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第十三讲 三角形
命题点1 三角形及边角关系
类型一 三角形的三边关系(40考)
1.(2023福建)若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
2. (2023扬州)在△ABC中, 若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是( )
A. 1 B.2 C.6 D. 8
类型二 三角形的内角和及内外角关系(23考)
3. (2024长沙)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
4.新考法 真实问题情境(2024甘肃定心卷)六分仪(如图①)是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度.其原理如图②所示，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FC与0°刻度线AE 保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA 交于点 C，SA 所在直线与水平线MB 交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角 观测角为∠SDM.已知某一时刻测得ω=28°,则∠SDM 的度数为( )
A. 34° B. 45° C. 56° D. 70°
5. (2023徐州)如图,在. 中，若 则
命题点2 三角形中的重要线段
类型一 与中点有关的问题(含中位线)(174考)
6.(2024兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为 ( )
A. 18m B. 24m C. 36m D. 54m
7. (2024长春)如图,在△ABC中,O 是边AB 的中点,按下列要求作图：①以点 B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点 D，交BC于点E；②以点O 为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA 于点 F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点 G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点 M.下列结论不一定成立的是 ( )
A. ∠AOM=∠B B. ∠OMC+∠C=180°
C. AM=CM
8. (2024凉山州)如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是 .
9. (2024浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 .
类型二 与角平分线有关的问题(119考)
10. (2024湖南省卷)如图,在锐角三角形ABC 中,AD 是边 BC 上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使 分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于点P，作射线BP,交AD于点 M,过点 M作 于点 N.若 AD=4MD,则
11. (2024凉山州)如图, 中， CD是边AB上的高,AE是. 的平分线，则 的度数是
类型三 与高线有关的问题(12考)
12. (2022 玉林)如图,请你量一量 中BC边上的高的长度，下列最接近的是 ( )
A. 0. 5cm B. 0.7cm C. 1.5cm D. 2cm
命题点3 等腰三角形(79考)
13.(2024赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为 ( )
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
14. (2024云南)已知AF是等腰△ABC底边 BC上的高,若点F到直线AB的距离为3，则点 F到直线AC的距离为 ( )
A. B. 2 C. 3
15.(2023河北)四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 （）
A. 2 B. 3 C.4 D.5
16. (2024兰州)如图,在 △ABC中 则∠ADB= ( )
B. 115° C. 130°
17.(2024福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与 都是等腰三角形，且它们关于直线l对稳点E，F分别是底边AB、CD 的中点， 下列推断错误时是( )
A. OB⊥OD
('2024 湖南省卷)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
19.(2024内江)如图,在 中， 则 的度数为 .
20. (2024重庆 B卷)如图,在 中， BD 平分 交AC于点 D.若 ，则AD的长度为 .
21. (2024陕西)如图,在 中， ，E 是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作 且 ,连接CF.若 10,则四边形EBFC的面积为 .
22. (2024新疆)如图,已知平行四边形ABCD.
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作 的平分线交CD于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下,求证: 是等腰三角形.
23. 一题多设问 新考法补充过程、依据(71考)(2024 滨州)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图,在△ABC中,若 则有
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD 替换为 AC+CD,还能推出∠B=∠C吗
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方法.
小军
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……
小民
证明:∵AD⊥BC,
△ADB与△ADC均为直角三角形，根据勾股定理，得……
【问题解决】
(1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
新考法 改变已知条件(3)小军说，若“AD平分 ，还可以推出 你觉得小军的说法正确吗 请说明理由.
命题点4 等边三角形(81考)
24. (2024泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 ( )
A. 45° B. 39° C. 29° D. 21°
25. (2023甘肃省卷)如图,BD 是等边△ABC 的边AC上的高,以点D 为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC= ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
26. (2024自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点 D,AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°，则新钢架减少用钢 ( )
27. (2023滨州)已知点 P 是等边. 的边BC上的一点，若 则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为 ( )
28.(2024湖北省卷)如图，由三个全等的三角形 与中间的小等边三角形 DEF 拼成一个大等边三角形ABC.连接BD 并延长交AC于点 G,若 则(1)∠FDB的度数是 ;(2)DG的长是 .
