资源简介

题型七 二次函数与几何图形综合题
类型一 与线段有关的问题
1、(2024天津)已知抛物线 (a,b,c为常数， 的顶点为P，且 对称轴与x轴相交于点 D，点M(m，1)在抛物线上,m>1,0为坐标原点.
(Ⅰ)当 时，求该抛物线顶点 P的坐标；
(Ⅱ)当 时，求a的值；
(Ⅲ)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限， DM 点E 在线段MN上,点 F 在线段DN上, 当 取得最小值为 时，求a的值.
2. (2024甘肃省卷)如图①,抛物线 交x轴于O，A(4,0)两点,顶点为 点C为OB的中点.
(1)求抛物线 的表达式；
(2)过点 C 作 垂足为H，交抛物线于点 E.求线段 CE的长；
(3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图②，当点 F落在抛物线上时，求点 F的坐标；
②如图③,连接BD,BF,求 的最小值.
3. (2024苏州)如图①,二次函数 的图象 与开口向下的二次函数图象 均过点
(1)求图象 对应的函数表达式；
(2)若图象 过点C(0，6)，点P位于第一象限，且在图象 上，直线l过点 P且与x轴平行，与图象( 的另一个交点为Q(Q在P左侧)，直线l与图象( 的交点为M，N(N在M左侧).当 时，求点P的坐标；
(3)如图②，D，E分别为二次函数图象 的顶点，连接AD，过点A作 交图象 于点F，连接EF，当 时，求图象 对应的函数表达式.
类型二 与图形面积有关的问题
4.(2024包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A(1,0),B两点(点A 在点B左侧),顶点为M(2,d),连接AM.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图①，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM.当点C的坐标为 时，求证：
(3)如图②,连接BM,将 沿x轴折叠，折叠后点M 落在第四象限的点 处，过点 B的直线与线段 相交于点 D，与y轴负半轴相交于点 E.当 时， 与 是否相等 请说明理由.
5.(2024湖南省卷)已知二次函数 的图象经过点 点 是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点 B，点P在直线AB的上方，过点P作 轴于点C,交AB 于点D,连接AC,DQ,PQ,若 求证 的值为定值；
(3)如图②，点P 在第二象限， 若点 M在直线PQ上，且横坐标为 过点 M 作 轴于点 N，求线段 MN 长度的最大值.
6. (2024广州)已知抛物线 过点A 和点 直线 过点C(3,1),交线段AB 于点D，记 的周长为 的周长为 且
(1)求抛物线G的对称轴；
(2)求m的值;
(3)直线l绕点 C以每秒 的速度顺时针旋转t秒后( 得到直线l'，当 时，直线l'交抛物线G于E，F两点.
①求t的值；
②设 的面积为S，若对于任意的 均有 成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式.
类型三 与角度有关的问题
7. (2024烟台)如图,抛物线 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 对称轴为直线 将抛物线y 绕点O 旋转 后得到新抛物线y ，抛物线y 与y轴交于点 D， 顶点为E、对称轴为直线
(1)分别求抛物线y 和 的表达式；
(2)如图①，点F的坐标为( 动点M 在直线 上，过点M作MN//x轴与直线 交于点 N,连接FM,DN.求 的最小值；
(3)如图②,点H 的坐标为( ,动点 P 在抛物线y . 上，试探究是否存在点 P，使 若存在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
8.(2024重庆B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 B两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作PD∥x轴交抛物线于点D，作. 于点E，求 的最大值及此时点 P的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点F 为点 P 平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若 请直接写出所有符合条件的点 N的坐标.
类型四 与特殊三角形判定有关的问题
9. (2024达州)如图①,抛物线 与x轴交于点 和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点 M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且 求点 P的坐标；
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点 D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
10. (2024泰安)如图,抛物线 的图象经过点 D(1， 与x轴交于点A，点B.
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线( 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 求抛物线 的表达式，并判断点D 是否在抛物线( 上；
(3)在x轴上方的抛物线( 上，是否存在点 P，使 是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11.(2024长沙)已知四个不同的点 都在关于x的函数 (a,b,c是常数,( 的图象上.
(1)当A，B两点的坐标分别为( ,(3,4)时,求代数式 的值；
(2)当A，B两点的坐标满足 时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
(3)当 时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： 请问是否存在实数 ,使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3 若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：m·EF 表示一条长度等于EF的m倍的线段).
类型五 与特殊四边形判定有关的问题
12.(2024泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线 对称.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形 若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
13.(2024广元)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F +c经过点 与y轴交于点 B(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图①，在直线AB上方抛物线上有一动点 C，连接OC 交AB于点 D，求 的最大值及此时点C的坐标；
(3)如图②，作抛物线F关于直线 上一点的对称图象 抛物线F与 只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线 对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.
14. (2023本溪)如图,抛物线 与x轴交于点A 和点B(4,0),与y轴交于点 C(0,4),点E在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内,过点E作EF∥y轴,交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形 EFGH,当矩形EFGH 的周长为11时,求线段 EH的长;
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N的坐标.
