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题型二 填空多解题
类型一 代数类问题
1.(2023巴中)规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 与 互为“Y函数”.若函数 的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 .
2.(2023绍兴)在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则
3.(2023眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B 的坐标为( 6).过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A.直线 -2x-6与AB交于点 D,与y轴交于点 E.动点 M在线段BC上,动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为 .
类型二 点位置不确定类问题
4. (2024牡丹江)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点，连接DE，点P 是DE的中点，( 连接CP,则 的值为 .
5. (2024新疆)如图,在 中， 若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且 则AD的长为 .
6. (2024绥化)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E 在直线AD上,且DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 cm.
7. (2024江西)如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2,点 C在线段AB 上运动,过点C 的弦DE⊥AB,将 沿DE 翻折交直线AB 于点 F，当DE 的长为正整数时，线段 FB 的长为 .
8. (2023沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点 D在直线AC上,AD=1,过点 D 作DE∥AB交直线BC于点 E,连接BD,点O 是线段 BD的中点，连接OE，则OE的长为 .
9. (2024自贡改编)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A 出发,以1cm/s的速度沿A→D 运动,同时点Q从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→ 往复运动,当点 P到达端点 D 时，点Q 随之停止运动.在此运动过程中，当PQ=CD时,t的值为 s.
类型三 图形形状不确定类问题
10. (2022通辽)在Rt△ABC中,∠C=90°,有一个锐角为60°,AB=6.若点P在直线AB上(不与点A,B重合),且∠PCB=30°,则AP的长为 .
11. (2024齐齐哈尔)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点 P 在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点 B 的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 .
12. (2023宁波)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD， P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP 的长为 .
13. (2023龙东地区)矩形ABCD中,AB=3,AD=9,将矩形ABCD沿过点A 的直线折叠，使点B 落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点 E 到直线BC的距离是 .
14. (2023江西)如图,在 ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 .
类型四 图形变换方式不确定类问题
15. (2024雅安)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE 的度数是 .
16. (2024龙东地区)矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点 P(点P不与点B重合)，点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为 .
17. (2024上海)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为Q',D',若AC':AB:BC=1:3;7,则cos∠ABC= .
18. (2024盐城)如图,在△ABC中,. 点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,(
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19. (2023绥化)已知等腰△ABC,∠A=120°,AB=2.现将△ABC 以点B为旋转中心旋转45°，得到 延长 交直线 BC 于点D,则A'D的长度为 .
题型二 填空多解题
1. (3,0)或(4,0) 【解析】根据题意知,互为“Y函数”上的对应点也关于y轴对称.①当k=0时，函数的解析式为y=-x-3，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立,当y=0时,解得x=-3,∴函数y=-x-3的图象与x轴的交点坐标为(-3,0);②当k≠0时,∵函数 的图象与x轴只有一个交点， 即 解得 k=-1，∴函数的解析式为 当y=0时,解得 函数 的图象与x轴的交点坐标为(-4，0)，综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).
