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第二十二讲 尺规作图与无刻度直尺作图
命题点1 五种基本尺规作图
类型一 作图已知
考向1 判断作图结果(47考)
1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的 ( )
A.角平分线
B.高线
C.中位线
D.中线
2.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为 的平分线的有 ( )
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
考向2 根据作图痕迹进行相关判断与计算(93考)
3. (2024眉山)如图,在 中， ，分别以点A，点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，过点E，F作直线交AC 于点 D，连接BD，则 的周长为 ( )
A. 7 B. 8
C. 10 D. 12
4.(2024湖北省卷)如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点 N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 D、画射线 BD，连接AC.若 则 的度数是 ( )
5.(2024武汉)如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：(1)画 (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若 则 的大小是 ( )
6. (2024贵州)如图,在 中，以点A为圆心，线段AB 的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD.若. ,则AD的长为 .
7. (2024山东省卷)如图,已知 以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP 相交于点F,Q.若 则F到AN的距离为 .
8. (2024辽宁)如图,四边形 ABCD 中, 10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC 相交于点 E，连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC 相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 P，作射线EP，与AD 相交于点 F，则FD的长为 .(用含a的代数式表示)
9. (2024日照)如图,以 的顶点 B 为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以A，E为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点 G，交CD的延长线于点 H.
(1)由以上作图可知， 与 的数量关系是 ；
(2)求证:
(3)若 求 的面积.
类型二 根据条件作图
考向3 依据要求直接作图(36考)
10. (2024广西)如图,在 中，
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若 求BE 的长.
11. (2024河南)如图,在 中，CD 是斜边AB上的中线， DC交AC的延长线于点 E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 使 且射线CM交BE于点 F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
12. (2024赤峰)如图,在 中. D是AB中点.
(1)求作：AC的垂直平分线∵.('要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若l交AC 于点E,连接DE并延长至点 F,使 连接BE，CF.补全图形，并证明四边形 BCFE 是平行四边形.
13. (2024威海)感悟 如图①,在 中,点C,D在边BE上, AE,BC=DE.
求证：.
应用 (1)如图②，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E 的左侧)，使得 且 (不写作法，保留作图痕迹)
(2)如图③，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得 且 (不写作法，保留作图痕迹)
考向4 转化类作图(27考)
14.(2024陕西)如图，已知直线l和l外一点A.请用尺规作图法，求作一个等腰直角 使得顶点 B 和顶点 C 都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可.保留作图痕迹，不写作法)
15. 新考法 注重学习过程(2024浙江)尺规作图问题：
如图①，点E是 边AD上一点(不包含A,D),连接CE,用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小浙：如图②，以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC 于点 F，连接AF,则
小江：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则
小浙：小江，你的作法有问题.
小江：哦…我明白了！
(1)证明:
(2)指出小江作法中存在的问题.
16. (2024绥化)已知:
(1)尺规作图：画出. 的重心G；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知 的面积等于 则 的面积是 c m^{2}.
17. (2024连云港)如图,AB与CD相交于点E,
(1)求证:
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形 DMCN，使得点 M 在AC上，点N在BD上.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
18.新考法 传统文化 (2024甘肃省卷)马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知⊙O 和圆上一点 M.作法如下：
①以点M为圆心，OM 长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C;
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若⊙O的半径为2cm,则 的周长为 cm.
19. (2024扬州)如图,已知 及AP边上一点C.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O，使得 (保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(1)、(2)的条件下,若 求BM 的长.
20. 新考法补充过程、依据(2024兰州)观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单更便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图①；他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别最为点 M，N，先将木条的端点M 与点A 重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B、连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点 N在CB延长线上的落点记为点B：
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角.
操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图②，BA=BC，请画出以点A 为顶点的直角，记作
推理论证：(2)如图①，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据；
证明：
与 是等腰三角形.
\therefore \angle B C A = \angle B A C , \angle B D A = \angle B A D . .( 依据1 )
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,( 依据2 )
依据1: ;依据2: ;
拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图③，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图③中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法)
21. 新考法新定义(2024盐城)如图①,E,F,G,H分别是 各边的中点，连接AF，CE交于点M，连接AG，CH交于点 N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”.