15.(2023呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的交点分别为A 和B(1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，点P是直线AC上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作x轴平行线交AC于点 E，过点P作y轴平行线交x轴于点 D，求 的最大值及点P的坐标；
(3)如图②，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点 P.点M 运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形 PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.
中小学教育资源及组卷应用平台
类型六 与三角形全等、相似有关的问题
16.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线AC的解析式；
(2)点E是第二象限内抛物线上一点，点E 的横坐标为m，过点E作直线 轴于点 D，交线段AC于点 F，在点 E运动的过程中，当 时，求此时m的值；
(3)直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点 若点M是y轴上的一个动点，点N是第三象限抛物线上一点，当 与 全等时，请直接写出点 N的坐标.
17.(2024呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过原点和点A(4，0).经过点A 的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点 C.
(1)求二次函数的解析式及点 C 的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点 P在直线AB上方时，过点P作 轴于点 E，与直线AB交于点 D，设点 P 的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 P，使得 与 相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
18. (2023武汉)抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点 C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图①，作直线 分别交x轴，线段BC，抛物线( 于D,E,F三点,连接CF.若 与 相似，求t的值；
(3)如图②，将抛物线 平移得到抛物线 ，其顶点为原点，直线 与抛物线 交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线 于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P，问点P是否在一条定直线上 若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.
类型七 与圆有关的问题
19. (2023苏州)如图,二次函数 的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴.点P 在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点 P作 垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为 T.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若以⊙M 的切线长 PT为边长的正方形的面积与 的面积相等，且⊙M 不经过点(3，2)，求PM长的取值范围.
20. (2024自贡)如图,抛物线 与x轴交于 B(4,0)两点,顶点为 P.
(1)求抛物线的解析式及P点坐标；
(2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD 的长；
(3)过点 P的直线 分别与抛物线、直线 交于x轴下方的点M，N，直线NB 交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q， 轴于点H.请判断点H 与直线NQ 的位置关系，并证明你的结论.
题型七 二次函数与几何图形综合题
解:(Ⅰ)∵2a+b=0,a=1,
∴b=-2a=-2,
又∵c=-1,
∴该抛物线的解析式为
∴该抛物线顶点 P的坐标为(1，-2)；
(Ⅱ)如解图①,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,
∴∠MHO=90°,
∵M的坐标为(m,1),m>1,
∴HM=1,OH=m.
在Rt△MOH中,∵
解得 (舍去),
∴点M的坐标为
∵2a+b=0,|即
∴b=-2a,抛物线 的对称轴为直线x=1.
∵对称轴与x轴相交于点 D，
∴OD=1,∠ODP=90°.
在Rt△OPD中,
解得 (负值已舍去).
由a>0，得该抛物线顶点 P的坐标为
∴该抛物线的解析式为
∵点 在该抛物线上，
∴a=10;
(Ⅲ)如解图②,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m.
由(Ⅱ)易知,抛物线对称轴为直线x=1,则D(1,0),∴DH=OH-OD=m-1,
∴在Rt△DMH中,
过点 N作NK⊥x轴,垂足为K,则∠DKN=90°.
∵∠MDN=90°,DM=DN,易得∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH,
∴△NDK≌△DMH(AAS),
∴DK=MH=1,NK=DH=m-1,
∴点N的坐标为(2,1-m).
在Rt△DMN中,∠DMN=∠DNM=45°,
即
在△DMN的外部,作∠DNG=∠DME=45°,且 NG=DM,连接GF,MF,DE,
得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
∴△GNF≌△DME(SAS).
∴GF=DE.
∴DE+MF=GF+MF≥GM.
当满足G，F，M三点共线，即点 F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即
在 Rt△GMN中,
得
解得 (舍去),
∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(2,-2).
∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线 上，则
解得a=1.
解题技巧
由题意可知ME=FN,观察发现 DE 所在△DME 中含45°特殊角，于是可以利用ME 和 FN 构造全等三角形，将MF，DE 转化为共顶点线段，然后利用两点之间线段最短确定取最值时的情况，从而进行求解.
2. 解:(1)∵抛物线 的顶点为B(2,2 ),
交x轴于点A(4,0),
解得
∴抛物线的表达式为
(2)如解图①,过点 B作BG⊥OA于点 G.
∵CH⊥OA,
∴CH∥BG,
∵B(2,2 ),
∵点C为OB的中点，
∴C(1, ),
当x=1时,
(3)①如题图②,当 OCFD的顶点 F 落在抛物线上时，点 F，C的纵坐标都等于
解得 (舍去),
②如解图②，
∵四边形OCFD是平行四边形，
∴OB∥DF,OC=DF.
∵OC=BC,
∴ BC=DF.
连接CD,∵ BC∥DF,
∴四边形 BCDF 是平行四边形，
∴BF=CD.
作点B 关于OA的对称点M,连接BM,交CF于点 N,交OA 于点 G,连接DM,CM.
,OA垂直平分BM,
∴BD=DM,
∴ BD+BF=DM+CD≥CM.
当C,D,M三点共线时,DM+CD=CM,即 BD+BF的最小值等于 CM 的长.
