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新考法专练
新考法1 代数推理
(近三年山东、河北、北京、安徽、福建等地考查)
1.(2024 山东省卷)根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180 cm；
②1班学生的最低身高小于150 cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170 cm.
上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
2.(2024河北)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示 运算结果为3036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是 ( )
A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5
C.运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为4 100a+1025
3.(2024北京)联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如下：
已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目D 的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排.
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
4.(2024成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当 时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4;…若n=6,则k的值为 ;若n=24,则k的值为 .
5.(2024赤峰)编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
收割机编号 A,B B,C C,D D,E A,E
所需时间(小时) 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 .
新考法2 跨学科试题
(近三年福建、贵州、吉林、重庆等地考查)
1.(2024南充)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时,∠1=∠2=40°,则∠3的度数为 ( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 120°
2.(2024河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图②).下列结论中错误的是 ( )
A. 当P=440 W时,I=2 A
B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1 A，Q的增加量相同
D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
3. (2024广州)如图,把 三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U= 当 47.8,I=2.2时,U的值为 .
4.(2024临夏州)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率.
5.(2024广元)小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β ，且cosα= 求该介质的折射率；
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 对角线交点O 处射入，其折射光线恰好从点 C 处射出.如图②，已知 求截面ABCD的面积.
新考法3 真实问题情境
(近三年广西、江西、湖南、广东、河南等地考查)
1.(2024江西定心卷)阅读以下材料，完成项目主题任务：
【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究.
【项目背景】寻找生活中的数学，九年级(1)班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立如图所示的数学模型.
【项目任务】
如图①是一个圆形喷水池，其以 vm/s喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为： 请你解决以下问题：
任务一：当v=30m/s时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；
任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在4s及以上，求v的最小值；
任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为20≤h≤25，求水流速度的取值范围.
2. (2024盐城)发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.
【提出问题】
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢
【分析问题】
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数,n>k≥3,d>0),如图①所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1：图②是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案2：图③是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ;
方案3：图④是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.
【解决问题】
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
3.(2024赤峰)如右图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图①，人从点A 处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点 B 与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
(1)如图①，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点 B的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为 ；
(2)如图①，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线 BD 恰好与抛物线ACB关于点B 成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内 请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计)；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图②，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点 M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).
新考法4 综合与实践
类型一 解决真实问题实践探究
(近三年山西、盐城、吉林等地考查)
1.(2024吉林省卷) 更多精品教辅关注公众号【全科A+】
综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 xmm，凳面的宽度为 ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两 边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上 如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由；
(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少
类型二 操作过程实践探究
(近三年河南、河北、福建等地考查)
2.(2024河北)情境图①是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图②所示的钻石型五边形，数据如图所示.
(说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余)
操作嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.
如图③，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图④所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
(1)直接写出线段EF的长；
(2)直接写出图③中所有与线段BE相等的线段，并计算BE 的长.探究 淇淇说：将图①所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图⑤所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线(线段PQ)的位置，并直接写出BP的长.
类型三 项目式学习
(近三年广西、山西等地考查)
3. (2024广西)综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干，重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水.浓度关系式： 其中d的、d 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位: kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.
新考法1 代数推理
1. C 【解析】1班所有人的身高均不超过180 cm，不能说明1班学生的最高身高为180cm，故①错误；根据1班班长叙述可知，1班学生身高≤180 cm，1班学生的最高身高+2班学生的最高身高=350cm,∴180cm+2班学生的最高身高≥350 cm，∴2班学生的最高身高≥170cm，故③正确；根据2班班长叙述可知，2班学生身高>140 cm，1班学生的最低身高+2班学生的最低身高=290 cm,∴ 1 班学生的最低身高+140 cm<290cm,∴1 班学生的最低身高<150cm,故②正确.
2. D 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为100F+10D+A和10C+B,如解图,由题意得,A=5,B=1,C=4,D=2,E=8,F=a,G=4a,∴K=5,H=22,I=8+a,J=4a.∴运算结果可以表示为:1000(4a+1)+100a+25=4 100a+1025.
3. 60;C-A-B-D 【解析】节目D的演员的候场时间为30+10+20=60 min;若使这23位演员的候场时间之和最小，就要将人数比较多的C 和A放在B和 D 前面，第一个节目不需要候场，第二个节目的候场时间是第一个节目的彩排时间，∴将彩排时长较短的C排在A前面,同理将B排在D前面,∴顺序是C-A-B-D.
