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题型八 阅读理解题
类型一 定义新运算
1. (2024 威海)定义新运算:
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作{-2,1}.
②加法运算法则:|a,b|+|c,d|=|a+c,b+d|,其中a,b,c,d为实数.
若|3,5|+{m,n|={-1,2|,| 则下列结论正确的是 ( )
A. m=2,n=7 B. m=-4,n=-3
C. m=4,n=3 D. m=-4,n=3
2. (2024广州)定义新运算: 例如： 4=0,2 3=-2+3=1.若 则x的值为 .
3. (2024呼伦贝尔)对于实数a,b定义运算“※”为a※b=a+3b,例如5※2=5+3×2=11,则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
类型二 新概念的理解与应用
4.(2024河北)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 则点Q的坐标为 ( )
A.(6,1)或(7,1) B. (15,-7)或(8,0)
C. (6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1)
5.(2024上海)对于一个二次函数 中存在一点 使得 则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 开口大小”为 .
6.(2024泸州)定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a 个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照 变换后得到点 的坐标为 则点 按照 变换后得到点. 的坐标为 .
7. (2024山西)阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究. 研究方法：观察(测量、实验)一猜想一推理证明研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数)，若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形.
如图①，我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形.类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等 边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形ABCDEF是等边 半正六边形,那么AB=BC=CD=DE=EF=FA, ∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下 结论： 内 角：等边半正六边形相邻两个内角的和为____▲____°. 对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ；
(2)如图③，六边形ABCDEF 是等边半正六边形.连接对角线AD，
猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如图④,已知 是正三角形，⊙O是它的外接圆.请在图④中作一个等边半正六边形ABCDEF.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
8. (2024北京)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB 和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点 C关于直线⌒AB 的对称点 在⊙O上或其内部，且 则称点C是弦AB的“α可及点”.
(1)如图,点A(0,1),B(1,0).
①在点 中,点 是弦AB的“α可及点”，其中
②若点D 是弦AB 的 可及点”，则点D 的横坐标的最大值为 ；
(2)已知R是直线 上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”.记点P 的横坐标为t，直接写出t的取值范围.
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9. (2024 辽宁)已知 是自变量x的函数，当 时，称函数y 为 函数 的“升幂函数”.在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任意一点A(m,n),称点B(m, mn)为点A“关于 的升幂点”，点B在函数 的“升幂函数”y 的图象上.
例如：函数 当 时，则函数 是函数 的“升幂函数”.
在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点A(m，2m)，点 为点A“关于y 的升幂点”，点B在函数 的“升幂函数' 的图象上.
(1)求函数 的“升幂函数”y 的函数表达式.
(2)如图，点A在函数 的图象上，点A“关于y 的升幂 点”B在点A 上方，当 时，求点A的坐标.
(3)点A 在函数 的图象上，点A“关于y 的升幂点”为点 B，设点A 的横坐标为m.
①若点 B 与点A 重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y 的“升 幂函数" 的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线 与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若 请直接写出 的值.
10.(2024兰州)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形 W外一点，点Q 在 PO的延长线上，使得 如果点Q在图形W上，则称点 P 是图形W的“延长2分点”.例如：如图①，A(2,4),B(2,2), 是线段AB外一点,Q(2,3)在PO的延长线上，且 因为点Q在线段AB上，所以点 P 是线段AB的“延长2分点”.
(1)如图①，已知图形 :线AB,A(2,4),B(2,2),在 中， 是图形 的“延长2分点”；
(2)如图②，已知图形 线段BC,B(2,2),C(5,2),若直线MN: 上存在点 P 是图形 的“延长2分点”，求b的最小值；
(3)如图③，已知图形 以T(t,1)为圆心,半径为1的⊙T,若以D(-1,-2),E(-1,1),F(2,1)为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点 P，使得点 P 是图形 的“延长2分点”.请直接写出t的取值范围.
类型三 解题方法型
11. 新考法 综合与实践 (2024滨州)【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14.如图，在锐角 中，探究 之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高.)
【得出结论】
【基础应用】
在 中， ，利用以上结论求AB的长.
【推广证明】
进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 (R为 外接圆的半径).
请利用图①证明：
【拓展应用】
如图②,四边形ABCD中, 求过A，B，D三点的圆的半径.
题型八 阅读理解题
1. 解题思路
理解题干中的定义，分别建立m，n的等量关系求解即可.
B 【解析】由题知,3+m=-1,5+n=2,解得m=-4,n=-3.
或 【解析】①当x≤0时, 解得x= (正值已舍);②当x>0时, 解得x= 综上所述，x的值是 或
【解析】根据题意可知,x※m=x+3m<2,解得x<2-3m,∵x※m<2有且只有一个正整数解,∴ 解不等式①，得 解不等式②，得
4. 解题思路
根据题干的例子可知“和点”P(2，1)先向右平移1个单位后，按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，而Q 是通过16次平移后得到的点，因此需要进行反推，此时注意分情况讨论，舍去不符合题意的结果即可.