∵BM⊥OA,OA∥CF,∴BM⊥CF,
∵C是OB的中点,
即BD+BF的最小值为2
解题技巧
在第(3)②问中，利用平行四边形的判定与性质得到BF=CD,作点B 关于OA的对称点 M,将求解BD+BF最小值的问题转化为求解DM+CD最小值的问题，即求解CM最小值的问题.
3. 解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 中，得 解得
∴图象 C 对应的函数表达式为
(2)
解题思路
第一步：根据题意求出C 的函数表达式及对称轴，在图象上作出对称轴直线x=1，交直线l于点H；
设C 对应的函数表达式为y=a(x+1)(x-3)(a<0),将点C(0,6)代入y=a(x+1)(x-3)中,得a=-2.
∴C 对应的函数表达式为y=-2(x+1)(x-3),其对称轴为直线x=1.
∵图象C 的对称轴也为直线x=1，
∴如解图①，作直线x=1，交直线l于点H，
第二步：由二次函数的对称性得 PH=PM，设PH的长，进而得到点 P，M的横坐标，根据等量关系列式求解即可.
由二次函数图象的对称性得,QH=PH,NH=MH,
∴PM=NQ,
又∵PQ=MP+QN,
∴PH=PM.
设PH=t(0将x=t+1代入y=-2(x+1)(x-3),
得 yp=-2(t+2)(t-2),
将x=2t+1代入y=(x+1)(x-3),
得yM=(2t+2)(2t-2),
∴--2(t+2)(t-2)=(2t+2)(2t-2),
解得 (舍去),
∴点 P的坐标为
(3)
解题思路
第一步：连接DE交x轴于点 G，过点F分别作 FI⊥ED于点I,FJ⊥x轴于点 J,得到四边形IGJF 是矩形,由矩形的性质得IF=GJ,IG=FJ;
如解图②,连接DE交x轴于点 G,过点 F作 FI⊥ED于点I,过点F作 FJ⊥x轴于点 J,
∵FI⊥ED,FJ⊥x轴,
∴四边形IGJF 为矩形,
∴IF=GJ,IG=FJ,
第二步：设C 的函数表达式，求得D，E两点的坐标，得到 tan∠ADG=tan∠FAB,设GJ=m,得到AJ,FJ,点F的坐标；
设C 对应的函数表达式为y=a(x+1)(x-3)(a<0),
∵点 D，E 分别为二次函数图象 C ，C 的顶点，
∴D(1,-4),E(1,-4a).
∴DG=4,AG=2,EG=-4a,
∴在 Rt△AGD中,
∵AF⊥AD,
∴∠FAB+∠DAB=90°,
又∵∠DAG+∠ADG=90°,
∴∠ADG=∠FAB,
设GJ=m(0第三步：结合平行线的性质得到，tan∠ADG =tan∠FEI，利用线段间的等量关系，列式求解即可.
∵EF∥AD,
∴∠FEI=∠ADG,
∴EI=2m,
∵EG=EI+IG,
∵点F在C 上,
即
∵m+2≠0,
由①，②可得
解得 (舍去)
∴图象C 对应的函数表达式为
4.(1)解：∵该抛物线的顶点为M(2，d)，即该抛物线的对称轴为直线x=2，
∴b=8,
将A(1,0)代入 得(0=-2+8+c,
∴c=-6,
∴该抛物线的函数表达式为
(2)证明:如解图①,延长MC交x轴于点 D,
由(1)知抛物线的函数表达式为 则
∴M(2,2),
∵点C的坐标为
设直线MC的函数表达式为
贝 解得
∴直线 MC的函数表达式为 则
∵A(1,0),
又∵∠ADM=∠CDA,
∴△ACD∽△MAD,
∴∠ACD=∠MAD,
∵∠ACD+∠ACM=∠MAD+∠BAM=180°,
∴∠ACM=∠BAM;
(3)
解题思路
主 想到应用三角形相似，求出xD，通过直线AM'的表达式求出yD，再用三角形面积公式计算证得.
解：当 时，
理由如下：
如解图②,过点D作DG⊥x轴,交x轴于点 G,令 即
解得
根据题意得,B(3,0),
∴OB=3,AB=2,
∵DG⊥x轴,OE⊥x轴,
∴OE∥DG,
∴△BDG∽△BEO,
即
∴点D的横坐标为
由折叠的性质得,M'(2,-2),
设直线AM'的函数表达式为y= mx+n(m≠0),
则 解得
∴ 直线AM'的函数表达式为y=-2x+2,
5. (1)解:∵二次函数 的图象经过点A(-2,5),
∴5=-4+c,
∴c=9,
∴二次函数的表达式为
(2)解题思路
第一步：求解出B点坐标，再得到直线AB的解析式；
证明:当y=0时,
∴B(3,0),
设直线AB 的表达式为y= kx+b(k≠0),
将A(-2,5),B(3,0)代入y= kx+b(k≠0)中,
得 解得
∴直线AB的表达式为y=-x+3,
第二步：由 以及点P，Q，D的位置，正确表示出各点坐标，计算出PD，CD；
设 则
第三步：在两个三角形中利用面积公式求解即可得证.