4. 9;144 【解析】当n=6时,有{1,6},{2,6},{3,6},{4,6},{5,6},{2,5},{3,5},{4,5},{3,4},共5+3+1=9种取法,所以k=9;当n=24时,k=23+21+19+…+1=144种取法,所以k=144.
5. C 【解析】同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，得到C比A快；同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，得到B比D快；同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时，得到 E 比B快；同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时，得到C 比E快.综上，收割最快的一台收割机编号是C.
新考法2 跨学科试题
1. C 【解析】如解图,由平角为180°可得∠4=180°-∠1-∠2=100°,由光的反射定律可得,∠3=∠4=100°.
2. C 【解析】观察题图①可知,当P=440 W时,I=2A,故A选项正确，不符合题意；P越大，产生的热量越多，故D选项正确，不符合题意；观察题图②可知，Q随I的增大而增大，故B选项正确，不符合题意；当I每增加1 A，Q的增加量不相同，故C 选项错误，符合题意.
3. 220 【解析】由题意可得U=2.2×(20.3+31.9+47.8)=220.
4. 解:
【解法提示】∵一共有A，B，C，D四张卡片，∴小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是
(2)依据题意，画树状图如解图：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种，
∴P(小夏抽取两张卡片内容均为化学变化)
一题多解
依据题意，列表如下：
卡片 A B C D
A — (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) — (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) —— (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) —
由列表可知，共有12种等可能结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种，
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∴ P(小夏抽取两张卡片内容均为化学变化)
5. 解:
∴如解图，设 则c=4x,由勾股定理得,a=
又∵β=30°,
∴折射率为
(2)
解题思路
由入射角和折射率,算出sinβ,即 sin∠OCD,再在 Rt△ODC中,由勾股定理,求得tanβ,进而得到 OD 的长，最后再利用矩形及中点的性质求解即可.
根据题意可得α=60°，折射率为
∵四边形ABCD是矩形，点O 是AD的中点，
∴AD=2OD,∠D=90°,
又∵
在Rt△ODC中,设( 则OC=3x,
由勾股定理得，
又∵
∴截面ABCD的面积为
新考法3 真实问题情境
1. 解:任务一:当v=30m/s时,,h=30t-5t ,令
解得 (舍去),
∴水流从喷出到落地需要6s.
画出函数图象如解图；
任务二：
令 ,则v=5t(t≥4),即v随t的增大而增大，
∴当t=4s时, 任务三：
∴当最大高度为20时，可得
即v=20m/s(负值已舍去),
当最大高度为25时，可得
即 s(负值已舍去)，
∴水流速度的取值范围为
2.解：【分析问题】
方案1:(n-1)d,2k,2dk(n-1);
【解法提示】根据题意每行有 n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为(n-1)d，∵每列有 k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2k行，∴铲除全部籽的路径总长为2dk(n-1).
方案2:2dn(k-1);
【解法提示】根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为(k-1)d，∵每行有n个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2n列，∴铲除全部籽的路径总长为2dn(k-1).
方案3：由题图④得斜着铲每两个点之间的距离为
根据题意得，一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，每条线段上有(2k-1)个间距，
∴铲除全部籽的路径总长为：
【解决问题】
由“分析问题”可将三种方案的路径长记为：
作差法：
①C横-C纵=2dk(n-1)-2dn(k-1)=2dn-2dk=2d(n-k),
∵n,k均为正整数,n>k≥3,d>0,
∴n-k>0,
即
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
∵n，k均为正整数，n>k≥3,d>0,2- >0,当k=3时,
∴k≥3时,
∴方案2的路径总长大于方案3的路径总长.
综上所述，方案3路径总长最短.
销售员的操作方法非常符合我们的数学原理，方案3路径总长最短，减少了对菠萝的损耗(评价不唯一，合理即可).
