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第十讲 二次函数的实际应用
类型一 抛物线型问题(42考)重难
1.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.
其中，正确结论的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 新考法 真实问题情境(2024甘肃省卷)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m,高DE=1.8 m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
3. 新考法 真实问题情境(2024兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图①是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图②建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面 A 处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 OA 的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度.
4.(2024江西)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数. 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：
x 0 1 2 m. 4 5 6 7 ..
y 0 7/2 6 8 n
②小球的落点是A，求点A 的坐标；
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值.
5. 新考法 综合与实践(64考)(2024山西)
问题情境：如图①，矩形MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边 MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如图②，AB=6米，AB 的垂直平分线与抛物线交于点 P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：
第一步:在线段OP 上确定点 C,使∠ACB=90°.用篱笆沿线段AC,BC分隔出 区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点 F作AB的平行线，交抛物线于点 D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE 与 CF的长.为此，欣欣在图②中以AB 所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
(1)在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
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新考法传统文化(2024福建定心卷)【背景知识】
如图①、豇(jiāng)豆红釉是康熙时期创烧的颜色釉名品，其多以小件的文房用具为主，有柳叶瓶、菊瓣瓶、太白尊等品种，因烧造难度大，故传世品极少，为世所珍、
【问题探究】
赵老师在参观某博物馆时观察到豇豆红釉暗花太白尊的正面形状，发现其可近似看成抛物线，于是想到以此为研究对象来探究抛物线的性质.于是赵老师“就地取材”，通过一个类似的碗体模型来进行探究与计算.
【数学建模】
如图②为碗体模型示意图，将碗体DOC 看作抛物线，且该抛物线关于y轴对称，抛物线的顶点为坐标原点O，MN为水平桌面，抛物线上关于y轴对称的两点 J，I间的碗身与JA，IB 构成白碗的底座,已知JA⊥MN,IB⊥MN,点E为AB与y轴的交点.
【数据整理】
已知碗口宽CD为12cm，CD与y轴交于点 F，碗的最大深度OF为9 cm.
【解决问题】
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，先往碗中倒入一些清水，此时清水的深度OT=4cm，如图③，再将碗绕点B缓缓倾斜倒出部分清水，直到水面CK与x轴平行，此时∠ABM=45°，求水面由GH变为CK时，增加了多少厘米
(3)在(2)的条件下，求图③中水面深度的最大值.
类型二 利润(费用)最值问题(73考)重难
7. (2024遂宁)某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
(1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元
8.(2024烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅
9.(2024 滨州)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系( 且x是整数)，部分数据如下表所示：
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式；
(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大 最大利润是多少
10.(2024新疆)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额： (万元)与销售量x(吨)的函数解析式为 ；成本y (万元)与销售量x(吨)的函数图象是如 图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点.
(1)求出成本y 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润 最大利润是多少
(注：利润=销售额-成本)
类型三 几何图形(面积)问题(13考)
11.(2024泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
12.(2024自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙 于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得. 5m，OD=3m.班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 .
13.(2024湖北省卷)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗 如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
第十讲 二次函数的实际应用
1. C 【解析】令h=0,则 解得： 6,∴小球从抛出到落地需要6s,故①正确;∵h=30t- ∴最大高度为45m，∴小球运动中的高度可以是30m,故②正确;当t=2时,h=30× 当t=5时, 25，∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误.∴正确结论的个数是2个.
2. 能 【解析】∵CD=4m,B(6,2.68),∴OC=6-4=2,当x=2时, 1.8，∴货车能完全停到车棚内.
3. 解:(1)由题意得(10,8),(20,8)是关于对称轴的对称点，
∴对称轴是直线x=15，由图表信息得顶点坐标是(15,9).
设抛物线的表达式为
∵顶点坐标是(15,9),
∵抛物线过点(0,0),
∴该抛物线的表达式为 (或y=
(2)由题意得：将x=5代入 中，得y 得y=5.
答：当水火箭飞行至离发射点 O 的水平距离为5m时，水火箭距离地面 OA 的竖直高度为5m.
4. 解:(1)①3,6;
②根据表格将(2,6),(4,8)代入 中，得 解得
∴二次函数解析式为
令
解得 不符合题意，舍去)，(
当 时
(2)①8(填“ ·亦可)；
【解法提示】由(1)可知，小球飞行的高度与小球飞行的水平距离的函数解析式为 对称轴为直线x=4，小球飞行的最大高度为8米.
②由(2)①可知飞行高度最大高度为8米，根据顶点坐标公式可得 解得 (负值已舍去).
5.解：(1)建立如解图①所示的平面直角坐标系.
∵OP 所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，
∴点 B的坐标为(3,0).
∵OP=9,∴点 P的坐标为(0,9).
∵P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为
∵点 B(3,0)在抛物线. 上，
∴0=9a+9,解得a=-1.
∴抛物线的函数表达式为
(2)∵点D,E在抛物线 上，
∴设点 E 的坐标为
∵DE∥AB交y轴于点 F,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,OA=OB,
根据题意，得(CF+DE=6,
解得 不符合题意，舍去)，∴m=2,
∴DE=2m=4,CF=-m +6=2,
答：DE的长为4米，CF的长为2米；
(3)
解题思路
由矩形STGH关于y轴对称，求出直线BC的表达式，由于点T，G分别在抛物线和直线BC上，则可设出两点坐标，通过两点间的距离列出周长的表达式，根据表达式性质即可求解.