=3,
的值为定值；
(3)
解题思路
根据 ，设出P，Q两点的坐标和直线PQ 的表达式，再利用P，Q两点既在直线PQ上，又在抛物线上的情况，结合 ，将直线 PQ的表达式表示成关于x 的表达式，最后化成顶点式求解即可.
解：设 则 设直线 PQ 的表达式为
∵M在直线PQ上，且横坐标为
∴当 时，
∴当 时，线段MN的长度取得最大值，最大值为
6.解：(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线
(2)∵直线 过点C(3,1),
∴该直线的表达式为
当y=2时,
则
,即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2,
∵C(3，1)在抛物线对称轴上，
∴AC=BC,上式变为:AD=BD+2,
即
而函数的对称轴为直线x=3，由函数的对称性知，
即
则
解得m=±1;
(3)①当m=±1时，一次函数的表达式为 +1=x-2,
该直线和x轴的夹角为45°，
则t=45÷3=15(秒);
②由①知,l'为y=1,如解图:
则
当y=1时,(
即
设点E，F的横坐标为m，n，
∵4>0,
∴当a=1时,EF最小值为4
此时
对于任意的a>0，均有S≥k成立，
∴k的最大值为2
此时抛物线的表达式为
7.解:(1)由题意可知,点A 和点 B 关于直线x=-1对称，
又∵AB=4,
∴A(-3,0),B(1,0),
设抛物线y 的函数表达式为y=a(x+3)(x-1),
∵OC=OA,
∴C(0,3),将其代入y=a(x+3)(x-1)中,解得a=-1，∴抛物线y 的函数表达式为
∵将抛物线y 绕点 O 旋转180°后得到新抛物线y ，
∴抛物线y 的表达式为
解题技巧
中点坐标公式：
(2)由(1)可得,D(0,-3),∵F(-6,0),设M(-1,m),N(1,m),
∴MN=2,
∴ FM+MN+DN最小,即为 FM+DN最小,如解图①，连接DM，
∵y轴垂直平分 MN，且垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴FM+DN=FM+MD,
∴ 当 F,M,D 三点共线时,FM+MD的值最小,连接DF,交直线l 于点 M',
即点 M 与点 M'重合时，FM+MD的值最小，最小值为DF的长,
∵在 Rt△DOF中,
∴ FM+MN+DN的最小值为
(3)存在,点 P 的坐标为(3,0)或
【解法提示】分情况讨论：①当点 P 在直线l 右侧时，如解图②，在直线l 右侧作∠BEH的对称角∠BEP，设∠BEH=α,则∠BEH=∠BEP=α,∵直线l ∥y轴,∴∠DHE=∠BEH=α,∴∠DHE=∠BEH=∠BEP=α,∴∠PEH=2∠DHE=2α,易得此时点 P 的坐标为(3,0)；②当点P在直线l 左侧时，作点 E关于y轴的对称点,如解图③,得到点G(-1,-4),设过点 G,H的直线的解析式为 将点G(-1,-4),点H(0,-2)代入,可得 解得 直线yc n的解析式为y=2x-2,作线段HE 的中点 J,则点 J的坐标为 过点 J作直线l垂直于 EH，交直线ycH于点 L,∵H(0,-2),E(1,-4),易得 设直线 JL的解析式为 n，将点 代入，得 则 解得 易得直线LE 的解析式为 设直线 LE 与抛物线y 交于点 P，则 解得 (舍去)，将 代入 中可得y 点 综上所述，点P 的坐标为(3,0)或
8. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 解得
∴该抛物线的表达式为
(2)
解题思路
第一步：过点 P 作PH∥y轴交 BC 于点H，先求解出BC的长和sin∠BCO的值;
如解图①,过点 P 作 PH∥y轴交直线BC于点H,
当 时，
解得
∴B(6,0),即OB=6,
当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3),即OC=3,
∴在Rt△BCO中,
第二步：利用平行线的性质得到∠PHE=∠BCO，进而可以得到 PH 与 PE间的数量关系；
∵PH∥y轴,
∴∠PHE=∠BCO,
∴在 Rt△PEH中,
第三步：设点P的坐标，可得PH，PD，建立二次函数求解即可.