D 【解析】由题意得，若“和点”余数为0，先向右平移1，再向上平移，之后向左向上循环；若“和点”余数为1，向上平移1，之后向左向上循环；若“和点”余数为2，向左向上循环；由于平移 16 次后到达点 Q (-1,9),余数为2,若“和点”余数为0,平移16次后余数为2，先向右平移1，再向上平移到点A(m，n)，之后向左向上循环7轮到(Q (-1,9),则m-7=-1,n+7=9,A(6,2),所以“和点” Q(5,1);若“和点”余数为1,平移16次后余数为1，不符题意；若“和点”余数为2，平移16次后余数为2,向左向上循环8轮到点 Q (-1,9),此时坐标应为(-1+8,9-8)即“和点” Q(7,1),综上所述,点Q 的坐标为(5,1)或(7,1).
5. 解题思路
观察题干所给的二次函数的解析式为顶点式，可以看到“开口大小”是由二次函数的解析式移项变形得来的，故需要先将抛物线的解析式转化为顶点式，再进行变形求解即可.
4 【解析】根据抛物线的“开口大小”的定义可知y-k 中存在一点P(x',y'),使得 0,则 中存在一点 P(x',y'),有 解得 则 抛物线 开口大小”为4.
6. 解题思路
根据题意，画出示意图，将其放在平面坐标系中求解更加简单，将变换过程分为两步求解，先将点 B向上平移2个单位后，通过做x轴的垂线，将其落在直角三角形中，结合三角函数的定义，求得该点与x正半轴的夹角及该点到原点的距离，再绕原点逆时针方向旋转105°后，做x轴的垂线，将点B'落在直角三角形中，结合平角的定义和旋转的性质求解即可.
【解析】如解图，根据题意，点 向上平移2个单位，得到点C( ,1),连接BC交x轴于点 E,. 根据题意，将点 C ( ,1)绕原点按逆时针方向旋转105°,∴∠B'OE= ,过点B'作B'D⊥x轴于点 D,∴OB'= ∴点 B'的坐标为(
7. 解:(1)240;
【解法提示】∵六边形ABCDEF是等边半正六边形，∴六边形内角和为(6-2)×180°=720°,∵ ∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B,∴相邻两个内角的和为240°.
(2)∠BAD=∠FAD,理由如下:
如解图①,连接BD,FD,
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E,
∴△BCD≌△FED(SAS),∴BD=FD.
在△ABD与△AFD中,
∴△ABD≌△AFD(SSS),∴∠BAD=∠FAD;
解题技巧
通过巧构辅助线，将在多边形中证明∠BAD=∠FAD的问题转化为证明三角形全等的问题.
(3)如解图②,③,六边形 ABCDEF 即为所求.(答案不唯一)
8. 解:(1)①C ,45;
【解法提示】如解图①，作出⊙O关于弦AB 的对称圆⊙O',连接O'A,O'B,O'C ,O'C ,O'C .∵若点 C关于直线AB 的对称点 C'在⊙O 上或其内部,且∠ACB=α,则称点 C是弦AB 的“α可及点”,∴点 C 应在⊙O'的圆内或圆上,∵点A(0,1),B(1,0),∴OA=OB=1,而∠AOB=90°,∴∠ABO=∠OAB=45°,由对称的性质得∠O'BA=∠O'AB=45°,∴△O'BA 为等腰直角三角形,∴O'(1,1),则 ,故C 在⊙O'外，不符合题意；( 故C 在⊙O'上,符合题意； 故C 在⊙O'外，不符合题意，∴点C 是弦AB的“α可及点”，可知B,O',C 三点共线,连接
【解法提示】如解图②，取AB 的中点 H，以点 H为圆心,HA为半径,作⊙H,在⊙H上取一点D,连接DH,AD,BD,则∠ADB=90°,∴HD=HA=HB,∴点D在AB上方半圆上运动(不包括端点A，B)，且DH∥x轴时，点D 的横坐标最大,∵OA=OB=1,∠AOB=90°,∴AB 此时 点 D 的横坐标的最大值为
或
【解法提示】作出⊙O关于MN的对称圆⊙O'，∵若点P关于直线 MN 的对称点 P'在⊙O 上或其内部，且∠MPN=α,则称点 P是弦MN的“α可及点”,∴点 P应在⊙O'的圆内或圆上，如解图③，作出△MPN的外接圆⊙O",连接O"M,O"N,∴点P 在以O"为圆心,MO"为半径的优弧 上运动(不包括端点 M，N)，∴∠MO"N=2∠MPN=120°,∴∠O"MN=30°,由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O",∴点O"也在 MN 的垂直平分线上,记 OO'与NM 交于点Q : ,随着MN的变化,⊙O"会靠近⊙O',如解图④,当点 O'与点 O"重合时,点 P 在⊙O'上,即为临界状态，此时MN 最大， 如解图⑤,连接 O"P,OP,∵ OP≤OO"+O"P,∴ 当 MN最大, 时，此时△O"NP 为等边三角形，由上述过程知 ”的半径r=1,OP 的最大值为2,设. 则 解得 如解图⑥，记直线 与⊙O交于T，S，与y轴交于点K,连接OS,过点S作SL⊥x轴于点 L,当x=0,y=- ,∴K(0,- );当y=0时, 解得x=1,∴与x轴交于点 T(1,0),∴ OT=OS,∴ ∠OTK=60°,∴ △OTS 为等边三角形,∴ ∴ 点P不在线段ST上，∴t的取值范围是 或
9. 解:
(2)∵点A在函数 的图象上，
∴设点A的坐标为
则点A“关于y 的升幂点”B的坐标为(x，3).