29. (2024宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点，且 BE与AD交于点 F.求证:
30. (2024长沙)如图,点 C 在线段AD 上,
(1)求证:
(2)若 求 的度数.
31. (2023武汉)如图,在四边形ABCD中, 点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE 平分∠BCD,直接写出△BCE的形状.
命题点5 直角三角形
类型一 勾股定理及其应用(46考)
32. 新考法 数学文化(2024眉山)如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为 ( )
A. 24 B. 36 C.40 D. 44
33. (2024 浙江)如图，正方形 ABCD 由四个全等的直角三角形 和中间一个小正方形EFGH 组成，连接DE.若 则 ( )
A. 5 D. 4
34.(2023 广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A 处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
35. 新考法数学文化(2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点 E，F，记正方形ABCD的面积为S ,正方形MNPQ 的面积为S .若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示 的值是 .
类型二 直角三角形的性质及计算(116考)
36. (2024陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD 是BC边上的高,E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有 ( )
A.2个 B. 3个 C.4个 D. 5个
37. (2024青海省卷)如图,在Rt△ABC中,D是AC边的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是 ( )
A. 3 B. 6
38.(2024南充)如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB,使 连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 ( )
39. (2024天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点 E，交AC于点 F；再分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为 ( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
40. (2024安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D 在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是 ( )
A. - B. - C. 2 -2 D. 2 -
41. (2024呼伦贝尔)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点 M 和点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接AP并延长交BC于点 D.若△ACD的面积为8,则△ABD 的面积是 ( )
A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
42. (2024成都)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的一条角平分线,E 为AD中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD= .
43. (2024长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2 ,AC=2,分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点 D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
命题点6 等腰直角三角形(44考)
44. (2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点 E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为
A. 18 C. 9
45. (2024达州) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D 在线段BC上, ,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .
46. |一题多设问 (2024 自贡)如图①,在△ABC 中, ∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A;
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
新考法结合三角形周长关系，求线段比值(3)如图②，在题干条件下G为AB上一点，且 CG交DE于点H,若 和△BCG周长分别为c ,c ,c ,点D在 线段 BG上运动，当 时，请直接写出 的值.
[考法源自2023鄂州24(2)题]
47. (2024福建)如图,已知直线
(1)在 所在的平面内求作直线l、使得 且l与 间的距离恰好等于l与 间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若 与 间的距离为2，点A，B，C分别在l， 上，且 为等腰直角三角形，求 的面积.
第十三讲 三角形
1. B 【解析】根据三角形的三边关系得4-32. C 【解析】如解图①,在△ABC中,AB=4,∠B=60°,当∠A=90°时,∠C=30°,∴BC=2×4=8;如解图②,当∠ACB=90°时, 是锐角三角形,∴ ∠A,∠C 都小于 90°,∴23. C 【解析】∵ ∠BAC=60°,∠B=50°,∴ ∠C=180°- ∠C=70°.
4. C 【解析】∵BC∥AE,∴∠C=∠EAC.∵∠EAC=ω=28°,∴ ∠C=ω= 28°. ∵ ∠SAN = ∠CAD,∠BAC=∠SAN=α,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α.∵∠FBA 是△ABC 的外角,∴ ∠FBA =∠BAC+∠C,即β=α+ω,∴ ∠SDM = 180°-∠DAB--∠ABD = 180°-2α-(180°-2β)=2(β-α)=2ω=56°.
5. 55 【解析】∵ DE∥BC,∠BDE=120°,∴∠B=180°-120°=60°,∵ FG∥AC,∠DFG=115°,∴ ∠A=180°-
6. C 【解析】∵D,E 分别是AC,BC的中点,∴DE 是△ABC的中位线,∴AB=2DE=36m.
7. D 【解析】由作图过程可知,∠AOM=∠B,故A 选项正确,不符合题意;∵∠AOM=∠B,∴OM∥BC,∴∠OMC+∠C=180°,故B 选项正确,不符合题意;∵O是边 AB 的中点,OM∥BC,∴ 点 M 为 AC 的中点，∴AM=CM，故C选项正确，不符合题意；根据已知条件不能得出 故 D 选项不正确，符合题意.