∵B(6,0),C(0,-3),
∴ 直线 BC 的函数表达式为
设
∵抛物线 的对称轴为直线
∴PD=2x-5,
∴当 时， 取得最大值，最大值为
此时P(5,-3);
(3)
解题思路
由题意得到新的抛物线的表达式和点 F的坐标，分两种情况：当点N在y轴左侧时，过点N作NK⊥y轴于点K，得到点 M 的坐标及 ∠FMK,证明∠NMK=∠ABC;当点N在y轴右侧时,过点M作y轴的垂线，交过点N'作x轴的垂线于点T,同理得到∠N'MT=∠ABC,设点N的坐标,再结合三角函数列方程求解.点 N 的坐标为 或
【解法提示】∵抛物线沿射线 BC方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，易得平移后抛物线的表达式为 F(3,-4),如解图②,当点 N在y轴的左侧时,过点 N作NK⊥y轴于点 K,∵A(-1,0),∴直线AF的函数表达式为y=-x-1,当x=0时,y=-1,∴M(0,-1),∴∠AMO=∠OAM=45°=∠FMK,∵ ∠NMF-∠ABC=45°,∴∠NMK+45°-∠ABC=45°,∴∠NMK=∠ABC, 设 解得 或 (舍去),∴ 如解图②，当点N在y轴的右侧时，记为点 N'，过点M作y轴的垂线，交过点 N'作x轴的垂线于点 T，同理可得：∠N'MT=∠ABC,设 则T(x,-1),x>0，同理可得解得 或x (舍去), 综上所述，点N 的坐标为 或
9. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),
则 解得
∴抛物线的解析式为
(2)在 中,当x=0时,y=-3,则C(0,-3), 则D(-1,-4),对称轴为直线x=-1,
设直线AC的解析式为 代入A(-3,0),C(0,-3),
则解得
∴直线AC 的解析式为y=-x-3,
当x=-1时,y=-2,则M(-1,-2),
∴△MCD 是等腰直角三角形，
如解图，连接BC，MB，设直线MD 交x轴于点E，则ME=EB=2,
∴△MBE 是等腰直角三角形，
∴∠BME=45°,BM=2
又∵∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°,即BM⊥AC,
∴点 P 与点 B 重合时符合题意,P(1,0);
过点 B 作 BP∥AC交抛物线于点 P,
设直线BP 的解析式为y=-x+m,将B(1,0)代入,得0=-1+m,解得m=1,
∴直线 BP 的解析式为y=-x+1,
则 解得 (舍去),
把x=-4代入y=-x+1中,得-(-4)+1=5,
∴P(-4,5),
综上所述,P(1,0)或P(-4,5);
(3)
解题思路
由于题干求的是以N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标，因此求出A，C两点，根据题意设出点 N 的坐标，利用两点间的距离公式，求得AN ,AC ,CN 的值,分3种情况讨论:①AN=AC;②AN=CN,③AC=CN,列线段的等量关系式求解,保留符合条件的值即可.
存在.点N 的坐标为( 或 或(-1,-1)或
【解法提示】∵A(-3,0),C(0,-3),∴AC =3 +3 =18，∵点N是抛物线对称轴上位于点 D 上方的一动点,对称轴为x=-1,∴设N(-1,n),其中n>-4,∴AN ①当AN=AC时, 解得 或 ②当AN=CN时, 解得 n=-1;③当AC=CN时, 解得 或 n= (舍去).综上所述，点N 的坐标为(-1， 或 或(-1,-1)或(
10. 解:(1)把D(1,-1)代入 中，得 4=-1,解得
∴抛物线 C 的表达式为
将抛物线C 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到抛物线C ，
∴抛物线C 的表达式为
把x=1代入抛物线C 表达式中，得
∴D(1,-1)在抛物线(C 上;
(3)存在点 P 使得△PBD 是等腰直角三角形.
令 得
∴B点的坐标为(-2,0).
分三种情况讨论：
①如解图①，当点 D 为直角顶点时，在BD 上方作QD⊥BD,使 QD=BD,连接BQ,则△BDQ 是等腰直角三角形.
过点D作x轴的平行线l,过点 B 作 BM⊥l,过点 Q作QN⊥l,垂足分别为M,N,则BM=1,DM=3,
∵∠BDM+∠QDN=90°,∠QDN+∠DQN=90°,
∴∠DQN=∠BDM.
∵∠BMD=∠DNQ=90°,
∴△BMD≌△DNQ.
∴DN=BM=1,QN=DM=3.
∴点Q 的坐标为(2,2).
把x=2代入C 的表达式中，得 =2,
∴点Q(2,2)在C 上,即P (2,2);
②如解图①，若B为直角顶点，在 BD上方，过点 B作BE⊥BD,使BE=BD,连接ED,则△BED是等腰直角三角形，连接EQ，则四边形 EBDQ 是正方形，
∴点E是点Q 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的，
∴点E的坐标为(-1,3).
把x=-1代入C 的表达式中，得
∴点E在C 上,即P (-1,3);
③如解图②,当∠BTD=90°,且TB=TD时,过点T作x轴的平行线l,过点 B作 BM⊥l,过点 D 作 DN⊥l,垂足分别为M,N,易证△TBM≌△DTN,
设T点坐标为(m,n),TN=1-m=MB=n,TM=m+2=DN=n+1,即 解得
∴点T的坐标为(0,1),不在抛物线 C 上,综上所述,在抛物线C 上存在点 P (2,2)或P (-1,3)，使△PBD是等腰直角三角形.
易错点拨
对于存在性问题，一定需注意讨论全面，一是以D为直角顶点，二是以B为直角顶点，三是以T为直角顶点，避免漏解.
11. 解:(1)将A(-1,-4),B(3,4)代入 中，得
②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.
(2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个.理由如下，
方法1：由 得
或
当a>0时, 此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当a<0时， 此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点；
一题多解
由 得 可得 或
∴抛物线上存在纵坐标为 的点，即一元二次方程 有解.
∴该方程根的判别式 即
∵a≠0,
∴原函数图象与x轴必有两个公共点；
一题多解
由 可得 或 当 时， 即 >0.
此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当 时，同理可得Δ>0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点.
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点.