∵点 B在点A的上方，
解得x=3,∴点A的坐标为A(3,1);
(3)
解题思路
将A，B坐标用含有m的式子表示出来.
∵点A在函数 的图象上，横坐标为m，
∴点A的坐标为(m,-m+4),
∴点A“关于y 的升幂点”B的坐标为( 函数 的“升幂函数”的表达式为 4x，它的对称轴为直线x=2.
①
解题思路
根据A，B重合时横纵坐标相等，建立关于m的方程求解即可.
∵点 B与点A重合，
解得
∴m的值为1或4;
②
解题思路
将线段用m表示出来，根据m的取值范围进行分类讨论.
∵点B 在点A的上方，且四边形ABCD为矩形，
∴1当1当2综上所述
③
解题思路
由EF=MN,分2种情况进行讨论:a. EF与MN平行且相等；b.点M是抛物线 的顶点，进行求解.
4或
【解法提示】当E，F，M，N如解图①所示时，令 可得 则 令 可得 解得t ；当E，F，M，N如解图②所示时，则M为抛物线g 的顶点，顶点坐标为 令 可得 舍去),则MN 同理可得， 解得 2 .综上所述 的值为4或
10. 解:(1)P ,P ;
(2)如解图①,连接 BO 并延长至 B',使得 B'O= 连接CO 并延长至 C'，使得
过点 B 作 BG⊥x轴于点 G,过点 C作 CH⊥x轴于点H,过点 B'作 B'G'⊥x轴于点 G',过点 C'作 C'H'⊥x轴于点H'.
∵BG⊥x轴,B'G'⊥x轴,∴∠BGO=∠B'G'O.
∵∠BOG=∠B'OG',∴△BGO∽△B'G'O.
∵B(2,2),
同理可得，
∵直线.MN:y=-x+b 上存在点 P 为图形W ：线段BC的“延长2分点”，
∴y=-x+b 与线段 B'C'相交时存在点 P 为图形 W 的“延长2分点”.
∴当y=-x+b经过 时b取最小值.
∴b的最小值为
(3)1≤t≤3或
【解法提示】如解图②，连接 TO 并延长至 T”，使得 过点 T作 TK⊥x轴于点 K,过点 T'作T'K'⊥x轴于点 K'.∵ TK⊥x轴,T'K'⊥x 轴,∴∠TKO=∠T'K'O.∵ ∠TOK=∠T'OK', ∴ △TKO∽ .“延长2分点”点P 在以 为圆心，半径为 的⊙T'上.∵以D(-1,-2),E(-1,1),F(2，1)为顶点的等腰直角三角形DEF 上存在点 P，∴ ⊙T'与 DE,DF 相交或相切时存在点 P.①如解图③,当⊙T'在 DE 的左侧且与 DE 相切时.∵ ⊙T'的半径为 或-3(舍).如解图④,当⊙T"在 DE 的右侧且与 DE相切时.同理可得,t=1.∴1≤t≤3;②如解图⑤,当⊙T'在 DF 的左侧且与 DF 相切于点 L.连接 T'L,过点T'作T'X⊥DE 于点X,交 DF 于点 R.∵⊙T'与DF相切,∴T'L⊥DF.∴∠T'LF=90°.∵ △DEF 为等腰直角三角形,∴∠EDF=45°.∵RX⊥DE,∴∠XRL=45°.∴△T'LR 为等腰直角三角形,∵ 易得 或 (舍).如解图⑥,当⊙T'在 DF的右侧且与 DF 相切于点 L.连接T'L,过点 T'作 T'X⊥DE 于点 X,交 DF于点R.同理可得， 或 (舍). 综上所述,1≤t≤3或
11.【基础应用】
解:∵在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,
由题意得
解得
【推广证明】证明：如解图①，连接CO 并延长交⊙O于点Q,连接AQ,
∴∠QAC=90°,∠B=∠Q,
同理
【拓展应用】
解题思路
第一步：通过作AE⊥CD，利用矩形的判定与性质得到AE，DE的长，根据勾股定理可以得到 BD，AD 的长；
解:如解图②,连接BD,过点A作AE⊥CD于点E,
∵∠ABC=∠C=90°,
∴四边形ABCE 是矩形,
∵AB=2,BC=3,CD=4,
∴AE=BC=3,DE=CD-CE=4-2=2,BD= +4 =5,
第二步：根据平行线的性质和锐角三角函数得到sin∠ABD的值;
∵∠ABC=∠C=90°,
∴AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
第三步：根据 即可得到R的值.
设过A，B，D三点的圆的半径为R，
I
即过A，B，D三点的圆的半径为

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