3. 解:
【解法提示】根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为 且过点 B(0,2),设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为 将B(0,2)代入得, 即 ，∴水滑道ACB所在抛物线的解析式为
(2)①此人腾空后的最大高度是 米，抛物线 BD的解析式为
【解法提示】∵人腾空后的路径形成的抛物线 BD 恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标 关于点B(0，2)成中心对称，∵ 此人腾空后的路径形成的抛物线 BD 的顶点坐标为 即b= 此人腾空后的最大高度是 米，腾空后的路径形成的抛物线 BD的解析式为
②在安全范围内，理由：由①知此人腾空后的路径形成的抛物线 BD的解析式为 令y=0,则 即 ∴x=8或x=-2(舍去,不符合题意),
∴点 D(8,0),
∴OD=8,
∵OE=12,
∴DE=OE-OD=4>3,
∴此人腾空飞出后的落点 D 在安全范围内；
(3)根据题意可得M点的纵坐标为4，令 即 ∴x=2(舍去,不符合题意)或x=-8,∴M(-8,4),
设BM 所在直线的解析式为： 将B(0,2),M(-8,4)代入得 解得
∴ BM 所在直线的解析式为 如解图，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于点H，
∵这条钢架与BM平行，
∴设该钢架GH所在直线的解析式为
联立
即
整理得，
∵该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，
∴n=0，即该钢架所在直线的解析式为
∴点H与点O重合，
∵GN=- ×(-8)=2,NO=8,∠GNO=90°,
∴在 Rt△GNH中,由勾股定理得,
∴这条钢架的长度为 米.
新考法4 综合与实践
1.解：(1)在同一条直线上；
设这条直线所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，∵当:x=16.5,y=115.5,
当x=23.1,y=148.5,
解得
∴函数解析式为y=5x+33,
经检验，其余点均在直线y=5x+33 上，
∴这些点在同一条直线上，所对应的函数解析式为y=5x+33;
(2)把y=213代入y=5x+33得,5x+33=213,解得x=36,
∴当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36 mm.
2. 解:操作(1)
解题思路
如解图①，过点G'作G'K⊥FH'于点K，结合题意可得,四边形FOG'K为矩形,可得 FO=KG',由拼接可得,HF=FO=KG',可得△AHG,△H'G'D,△AFE为等腰直角三角形，△G'KH'为等腰直角三角形，设H'K= 则 再进一步解答即可.
EF=1;
【解法提示】如解图①，设拼接后点 G，H对应的点为G',H',过点 G'作G'K⊥FH'于点 K,结合题意可得,四边形 FOG'K为矩形,∴ FO=KG',由拼接可得HF=FO=KG',由正方形的性质可得,∠A = 45°,△AHG,△H'G'D,△AFE 为等腰直角三角形,∴△G'KH'为等腰直角三角形，设. ∴AH=HG= x,HF=FO=x,∵正方形的边长为2,∴对角线的长为 解得x= -1,∴EF=AF=AH+HF= x+
(2)
解题思路
由△AFE为等腰直角三角形可得，EF，AF的值，再求解出BE 的值，再分别求解GE，AH，GH，可得答案.
BE=GH=AH=GE,
由(1)知△AFE为等腰直角三角形,EF=AF=1,
【解法提示】∵(
探究 裁剪线(线段 PQ,P'Q')如解图②所示,BP的长为
【解法提示】如解图②，以点 B为圆心，BO长为半径画弧,交 BC 于点 P',交 AB 于点 Q',则线段 P'Q'为裁剪线，此时 符合要求，或以点C为圆心，CO长为半径画弧，交BC于点 P，交CD于点 Q，则线段 PQ 为裁剪线，此时( 符合要求，∴ 综上，BP的长为 或
3. 解:((1)令
得
解得w=9.5,
检验:当w=9.5时,
0.5+w=10≠0,
∴w=9.5是原分式方程的解，且符合题意，
答：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg 清水;
(2)易知每次使用清水2kg，第一次漂洗之后洗衣液浓度为
第二次漂洗之后洗衣液浓度为
0.008%,
∵0.008%<0.01%,
∴把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)从节约用水角度对这两种洗衣用水策略的想法：对于只经过一次漂洗需要9.5kg清水能达标的方法，虽然操作相对简单，但用水量较大，而将4k g清水均分两次漂洗也能达标的策略，在节约用水方面表现更优.我们更注重节约用水，应优先选择分两次漂洗的策略.因为它在达到洗衣目标的前提下，减少了总用水量(答案不唯一，合理即可).

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