(3)∵a>0,∴该函数图象开口向上.
由 得
=0,可得
由 得 =0,可得
∴直线AB,CD均与x轴平行.
∵a>0,∴-a<0,
∴A，B两点都在x轴下方，
∴该函数图象与x轴必有两个交点，设E(x ,0),F(x ,0),
由图象可知 即
的两根为x ，x ，可得
同理 的两根为x ，x ，可得
同理 的两根为x ，x ，可得m·EF=m·
∵m>1,结合图象与计算可得AB若存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB 不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段 CD 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时,∵m·EF>AB,
∴必须同时满足：
将上述各式代入化简可得 且m
联立解得 解得 符合要求.
此时该函数的最小值为
②当以线段m·EF为斜边时，必有 EF) ，同理代入化简可得 解得
∵以线段 EF为斜边，且有一个内角为60°，而CD>AB,
∴CD=AB· tan 60°,
即 化简得 符合要求.
此时该函数的最小值为 -2a.
综上所述，存在两个m的值符合题意，当 时，此时该函数的最小值为 当 时，此时该函数的最小值为-2a.
12. 解:(1)∵抛物线 经过点 A(3,0),与y轴交于点 B，且关于直线x=1对称，
解得
∴该抛物线的解析式为
(2)∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵--1≤x≤t时,0≤y≤2t-1,
①当-1≤t<1时,则当x=t时,函数有最大值,即2t-
解得t=-2或t=2，均不符合题意，舍去；
②当1≤t≤3时,则当x=1时,函数有最大值,即2t-
解得 符合题意，
故
(3)
解题思路
第一步：求出点B 坐标，直线AB的解析式，由点C在抛物线的解析式上，设点C的坐标，进而得到点D的坐标，利用两点间的距离公式得到 CD，BD，BC 的值；
存在；
在 中，当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
设直线AB的解析式为y= kx+3,把A(3,0)代入,得k=-1,
∴y=-x+3,
设 则1D(m,-m+3),
第二步：以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形需分两种情况讨论，再根据菱形的性质，列等量关系式求解，留下满足条件的值即可.
当以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当BD为边时,则BD=CD,即
解得m=0(舍去)或
此时菱形的边长为、
②当BD为对角线时，则BC=CD,∴BC =CD ,
即
解得m=2或m=0(舍去),
此时菱形的边长为
综上所述，存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2.
13. 解:(1)把A(-3,-1),B(0,2)代入
得 解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)如解图①，过点C作x轴的垂线交AB于点M，∴CM∥y轴,
∴△CDM∽△ODB,
∵B(0,2),
∴OB=2,
∴当 CM 取最大值时，CDD的值最大.
设AB所在直线的解析式为y= mx+n(m≠0),
把A(-3,-1),B(0,2)代入解析式得 解得
∴AB 所在直线的解析式为y=x+2.
设 则M(t,t+2),
∵-3∴当 时，CM取最大值，最大值为-
的最大值为 ，此时点C 的坐标为 (3)
解题思路
由抛物线F与F'关于直线y=-1上一点对称，且抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，可求出交点E的坐标，根据顶点坐标求出 F'的对称轴，从而确定H点的横坐标，进行分类讨论，通过平行四边形顶点坐标公式法求解即可.
由题意可知，抛物线 F 与抛物线 F'关于点 E 中心对称，
∴中心对称点 E 为直线y=-1与抛物线 F 的右交点，
(舍去),
∴E(1,-1),
∵抛物线 的顶点坐标为(-1,3),
∴抛物线 F'的顶点坐标为(3,-5),
∴抛物线 F'的对称轴为直线x=3，
如解图②，当BE为对角线时，由题知 =3,
由(2)得，直线AB的解析式为y=x+2,
∴G(-2,0).
如解图③，当BH为对角线时，由题知 =1,
∴G(2,4).
如解图④，当BG为对角线时，由题知 =1,
∴G(4,6).
综上,点G的坐标为(-2,0)或(2,4)或(4,6).
14. 解:(1)将点B(4,0),C(0,4)代入 中，得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线 BC 的解析式为y= kx+a(k≠0),将点B(4,0),C(0,4)代入y= kx+a,
得 解得
∴直线 BC的解析式为y=-x+4,
设 则F(x,-x+4),
∵抛物线的对称轴为直线x=1，EH∥x轴，
∴点 E 与点 H关于对称轴对称，
∴ EH=2x-2.
∵矩形 EFGH的周长为11,
解得
∵点E在第一象限内，
∴0∴EH=4;
(3)点N 的坐标为 或 或 或(4,4).
【解法提示】令 0，解得 设直线AC的解析式为 ,将点A(-2,0),C(0,4)代入得 解得 直线AC的解析式为y=2x+4,如解图①,分别过点 E,M 作EH⊥y轴于点H,MG⊥y轴于点 G,∵∠GOM+∠GMO=90°,∠GOM+∠EOH = 90°,∴ ∠GMO = ∠HOE,∵ ∠EHO =∠OGM=90°,OE=MO,∴△EHO≌△OGM,∴EH=OG,OH=MG,如解图②,分别过点 E,M作EH⊥x轴于点H,MG⊥x轴于点 G,同理得,△EHO≌△OGM,设 则 将点M的坐标代入 y=2x+4 中,解得 或 如解图③，过点 E 作EH⊥y轴于点H,过点M作MG⊥y轴于点 G,同理得△EHO≌△OGM,∴EH=OG,OH=MG,设 +x+4),则 将点 M 的坐标代入y=2x+4中,解得 当x=-1时, 则 如解图④,当x=4时,点M 与点C重合,点E与点 B 重合,则N(4,4).综上所述，点N的坐标为 或 或 或(4,4).