2. 或. 【解析】由 可知，当x=0时,y=4,则C(0,4),A(3,0),∵四边形 OABC 是矩形,∴B(3,4),①当抛物线经过点O,B时,将点O(0,0),B(3,4)代入 得 解得 ②当抛物线经过点A，C时,将点A(3,0),C(0,4)代入 x≤3),得 解得 综上所述， 或
3. (-8,6)或 【解析】①当点 N在线段AM的下方时，如解图①，∵△AMN是以点 N为直角顶点的等腰直角三角形，∴点 N 在以 AM 为直径的⊙H 上，MN=AN,∴点 N是⊙H 与直线y=-2x-6的交点,此时M,B重合,∵B(-8,6),则lH(-4,6),N(-4,2),∴MH=AH=NH=4,符合题意,∴M(-8,6);②当点N在线段AM的上方时，如解图②，过点 N 作 NJ⊥y轴于点J,延长 MB 交 JN 的延长线于点 K,则∠NJA =∠MKN=90°,JK=AB=8,∴∠NAJ+∠ANJ=90°,∵AN=MN,∠ANM=90°,∴∠MNK+∠ANJ=90°,∴∠MNK=∠NAJ,∴ △MNK≌△NAJ,∴ MK=NJ,NK=AJ,设N(x,-2x-6),∴MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,而KJ=AB=8,∴-2x-12-x=8,解得 则
综上所述，点M的坐标为(-8，6)或
4. 13或 【解析】根据题意可知，点E 分两种情况,①当CE>BE时,如解图①,∵四边形ABCD 是矩形,∴点O是BD的中点,∵点 P 是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18,∵矩形ABCD 的面积是90,∴BC×CD=90,∴CD=5,∴DE= +12 =13,∴PC+PE=DE=13;②当CE5. 6或12 【解析】∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,∴ 点D 位置不确定，∴可分为以下3种情况讨论：①如解图①，当点 D 在线段AB上时,∵∠BCD=30°,∠B=60°,∴∠BDC=90°,∴BD= BC=2,∴AD=AB-BD=6;②如解图②,当点D在线段AB 的延长线上时,∵ ∠BCD=30°,∠ABC=60°,∴∠D=∠ABC-∠BCD=30°=∠BCD,∴BD=BC=4,∴AD=AB+BD=12;③如解图③,当点 D 在线段BA的延长线上时,此时∠BCD>∠ACB,即∠BCD>90°，故不符合题意，舍去.综上所述，AD 的长为6或12.
解题技巧
点在直线上分三类讨论：(如E是直线AB 上一点)
①点E 在线段AB 上;
②点E 在AB的延长线上；
③点E在BA的延长线上.
或 或2 【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=8,∴ AD = BC=8,CD =AB =4,∴ AC= 如解图，设AC，BD 交于点O,点E 在线段AD 上,E 在AD 的延长线上,过点E ,E 分别作AC,BD的垂线,垂足分别为F ,F ,F ,F ,连接CE ,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ODA,当E在线段AD上时， ,在 Rt△AE F 中,E F 在Rt△E F D中, 当E在AD的延长线上时,在Rt△DCE 中, E C⊥AC,∴点F 与点C重合,∴ ; 在 Rt△DE F 中, 综上所述，点E 到对角线所在直线的距离为 或 或2
7. 2或 或 【解析】∵ DE的长为正整数，∴根据题意可知,DE=1 或2.分情况讨论:①当DE=2时，此时DE为⊙O的直径，如解图①，此时点 C与点O重合,点F与点A 重合,∴ FB=AB=2;②当DE=1时，分两种情况：当点 C 在圆心O 的右侧时，如解图②,连接OD,∵ 在Rt△ODC中, 根据翻折可知， 当点 C在圆心O的左侧时，如解图③，连接OD，∴ ∴ 在 Rt △ODC 中, OC = 根据翻折可知， 综上所述，FB的长为2或2- 或
解题技巧
在圆中，弦长≤直径长，根据DE 为正整数可得到 DE=1或2.而DE=1时在圆上有两个位置，因此共有三种情况，再结合垂径定理以及勾股定理，利用折叠的性质即可求解此题.
8. 【解析】当点 D 在线段AC 上时，如解图①,过点O 作AC的平行线,交BC 于点 F,∵AC=BC=3,AD=1,∴CD=2,∵∠ACB=90°,OF∥AC,点O 是线段BD的中点， 在 Rt△EFO 中, 当点 D 在线段CA的延长线上时，如解图②，同理得 在 Rt△EFO 中,OE =
9. 解题思路
要使 PQ=CD，则分两种情况：①当四边形CDPQ 是平行四边形时；②当四边形CDPQ 是等腰梯形时.
或3或6或9 【解析】在 ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,∴CD=AB=6cm,AD=BC=12cm,AD∥BC,∵点P从点A 出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,∴点 P从点A出发到达D点的时间为12÷1=12(s),∵点Q从点 C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，∴点 Q 从点 C出发到B点的时间为 12÷3=4(s),如解图①,当010. 或9或3 【解析】如解图①,当∠ABC=60°时,则 当点 P 在线段AB 上时,∵ ∠PCB=30°,∴CP⊥AB,则 当点 P(P')在AB 的延长线上时,∵ ∠P'CB = 30°,∠ABC = 60°,∴ ∠P' =30°,
；如解图②，当∠ABC= 30°时,∵ ∠PCB = 30°,∠ACB = 90°,∴∠ACP=60°,∵∠BAC=60°,∴ △PAC为等边三角形.∴PC=AC=AP,∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴ 综上所述，AP 的长为 或9或3.
