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第十一讲 二次函数与几何图形综合题
类型一 线段问题(117考)重难
1. (2024德阳)如图,抛物线 与x轴交于点. 和点B，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求 的函数值的取值范围；
(3)将抛物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 M，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求 的最小值.
类型二 面积问题(82考)重难
2.(2024扬州)如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点.
(1)求b、c的值;
(2)若点 P在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点 P的坐标.
3.(2024福建)如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点 P 在第二象限，线段PC交x轴于点 D， 的面积是 的面积的2倍，求点 P的坐标.
4.(2024通辽)如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴,y轴分别交于点 C，D，抛物线 (k为常数)经过点D且交x轴于A，B两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.
类型三 角度问题(27考)重难
5.(2024连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 (a,b为常数,(
(1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图,当 时，过点 分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分
(3)当 时，过直线 上一点C作y轴的平行线，交抛物线于点 H.若GH的最大值为4，求b的值.
类型四 特殊三角形判定问题(40考)重难
6. (2024遂宁)二次函数 的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点 P，Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 P为直角顶点的直角三角形时，求点 Q 的坐标；
(3)设P的横坐标为m，Q的横坐标为 ，试探究： 的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
类型五 特殊四边形判定问题(55考)重难
7.(2023重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1，3)，且交x轴于点 B两点，交y轴于点 C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点 P作 于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求 周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)中 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点 N的坐标，并写出求解点 N的坐标的其中一种情况的过程.几何画板动态演示
类型六 相似三角形判定问题(含全等)(15考)
8.(2024内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数. 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D作. 轴于点C,交AB于点 E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)是否存在点 D，使得 和 相似 若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D 重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标.
第十一讲 二次函数与几何图形综合题
1. 解:(1)∵ 抛物线 与x轴交于点A(-1,0),∴1+1+c=0,
解得c=-2,
∴抛物线的解析式为
的对称轴为直线 而0∴函数最小值为
当x=0时,y=-2,
当x=2时,y=4-2-2=0,
的函数值的取值范围为
(3)解题思路
过点P 构造直角三角形，将PA与 PM联系起来，再结合抛物线的对称性及两点之间线段最短求最值.
当.x=0时,y=-2,
∴C(0,-2),
当 时，
解得
∴B(2,0),
∴AB=3,
设直线AC的解析式为y= kx-2,
∴-k-2=0,
∴k=-2,
∴ 直线AC 的解析式为y=-2x-2,
∵抛物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 M，而顶点为
∵当 时
∴M在直线AC上,
如解图,过点 P 作 PG⊥AC 于点 G,连接 MB,过点 P作PH⊥MB 于点H,连接AP,AH,
∵A(-1,0),C(0,-2),
∵对称轴与y轴平行，
∴∠AMP=∠ACO,
由抛物线的对称性可得 PG=PH,∠MAB=∠MBA,
当A，P，H三点共线时取等号，
即 的最小值为
2. 解:(1)将点A(-2,0),B(1,0)代入 得 解得
∴b的值为-1,c的值为2;
(2)由(1)可得，二次函数的解析式为 设P(m,n),
∵点P在二次函数的图象上，
∵A(-2,0),B(1,0),
∴AB=3,
又∵△PAB的面积为6,
解得n=±4,
当n=4时,即 化简得 该方程无实数解，不符合题意；
当n=-4时,即 化简得 解得
综上所述，点P 的坐标为P (2,-4)或P (-3,-4).
易错点拨
点P在二次函数图象上，表示三角形面积时，高需要带绝对值符号，分不同的情况讨论.
3. 解:(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入 中，得 解得
∴二次函数的表达式为
(2)
解题思路
由题可知△PDB 与△CDB 是同底不等高三角形，将 转化为以 BD 为底边时，△PDB 的高是△CDB的高的2倍，即点P到x轴的距离是点C到x轴的距离的2倍，即可求出点P的坐标.
设P(m,n),
∵点P 在第二象限，
∴m<0,n>0.
依题意，得 I
∵CO=2,
∴n=2CO=4.
∵P是二次函数图象上的一点，且点 P 在第二象限，
即 解得 (舍去),
∴点 P的坐标为(-3,4).
4. 解:(1)把y=0代入函数 中，得 0,解得x=2,
∴C(2,0),
把x=0代入函数 中,得y=3,
∴D(0,3),
∵抛物线 (k为常数)经过点D，
解得k=4,
∴抛物线表示的函数解析式为
(2)∵抛物线的函数解析式为
∴顶点 P 的坐标为(2,4),
∵C(2,0),
∴PC⊥x轴,PC=4,
如解图,过点D作DE⊥PC于点E,则DE=2,
把y=0代入函数 中，得
解得
∴A(-2,0),B(6,0),
∴AC=4,
∵D(0,3),
∴DO=3,
5. (1)解:分别将点A(-1,0),B(4,0)代入 bx-1,
得 解得
∴ 抛物线对应的函数表达式为
(2)证明:连接CN,如解图①,
∵b=1,
当x=-1时,y=a-2,即M(-1,a-2),当x=1时,y=a,即N(1,a).
∵C(-1,a),N(1,a),
∴CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM⊥CN,
∴在 Rt△CMN中,
∴DN=MN,
∴ ∠NDM=∠NMD.