15. 解:(1)∵ 抛物线 与x 轴交于点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),
∴将(1,0),(0,3)分别代入
可得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)
解题思路
由 可求出A点坐标，由A，C点可求出直线AC的解析式，∵PE∥x轴，∴P，E点的纵坐标相同，∵PD∥y轴，∴P，D点的横坐标相同，则可用两点之间的坐标距离求解.
由(1)得
令y=0,即 解得
∴A(-3,0),
设直线AC的解析式为y= kx+n(k≠0),
把A(-3,0),C(0,3)分别代入,
可得 解得
∴直线AC的解析式为y=x+3,
∵点P 是直线AC上方抛物线上一点，
∴设 且-3∵ PE∥x轴交AC 于点 E,
∴点E的纵坐标为
解得
∵PD∥y轴交x轴于点 D,
∴D(m,0),
∵--2<0,-3∴当 时，PD+PE有最大值，最大值为 当 时，
∴点 P的坐标为
(3)情况一：如解图①，当点 N在y轴上时，点P 为抛物线的顶点，
∵抛物线 的对称轴为直线 x =
当x=-1时,
∴顶点坐标为(-1,4),即P(-1,4),
∵四边形 PMCN为矩形,
∴N与P纵坐标相同，
∴N(0,4);
情况二：如解图②，当点 N在x轴负半轴上时，四边形 PMCN为矩形,过点M 作 MG⊥y轴于点 G,过点P作PH⊥x轴于点 H,
设N(t,0),则ON=-t,
∴∠MCN=∠CNP=90°,CM=NP,
∴∠MCG+∠OCN=90°.
∵∠ONC+∠OCN=90°,
∴∠MCG=∠ONC,
又∵∠CGM=∠NOC=90°,
∴△CMG∽△NCO,
∵抛物线对称轴为直线x=-1，点M在对称轴上，C(0,3),
∴MG=1,OC=3,
即
∵ ∠MCG+∠CMG= 90°,∠ONC+∠PNH = 90°,∠MCG=∠ONC,
∴∠CMG=∠PNH,
又∵MC=NP,∠MGC=∠NHP=90°,
∴△CMG≌△PNH(AAS),
∴OH=ON+NH=-t+1,
∴点 P的坐标为
∵点 P在抛物线上，
解得 (舍去),.
综上所述，所有符合条件的点 N 的坐标为(0，4)或
16. 解:(1)把x=0代入 中,得y=2,∴C(0,2),
令 解得
∵点A在点B的左侧,∴A(-4,0),B(1,0),设直线AC 的解析式为y= kx+b(k≠0),
把A(-4,0),C(0,2)代入y= kx+b中,
得 解得
∴ 直线AC 的解析式为
(2)如解图①,由(1)可得B(1,0),C(0,2)
∵点 E 的横坐标为m,-4∴点E的坐标为
∴点D 的坐标为(m,0),点 F 的坐标为 2),
即 解得
∴当 时， 或
(3)点N的坐标为( 或(-6,-7).
【解法提示】设直线l的解析式为 将点K(-6,0),G(0,-4)代入,得解得 直线 l的解析式为 在Rt△KOG 中,由勾股定理,得 ①当△KMN≌△GMN时,三边分别相等,MN为公共边,则MK=MG,NK=NG,∴点M,N都在线段KG 的垂直平分线上.如解图②，作线段KG的垂直平分线，垂足为点Q，交y轴于点M，交第三象限抛物线于点 N,∴∠GQM=90°,点 Q 是 KG 的中点,易得点Q的坐标为( 点 M 的坐标为(0, ),设直线 MN的解析式为
将M(0, ),Q(-3,-2)代入，得 解←直线MN的解析式为 令 解得 (不合题意，舍去)，∴点 N的坐标为((-3-2 ,-2-3 );②当△GMN≌△KNM时,则KN∥GM且KN=GM,如解图③,过点 K作KN⊥x轴交抛物线于点 N,∵K(-6,0),∴令x=-6,则 (-6)+2=-7,∴N(-6,-7).综上所述,当△KMN与△GMN全等时，符合条件的点 N 的坐标为(-3-2 ,-2-3 )或(-6,-7).
17. 解:(1)把(0,0),A(4,0),B(1,3)代入 (a≠0),
得 解得
∴二次函数的解析式为
设直线AB的解析式为y= kx+n(k≠0),将A，B点坐标分别代入，
得 解得
∴直线AB 的解析式为y=-x+4,
当x=0时,y=4,
∴C(0,4);
(2)①设. 则D(m,-m+4),
∴当 时，PD有最大值为
②存在.