11. 或2 【解析】∵ 四边形ABCD 为矩形,∴∠BCD=∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°,AB=CD=5,AD=BC=4,当 °时,如解图①,∵∠BCD=90°,∴点B'在CD上,根据折叠可知AB'=AB=5,BP=B'P,设CP=x,则l 在 Rt△CB'P中，根据勾股定理得 即 解得 即 当∠BB'C=90°时,如解图②,根据折叠可知BP=B'P,∴∠PBB'=∠PB'B,∵∠PBB'+∠BCB'= 90°,∠PB'B+∠PB'C=90°,∴∠BCB'=∠CB'P,∴ PC=PB',∴ PC=PB,∵ BC=BP+PC=4,∴CP=2,综上所述,CP的值为 或2.
12. 6或 【解析】如解图,连接OD,DE,∵BD是半圆O 的切线,∴∠ODB=90°,∴∠BDE+∠ODE=90°.∵AE是半圆O的直径,∴∠ADE=90°,∠ODE+∠ODA=90°,∵OA=OD,∴∠ODA=∠BAD.∴∠BAD=∠BDE,又∵∠DBE=∠ABD,∴ △BDE∽△BAD. 解得AB=15.∴AE=AB-BE=12.当点 P与点O重合时，△APD 是等腰三角形，. 解得 DC = 2 . 则 BC = 5 ,∴ AC = ∴ 当 时，△APD是等腰三角形.综上所述，AP 的长是6或
类题通法等腰三角形存在性问题：
问题：如图，已知点A，B和直线l，在l上求点 P，使△PAB为等腰三角形.
分情况:分三种情况讨论,①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP.
作图找点：①情况一：以AB为腰，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与直线l的交点P ，P ，P ，P 即为所求；②情况二：以AB为底，作线段AB的垂直平分线与直线l的交点P 即为所求.
或3-2 或6 【解析】由题意，得矩形ABCD沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在点 E 处，可知点 E在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上运动，如解图①,延长 BA 交⊙A 的另一侧于点 E,则此时△ADE是直角三角形，点E 到直线 BC 的距离为 BE 的长度，即BE=2AB=6；当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况：①如解图②，过点 E作EH⊥BC交BC 于点H,交AD于点G,∵四边形ABCD是矩形,∴EG⊥AD,∴四边形ABHG是矩形,GH=AB=3,∵AE=AB=3,AE⊥DE,AD=9,由勾股定理可得 点 E到直线 BC的距离EH=EG+GH=3+2 ;②如解图③,过点 E 作 EN⊥BC交BC 于点 N,延长 NE 交AD 于点 M,∵四边形ABCD 是矩形,∴ NM⊥AD,∴四边形ABNM 是矩形,MN=AB=3.∵AE=AB=3,AE⊥DE,AD=9,由勾股定理可得 点 E 到直线 BC 的距离 综上所述，点E 到直线BC的距离为6或 或
14. 90°或180°或270° 【解析】如解图,点 P 的运动轨迹在以A为圆心，AB长为半径的圆上，连接AC 交⊙A 于点 P ,延长CA 交⊙A 于点 P ,延长 BA 交⊙A于点 P ,连接P D,P D,P D,P C.∵∠B=60°,BC=2AB,∴∠BAC=90°,①∵AB∥CD,∴∠BAC=∠P CD=90°,△P CD为直角三角形,∵点 P 在AC上,∴α=∠BAP =90°;②∠P CD=90°,△P CD 为直角三角形，即可求得( ③∵AB=CD,∴AP =CD,又∵AB∥CD,∠ACD=90°,∴四边形ACDP 为矩形, 为直角三角形，∴α=180°.综上所述，旋转角α的度数为90°或180°或270°.