.【解法提示】如解图②，设灯带围成的矩形为STGH，矩形STGH 关于y轴对称，易得直线BC的表达式为y=-x+3.∵点T在抛物线上,点G在BC上,设T 则G(n,-n+3),∴ST=2T,TG=(-n + 矩形的周长为 当 时，矩形的周长最大，最大值为
6.解：(1)设抛物线的表达式为
由题可知
∴C(6,9),
将C(6,9)代入 中,得9=36a,
解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)令y=4,即
解得
∴GH=8,
如解图，将题图③中的碗竖直放置，过点 C 作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线，两平行线交于点S，由题意得，此时直线CK与x轴夹角为45°，即△CSK为等腰直角三角形，
设直线 CK的函数表达式为y=x+b，
由(1)得C(6,9),
将C(6,9)代入y=x+b中,得b=3,
∴ 直线CK的函数表达式为y=x+3,把y=x+3代入 中，则 解得
∴水面由 GH变为CK时，增加了
(3)如解图，在直线CK下方抛物线上任取一点 P，过点 P作 PQ∥y轴交 CK于点 Q,作 PR⊥CK 于点 R,则PR 即为水的深度，且△PRQ为等腰直角三角形，设Q(m,m+3),则
∴当m=2时,PQ最大,最大值为4,
∴题图③中水面深度的最大值，即解图中的 PR=
7.题干①：A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元.
信息提取：24 间A 种客房的营业额+20间 B 种客房的营业额=7200元;
题干②：若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元.
信息提取：10间A种客房的营业额+10间 B种客房的营业额=3200元;
题干③：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.
信息提取：不调价，房间住了24间，设A客房定价为a，则房间定价增加a-200，房间数减少为 最终入住房间数为 则A种客房一天的营业额为
解：(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，
由题意可得
解得
答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元;
(2)设A种客房每间定价为a元，
则 4 840,
∴当a=220时,W取最大值, 元，答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额 W最大，最大营业额为4 840元.
8. 解:(1)由题意得
∴二次函数的图象开口向下，
∵二次函数的对称轴为直线x=25，
∴当x<25时,y随x增大而增大,
∵200-x≥180,
∴x≤20,
∴当降价20元时，利润最大，最大利润为 元；
(2)由(1)得, 解得
∵x≤20,
∴x=10,
∴当公司共获得销售利润12160元时，售出的轮椅为 辆.
答：这天售出了64辆轮椅.
9. 解:(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b(k≠0),
则 解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
(2)由题意得w= xy-2 000=x(-4x+324)-2000=
即w与x之间的函数关系式为 (30≤x≤80,且x是整数);
(3)由(2)可知, 4561(30≤x≤80,且x是整数),
∵--4<0,
时，w最大，
又∵x是整数,且30≤x≤80,
∴ 当 x=40 或 41 元时,w取得最大值,最大值为4560.
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元.
10. 解:(1)∵点 是抛物线的顶点，
∴设成本y 关于销售量x的函数解析式为
把(2，4)代入可得 解得a=1,
∴成本y 关于销售量x的函数解析式为
(2)由图可知，当 时，y 最小值为
∴利润
∴当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元；
(3)设销售利润为 W万元，
则
∵--1<0,0.4∴当x=3时,
答：当销售量是3吨时所获利润最大，最大利润是7万元.
11.450 【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(60-2x)米,∴菜园的面积为x(60- 又∵0<60-2x≤40,解得10≤x<30,∵-2<0,∴当x=15时,菜园的面积最大，最大面积为450平方米.
12.46.4 【解析】∵围栏的长度只有16m,要使围成的封闭矩形菜地面积最大，只有最大程度利用原来围
墙的长度，∴选择以OA 和 OC 为边构造矩形，设矩形在射线OA上的一段长为 xm，矩形菜地面积为S，OA=6.6+1.4=8.当x≤8时,如解图①,则S=x· 48.02, 当x≤9.8时，S随x的增大而增大，∴当x=8时，S的最大值为46.4 8.8,当 88时,S随x的增大而减小,∴当88.8时,如解图③,S=x(16+6.6-2x)=-2(x-5.65) +63.845,∵-2<0,当x>8.8时,S随x的增大而减小，∴当x>8.8时，S<44.综上所述，矩形菜地面积最大为46.4m .
易错点拨
本题容易认为AO，OC长即为最大的边长，不容易想到边长可以延长去构造矩形是本题的一个难点和易错点.
13. 解:(1)y=80-2x,
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m .
当S=750时,则
解得x =25,x =15,
当x=25时,y=80-2x=30<42,符合题意;
当x=15时,y=80-2x=50>42,不符合题意,舍去,∴x=25;
(3)由题意得80-2x≤42,
80-2x>0,
∴19≤x<40.
由(1)得
∵-2<0,
∴ 当 x=20 时,S有最大值为 800,且 80-2×20=40<42,
∴当x=20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积为800m .

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