∵A(4,0),C(0,4),
∴AO=CO=4,
又∵∠AOC=90°,
∴∠ACO=∠OAC=45°,又∵ PD⊥x轴,
∴PD∥y轴,
∴∠PDB=∠ACO=45°,
i.当△PBD∽△OAC时,如解图①,
∴∠BPD=∠AOC=90°,
∴BP∥x轴,
∴点P的纵坐标为3，
把y=3代入 得 解得x =1(舍去),
∴m=3,
∴点 P的坐标为(3,3);
ii.当△PBD∽△AOC时,如解图②,过点 B 作 BF⊥PD于点 F,
则BF=m-1,∠PBD=∠AOC=90°,
又∵∠BDP=45°,
∴BP=BD,
∴PF=DF,
解得 (舍去),
∴点P的坐标为(2,4),
综上所述,当点 P 的坐标为(3,3)或(2,4)时,△BPD与△AOC 相似.
18. 解:(1)A(-2,0),B(4,0),C(0,-8);
(2)∵F是直线x=t与抛物线C 的交点,
①如解图,若△BE D ∽△CE F ,
则
∴CF ∥OB,
∵C(0,-8),
∴点 F 的纵坐标为-8，即
解得t=0(舍去)或t=2;
②如解图,若△BE D ∽△F E C.
过点 F 作 F T⊥y轴于点 T.
易得
∴△BCO∽△CF T,
∵B(4,0),C(0,-8),
∴OB=4,OC=8.
解得t=0(舍去)或
综上所述，符合题意的t的值为2或
(3)点P 在一条定直线上，
由题意知抛物线
∵直线 OG 的解析式为y=2x,
∴G(2,4),
∵H是OG的中点,O(0,0),G(2,4),
∴H(1,2).
设M(m,m ),N(n,n ),直线 MN的解析式为
则
解得
∴直线 MN的解析式为y=(m+n)x-mn,
∵直线 MN经过点H(1,2),
∴mn=m+n-2.
同理，直线GN的解析式为y=(n+2)x-2n,直线MO的解析式为y=mx.
联立，得
∵直线 OM 与 NG 相交于点 P,
∴n-m+2≠0,解得
∵mn=m+n-2,
设点 P在直线y= kx+b上,
则
整理得,2m+2n-4=2kn+ bn-bm+2b=-bm+(2k+b)n+2b,
得 解得
∴当k=2,b=-2时,无论m、n为何值时,等式①恒成立，
∴点 P 在定直线y=2x-2上.
易错点拨
在第(2)问中，由于题干只告诉△BDE与△CEF 相似，未给出相似符号，说明相似的对应关系是无法确定的，需要分情况讨论，因此需要考虑全面，避免漏解.
19. 解:(1)令y=0,则
解得
∵点A 在点B的左侧，
∴A(2,0),B(4,0);
(2)由(1)知，抛物线对称轴为直线x=3.
设
如解图①,连接MT,则MT⊥PT,
即以切线长 PT为边长的正方形的面积为( r ,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,
则 +8.
∵r>0,∴r=1,
假设⊙M经过点 N(3，2)，则有两种情况：
①如解图①，当点 M 在点 N的上方，
∴M(3,3).
解得m=5或m=1.
∵m>4,∴m=5,∴PM=2;
②如解图②，当点M 在点 N的下方，∴M(3,1).
解得
∵m>4,∴m=3+
∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为 或 或PM>2.
解题技巧
在第(2)问中,由于求⊙M 不经过点(3,2)时,PM 长的取值范围很难求解，进而可通过求出⊙M 经过点(3，2)时，PM 长的取值，反向得出 PM 长的取值范围.
20. 解:(1)∵ 抛物线 与 x 轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,
∴代入得
解得
∴抛物线的解析式为
而
(2)如解图①,
当x=0时,y=-2,
∴C(0,-2),∴OC=2,
∵A(-1,0),B(4,0),∴OA=1,OB=4,
∴∠ACO=∠CBO,
∵∠CBO+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠ACB=90°,
∴AB是经过点A,B,C的⊙G的直径,
∵AB⊥CD,AB经过圆心,
∴CD=2CO=4;
(3)点 H在直线 NQ 上.
证明：设直线PQ交x轴于点G，
如解图②，当M点在 P 点右侧时，将点
代入y= kx+n,得
把点 N横坐标 代入得
∵GE⊥x轴,AN⊥x轴,点G为AB中点,
∴点 E为BN中点,
∵点 P关于点 E的对称点为Q，
由直线y=kx+n与抛物线 相交于点M,P,
则 整理得： +3(4k+3)=0,
∴(2x-3)[2x-(4k+3)]=0,解得 即
∴∠QHG=∠NHA,
∴N,Q,H三点共线,
∴点H 在直线NQ上;
如解图③，当点 M 在点 P 左侧时，同理可得∠QHG=∠NHA,
∴N,Q,H三点共线,
∴点H 在直线NQ上.
综上所述，点H在直线NQ上.
解题技巧
在第(2)问中，判断经过A，B，C三点的圆的直径为AB,由于AB⊥CD,进而可求解出CD的长.

展开更多......

收起↑