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
(2)①如图②,连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都在BD上,当 满足 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图③，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹，不写作法)
命题点2 无刻度直尺作图
类型一 网格内作图(24考)
22.(2024滨州)如图，在边长为1 的正方形网格中，点A，B均在格点上.
(1)AB的长为 ;
(2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB 为边的矩形ABCD，使其面积为 并简要说明点C，D的位置是如何找到的(不用证明)： .
23. 新考法 无刻度直尺画切线(2024吉林省卷)图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，E，O均在格点上.图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴；
(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线.
类型二 根据图形的性质作图(10考)
24.(2024江西)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图①,过点 B作AC的垂线;
(2)如图②，点E 为线段AB的中点，过点B作AC的平行线.
第二十二讲 尺规作图与无刻度直尺作图
1. B 2. D
3. C 【解析】由作图知,EF垂直平分AB,∴AD=BD,∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,∵AB=AC=6,BC=4,∴△BCD的周长=6+4=10.
4. C 【解析】∵AB 为半圆O 的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,∠CAB=50°,∴∠ABC=40°,由作图可得BD 是∠ABC的平分线,∴
5. C 【解析】由作图步骤易知四边形 ABCD 为菱形,∠A=44°,则. ∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=68°.
6. 5
7. 【解析】如解图,过点 F 作 FG⊥AN 于点 G,∵∠PQE=67.5°,∴∠AQF=∠PQE=67.5°.由作图可知,DE 为线段AB 的垂直平分线,AP 平分∠MAN,∴AF=BF= AB=2,∠FAQ=90°-∠AQF=22.5°,∴∠FAG=2∠FAQ=45°,在 Rt△AFG 中,FG=AF·sin∠FAG= .∴F到AN的距离为
解题技巧
解决本题的关键是构造直角三角形，结合对顶角相等，垂直平分线及角平分线性质求出特殊角，利用三角函数解题.
8. a-10 【解析】由作图痕迹可得,AB=AE=10,EF 为∠AEC的平分线,∴ ∠AEF =∠CEF,∵ AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴ ∠AEF=∠AFE,∴AF=AE=10,∴FD=AD-AF=a-10.
9. (1)解:∠1=∠2;
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD,∴∠1=∠H,
由作图步骤得∠1=∠2，
∴∠H=∠2,∴CB=CH;
(3)解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠2=∠AGB,
由作图步骤得∠1=∠2，
∴∠1=∠AGB,∴AG=AB=4,
∵AG=2GD,∴GD=2,
∴BC=AD=AG+DG=4+2=6,
由(2)得CH=BC=6,
如解图，过点H作HK⊥BC，交BC的延长线于点K，∴∠HKC=90°,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,∴∠HCK=∠ABC=60°,在Rt△HCK中,
10.解：(1)尺规作图如解图①所示；
(2)如解图②,∵DE 垂直平分线段AB,
∴EB=EA,∴∠EBA=∠A=45°,∴∠BEA=90°,在Rt△ABE中,BE=AB·cos∠ABE,∴BE=4
11.(1)解：尺规作图如解图所示；
(2)证明:由(1)得,∠ECF=∠A,∴CF∥AB.
∵BE∥DC,∴四边形 CDBF 是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=BD.∴平行四边形 CDBF 是菱形.
解:(1)直线l如解图①所示;
(2)补全图形，如解图②所示，
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证明：由(1)作图知，E为AC的中点，
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∵EF=2DE,即
∴EF=BC,
∵EF∥BC,∴四边形 BCFE 是平行四边形.
13. 感悟:证明:如解图①,过点A作AH⊥BE 于点H,
∵AB=AE,BC=DE,∴∠BAH=∠EAH,BH=HE,
∴CH=DH,∴∠CAH=∠DAH,∴∠BAC=∠EAD;
应用：解：(1)如解图②，点D，E即为所求；(作法不唯一)
(2)如解图③，点D，E即为所求.(作法不唯一)
解题技巧
解决本题的关键是由感悟中总结归纳出作等角可转化为作等线段.
14.解：如解图①，等腰直角△ABC 即为所求.(答案不唯一)
一题多解
如解图②，③，等腰直角△ABC即为所求.
15. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
由作图可知,CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE;
(2)解:如解图,过点A作AG⊥BC于点 G,当CE>AG且CE≤AB时，以点A 为圆心，CE长为半径画弧，此
时这个弧与BC有两个不同的交点F，F'，使得四边形AECF 不能唯一确定.
16. 解:(1)如解图,点G即为所求;
【作法提示】①作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 D;②作AC的垂直平分线交AC于点 F；③连接AD，BF相交于点 G；④标出点 G，点G 即为所求.
(2)15.
【解法提示】∵ G 是△ABC 的重心, 的面积等于 7.5 cm . 又∵ D 是 BC 的中点, 15 cm .
解题技巧
由重心的性质得出S△ABC 与S△ABD 的比值,由D 是BC中点推出S△ABC-
17. (1)证明:∵AC∥BD,
∴∠A=∠B,∠C=∠D.
在△AEC和△BED 中
∴△AEC≌△BED(AAS);
(2)解:菱形DMCN如解图所示:
18. 解:(1)如解图①,点A,B,C即为将⊙O 的圆周三等分；
(2)6
【解法提示】如解图②,连接AM,由(1)可知点A,B,C是⊙O的三等分点，. BC,即△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=∠AMC=60°,∵CM为⊙O 的直径,∴∠CAM=90°,∴AC=MC 的周长为
19.解：(1)如解图①，点O 即为所求作(作法不唯一)；
(2)如解图②，点M 即为所求作(作法不唯一)；
【作法提示】连接BC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AQ 于点 B ，以点B 为圆心，任意长为半径画弧交AQ 于点 C ,D ,分别以点 C ,D 为圆心,大于 的长为半径在C D 上方画弧，交于点 F ，作射线 B F 交AP于点M，点M 即为所求点的位置.
(3)如解图③,连接BM,
由(1)(2)得AC⊥BC,MB =MC=12,
在Rt△AB M中,
∴MA=20,∴AC=AM-CM=8,
在 Rt△ABC中,
设BC=3x,则AB=5x,
由勾股定理得， 解得x=2(负值已舍去),
∴BC=6,
∴在 Rt△BMC中,由勾股定理得,
20. 解:(1)如解图①,∠DAC即为所求作;
(2)等边对等角(或等腰三角形的两个底角相等)；三角形的内角和为180°；
(3)如解图②,∠POQ 即为所求作.
题多解
如解图③；如解图④.(其他作法正确即可，作法不唯一)
【作法提示】如解图④，在直线l上任取一点 E，分别以点O，E为圆心，大于 OE的长为半径作弧，两弧交于点 F，连接EF并延长，以点 F为圆心，以EF的长为半径作弧交EF的延长线于点 G，作射线OG.
21. (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC,
∵E,F,G,H分别是 ABCD各边的中点,
∴四边形AECG为平行四边形，同理得四边形AFCH 为平行四边形，
∴AM∥CN,AN∥CM,
∴中顶点四边形AMCN为平行四边形；
(2)解:①AC⊥BD(答案不唯一);
【解法提示】由(1)得中顶点四边形AMCN是平行四边形,∵AC⊥BD,∴MN⊥AC,∴中顶点四边形AM-CN是菱形.
②如解图，四边形ABCD 即为所求作的平行四边形.
【作法提示】连接AC，作直线MN交AC 于点 O，作ND=2ON,MB=2OM,连接AB,BC,CD,DA即可.
解:
(2)如解图所示，矩形ABCD 即为所求作，取点E，F得到正方形ABEF，AF交格线于点 D，BE 交格线于点 C,连接 DC,得到矩形ABCD 即为所求.
【作法提示】如解图，取点H,G,∵ DG∥FH,∴ADF=ACA 矩形 ABCD的面积为 矩形ABCD 即为所求.
23.解：(1)如解图①，直线EF 即为所求作(作法不唯一)；
【作法提示】如解图①，取格点 E，F，作直线EF，则直线EF 即为所求作.
(2)如解图②，直线GH即为所求作.
【作法提示】如解图②，取格点 G，H，作直线GH，则直线GH 即为所求作.
24. 解:(1)如解图①,直线 BD 即为所求作;
(2)如解图②，BF 即为所求作(作法不唯一).
【作法提示】连接CE并延长交 DA 的延长线于点 F，连接BF，则BF 即为作求作.

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