15. 30°或150° 【解析】如解图①,∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠B=∠C=70°,∵ AD∥BC,∴∠DAB=∠B=70°,∴∠BAE=∠DAB-∠DAE=70°-40°=30°;如解图②,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴ ∠BAD=180°-70°=110°,∴ ∠BAE=∠BAD+∠DAE=110°+ .综上所述,∠BAE的度数为30°或150°.
解题技巧
对于图形旋转问题，当没有规定旋转角时，应该考虑旋转一周中出现的所有情况.
16. 或 或10 【解析】①点 B 的对称点落在矩形对角线BD上,如解图①,∵在矩形ABCD中,AB=CD=3,BC=AD=4,由折叠性质可知BB'⊥AP,∴∠BAP+∠BPA = ∠BPA + ∠CBD,∴ ∠BAP = ∠CBD,∴ ②点 B 的对称点 B'落在矩形对角线AC上，如解图②，∵在矩形ABCD中,AB=CD=3,BC=AD=4,∠B=90°,∴AC= 由折叠性质可知∠ABP=∠AB'P=90°,AB=AB'=3,∴
③点 B 的对称点 B'落在矩形对角线 CA 延长线上，如解图③,∵在矩形ABCD 中,AB=CD=3,BC=AD=4, 由折叠性质可知∠ABP=∠AB'P= 综上所述，PC长为 或 或10.
17. 或 【解析】设l交BC 于点 F,当点 C'在 AB之间时,如解图①,根据AC':AB:BC=1:3:7,设 1,AB=3,BC=7,由翻折的性质知∠FCD=∠FC'D',∵CD 沿直线 l 翻折至 AB 所在直线,∴ ∠BC'F+∠FC'D'=∠FCD+∠FBA,∴ ∠BC'F=∠FBA,CF= 过点 F 作 AB 的垂线交 AB 于点 E, 当点C'在BA的延长线上时,如解图②,根据AC':AB:BC=1:3:7,设AC'=1,AB=3,BC=7,同理知CF=BF= 过点 F 作AB的垂线交AB 于点 E,BC'=BA+
18.解题思路
分两种情况讨论：①点F在点C的右侧；②点F 在点C的左侧.
或 【解析】分两种情况讨论：①如解图①,△BCD顺时针旋转得到△BEF,过点 B 作 BG⊥CF于点 G,∵∠ACB=90°,AC=BC=2 ,∴∠A=∠CBA=45°,AB=4.∵ D 为AC 的中点, 在 Rt△BCD中, 旋转得到△BEF,∴△BCD≌△BEF.则 BF=BD= ,∠BEF=∠BCD=90°.∵AB∥CF,∴∠BCG=∠ABC=45°,∴△BCG为等腰直角三角形,可求得CG=BG =2,在 Rt△BFG中, ②如解图②,△BCD顺时针旋转得到△BEF,过点 B作BH⊥CF,交 FC 的延长线于点H,∵ CF∥AB,∴∠BCH = ∠ABC = 45°,∵AC=BC=2 ,CD= ,∴ 综上所述,当CF∥AB时,CF为 或 -2.
或 【解析】①如解图①,过点A 作 AM⊥BC于点 M,在等腰△ABC 中,∠BAC=120°,AB= ，如解图②，当△ABC以点 B为旋转中心逆时针旋转45°时，过点 B作BE⊥C'D 于点 E, ∵ ∠BA'C'=∠BAC = 120°,∴∠DA'B=60°,∠A'BE=30°,在Rt△A'BE中,A'E= 由旋转性质可得，
15°.在DE上取点 P,使∠PBD=15°=∠D.∴∠PBE=60°,∵BE= ,∴DP=BP=2 ,PE=3,∴A'D= ；②如解图③，当△ABC以点B 为旋转中心顺时针旋转45°，过点 D作DI⊥BC'于点I,则∠CBC'=45°,∠DIB=∠DIC'=90°,∠A'C'B=∠ACB=30°,BC'=BC=2 ,设DI=BI=x,则 解得 .综上所述，A'D的长度为 或

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