·cos∠MDO 那么S阴影=S扇形EOF-S四边形OGDH=
16. C 【解析】根据圆的对称性可知，题图中三个阴影部分的面积相等.如解图,连接AO ,AO ,O O ,则 是等边三角形，∴ ,弓形AO ,AO ,O O 的面积相等,∴一个阴影部分的面积=扇形AO O 的面积 ∴图中三个阴影部分的面积之和为
17. C 【解析】如解图,连接OA,OB,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB 是等边三角形，∵过圆心的直线l 与l 夹角为60°，⊙O的半径为 正六边形
18. C 【解析】∵ △ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵AC=BC=2 ，∴图中阴影部分的面积是S扇形CAE+S扇形
19. A
20. (1)证明:如解图①,连接BG.
∵AB=BC=2AD=2,
∴AE=AD=1,
∴BF=BE=AB-AE=1.
∵AD∥BF,AD=BF,
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴∠BFD=∠DAB=60°.
∵BG=BF,
∴△BFG为等边三角形，
∴GF=BF=1,∠CBG=60°,
∴CF=BC-BF=1,即CF=GF,
∴ ∠BGC=180°-∠CBG-∠GCF=90°,
∵ BG为 所在圆的半径，
∴CG为 所在圆的切线；
(2)
解题思路
先求出平行四边形的高，将阴影部分的面积用构造和差方法表示出来，根据扇形面积公式，梯形面积公式求解即可.
解:如解图②,连接BG,过点 D 作 DH⊥AB于点 H.由(1)知,四边形ABFD 为平行四边形,△BFG为等边三角形,AD=AE=BE=BF=GF=1.
∴DF∥AB,DF=AB=2,∠FBG=∠BFD=60°,
∴∠ABF=180°-∠BFD=120°,DG=DF-GF=1,
∴∠EBG=∠ABF-∠FBG=60°,
在 Rt△ADH中,
∴ S阴影部分=S梯形ADGB-S扇形DAE-S扇形
21. (1)证明:如解图①,连接OC.
∵CD为⊙O 的切线,点C在⊙O上,
∴∠OCD=90°,即∠DCA+∠OCA=90°.
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°,即∠1+∠OCA=90°.
∴∠DCA=∠1.
∵OC=OB,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴∠DCA=∠3.∴DC∥AE;
(2)
解题思路
第一步：由线段垂直平分线的性质推出OE=BE.判定△OEB为等边三角形，得到∠AOE 的度数；
解:如解图②,连接OC,OE,BE.
∵EF垂直平分OB,
∴OE=BE.
又∵OE=OB,
∴△OEB 为等边三角形.
∴∠BOE=60°,∠AOE=120°.
第二步：再由OA=OE，以及平行线的性质推出∠D；
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°.
∵DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°.
第三步：由第二步∠D的度数可推出AD与AC的关系，得到OC与AD关系；
又∵∠OCD=90°,∴∠DOC=60°.
∵OA=OC,
∴△AOC 为等边三角形.
∴∠OCA=60°,OA=OC=AC.
∴∠DCA=30°.
∴∠D=∠DCA.
∴DA=AC=OA=OC=OE=3.
第四步：根据EF垂直平分OB，求出EF的长，则可计算出△OAE的面积，用直接和差法即可计算出阴影部分的面积.
又∵
22. C 【解析】圆锥的底面圆周长为2π×30=60π厘米,∴圆锥的侧面积为 平方厘米.
23.5 【解析】由题意得圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π(cm),∴圆锥的底面圆的半径为 10π÷2π=5(cm).
24. 【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得2π 解得 R=4.即圆锥的母线长为4cm，∴圆锥的高
25. 【解析】设圆锥的底面半径为r，∵正六边形边长为 6,∴ AB =AF =6,∠BAF =∠AFE = 120°,∴∠AFB=30°,∴BF=2AF· cos 30°=6 ,∵∠BFD=
26. 解:(1)能;
设圆锥滤纸底面周长为C，半径为r，母线为l，漏斗底面半径为 母线长L=7cm，滤纸直径d=10cm,
由题意得 又∵
∴滤纸可紧贴漏斗内壁；
(2)设滤纸围成圆锥形的高为h cm，由(1)可知h=
27. B 【解析】∵⊙O 的周长为8π,∴半径OA=4,∵正六边形内接于圆，∴AB 的度数为 ∠AOB=60°,∴ △AOB 是等边三角形,∴AB=OA=OB=4,如解图,过点O作OM⊥AB于点 M,∴MA=
28. C 【解析】圆的内接正十二边形的面积可以看作12个全等三角形组成，如解图，过点A作AM⊥OB于点 在 Rt△AOM中,sin∠AOB
29. A 【解析】如解图,连接P P ,P P ,∵P ~P 为⊙O的八等分点， 在△P P P 中,P P +P P >P P ,∴a

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