∵DN∥CM,
∴∠NDM=∠CMD,
∴∠NMD=∠CMD,
∴MD平分∠CMN;
(3)
解题思路
由题可得GH∥y轴，则点 G，H的横坐标相等，所以设出点G的坐标，即可表示出点H的坐标，再结合b的取值范围，确定点G与H的位置关系，即可用含参数的代数式表示线段GH的长，将其转化为二次函数，对二次函数对称轴的范围进行分类讨论并求解.
解:设G(m,m-1),则
当a=1时,
令 解得
∵b≤-2,
∴点G在H的上方(如解图②).
设GH=t,故
其对称轴为直线 目
①当 时,即-5≤b≤-2.
画出t关于m的二次函数图象如解图③，
由解图③可知：
当 时，t取得最大值
解得b=-3或b=5(舍去);
②当 时,即b<-5,
画出t关于m的二次函数图象如解图④，
由解图④可知：
当m=3时,t取得最大值-9+3-3b=4.
解得 (舍去).
综上所述，b的值为-3.
6. 解:(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入 bx+c,
得 解得
∴二次函数的表达式为
(2)如解图①,
由 得抛物线对称轴为直线x=1，
∵P,C两点关于抛物线对称轴对称,C(0,-3),
∴P(2,-3),
设
∵∠OPQ=90°,
即
整理得
解得 舍去)，
(3)存在，理由如下：由题知点 P横坐标为m，点Q 横坐标为m+1，则点 则点 Q(m+1, ,当点 P 在y轴左侧,Q 在y轴右侧，如解图②，设直线 PQ交y轴于点 H，
由点P，Q的坐标得，
直线 PQ 的表达式为： 令x=0,则 则
∴当 . S存在最小值，S的最小值为 当点 P，Q同时在y轴左侧和当点 P，Q同时在y轴右侧方法同上，经验证均不是△OPQ 面积的最小值.
∴综上所述，S存在最小值为
解题技巧
求面积最值：利用二次函数性质求最值：设动点的横坐标为m，用含m的代数式表示出所求图形的面积，利用二次函数的增减性求最值.
类题通法
当所求图形不规则或者不易直接求解时，考虑通过分割法或者补形法将所求图形面积转化为其他规则图形的面积和差求解.
7. 解:(1)将点(1,3),(-1,0)代入抛物线 2中,
得 解得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)
解题思路
根据PD⊥BC,PE∥y轴推导出△PDE∽△BOC,得出DE，PE，PD之间的关系是解题的关键.
∵当x=0时,y=2,
∴C(0,2),
∵当y=0时, 解得
∴B(4,0),
∴OC=2,OB=4,BC=2
∵直线 BC过点B(4,0),C(0,2),
∴直线 BC的函数表达式为
∵PD⊥BC,PE∥y轴,
∴∠PDE=∠BOC=90°,∠PED=∠BCO,
∴△PDE∽△BOC,
设
则
∴当m=2时，PE有最大值，最大值为2，
∴△PDE周长的最大值为
此时,点 P 的坐标为(2,3);
(3)点N的坐标为 或 或((
由(1)得，原抛物线解析式为 将抛物线沿射线 CB 方向平移 个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，易得平移后抛物线的解析式为
∵M在平移后抛物线的对称轴上，设M( ,t),N(n,k).
①当AP 为对角线时,由题意得,MA=MP,即 解得
即
②当AP 为菱形的边长时，若AP=PM,则 解得
即 或 若，AP=AM,则 无解.
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综上所述，满足条件的点 N 坐标为
类题通法
当所求图形为菱形时，通常分两定点构成的线段为菱形的边长和为菱形的对角线两种情况去分类讨论.
8. 解:(1)令y=0,则-2x+6=0,解得x=3;
令x=0,解得y=6,
∴A(3,0),B(0,6),
把A(3,0),B(0,6)代入
得 解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为
(2)存在点 D 坐标为(1,6)或 使得△BDE和△ACE 相似.理由如下：
设点 则E(t,-2t+6),C(t,0)(0∴EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t +3t,
∵△BDE 和△ACE 相似,∠BED=∠AEC,
∴△ACE∽△BDE 或△ACE∽△DBE,如解图①,当△ACE∽ △BDE 时,∠BDE = ∠ACE=90°,
∴BD∥AC,
∴D点纵坐标为6，
解得t=0(舍去)或t=1,
∴D(1,6);
如解图②,当△ACE∽△DBE时,∠BDE=∠CAE,过点B作BH⊥DC于点 H,
∴∠BHD=90°,H(t,6),BH=t,DH=-t +t,
解得t=0(舍去)或
综上所述，点D的坐标为(1，6)或
(3)如解图,∵四边形EGFD为菱形,
∴DE∥FG,DE=FG=EG,
设点D(m,-m +m+6),E(m,-2m+6),F(n,-n +n+6),G(n,-2n+6),
即(m-n)(m+n-3)=0,
∵m-n≠0,
∴m+n-3=0,即n=3-m,
∵A(3,0),B(0,6),
∴AO=3,BO=6,
①如解图③,当点 G 在点 E 右侧时,过点 G 作 GK⊥DC于点K,
∴KG∥AC,3-m>m>0,即
∴∠EGK=∠BAC,
即
∵DE=EG,
解得 (不符合题意，舍去)或
②如解图④当点G在点 E 左侧时， 同理可得
综上所述，点D 的横坐标为 ⑨
类题通法
解决相似三角形存在性问题：
当在二次函数中求两个三角形相似时，三角形的对应边不确定的情况下，一般情况下会存在一组对应的角相等，先确定角后再去分情况讨论.

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