8. 42 【解析】在△ABD中,∵点E,H分别为AB,AD 的中点,∴EH是△ABD 的中位线, 同理可得 ∴四边形 EFGH的周长为
9. 4 【解析】∵D,E 分别是AB,AC的中点,∴DE 是
△ABC的中位线,∴DE∥BC,BC=2DE=4,∴∠AED=∠C,∵ ∠AED =∠BEC,∴ ∠BEC =∠C,∴ BE=BC=4.
10. 6 【解析】由作图可知,BP平分∠ABC,∵AD 是边BC上的高,MN⊥AB,MN=2,∴MD=MN=2,∵AD=4MD,∴AD=8,∴AM=AD-MD=6.
11. 100° 【解析】在 Rt△BCD中,∠BCD=30°,∴∠B= ,由△ABC 的内角和为180°可得,∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-60°-80°=40°,又∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠EAC=20°,∵ ∠AEB 为△AEC的外角,∴∠AEB=∠EAC+∠ACE=20°+80°=100°.
12. D
13. C 【解析】方程 的两根分别为 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，∵3+3<7，∴不符合题意，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3+7+7=17.
14. C 【解析】如解图,∵AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的高,∴AF平分∠BAC,∴点 F到直线AB,AC的距离相等，∵点 F 到直线AB的距离为3，∴点 F 到直线AC的距离为3.
15. B 【解析】当△ABC为等腰三角形时,AC可能为3或4，在△ADC中，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，2-216. B 【解析】∵∠BAC=130°,AB=AC,∴∠C=(180°-
17. B 【解析】∵△OAB 与△ODC 是两个全等的等腰三角形,∴∠AOB=∠DOC,∵点 E,F分别为AB,CD的中点, ∴ OE = OF, ∠AOE = ∠BOE = ∠COF =∠DOF,∴ ∠BOE+∠COF = ∠COD,∴ ∠BOE+∠BOC+∠COF=∠BOC+∠COD,又∵OE⊥OF,∴OB⊥OD,A,C 选项正确,不符合题意;由 A 可得,∠BOC+∠COD=90°,∴∠BOC+∠AOD=2(∠BOC+∠COD)=180°,D选项正确,不符合题意;由已有条件无法证明∠BOC=∠AOB，B选项错误，符合题意.
18.100 【解析】∵等腰三角形的底角为40°,∴ 其顶角的度数为
19. 100° 【解析】∵ ∠DCE=40°,∴ ∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=140°,∵AE=AC,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴∠ACE+∠BCD=∠CDE+∠CED=140°,∴ ∠ACB=∠ACE+∠BCD-∠DCE=
20. 2 【解析】∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠C ∵BD 平分∠ABC,∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴AD=BC=2.
21. 60 【解析】∵ BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∴∠CBF=∠ABC,∴BC平分∠ABF.如解图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,过点 C分别作 CG⊥AB 于点 G,CH⊥BF 于点 H,∴ CG= 即
解题技巧
结合等腰三角形和平行线的性质，证得BC是角平分线，利用角平分线的性质，证明△AEC和△BFC等底等高，将求四边形 EBFC 的面积转化为求△ABC的面积.
22.(1)解:如解图,线段AE 即为所求作;
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,
∴ ∠BAE=∠DEA,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DA=DE,
∴△ADE 是等腰三角形.
23. (1)证明:∵ 在 与 中，
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS),
∴∠B=∠C;
(2)解:小军证明:如解图①,分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=AB,CF=AC,连接AE,AF,
∵AB+BD=AC+CD,
∴BE+BD=CF+CD,即DE=DF,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在 Rt△ADE 与 Rt△ADF中,
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(SAS),
∴∠E=∠F,
∵BE=AB,CF=AC,
∴∠E=∠EAB=∠F=∠FAC,
∵∠E+∠EAB=∠ABC,∠F+∠FAC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB;
小民证明:∵AD⊥BC,
∴ △ADB 与△ADC均为直角三角形,
根据勾股定理，得
∵AB+BD=AC+CD,
∴AB-BD=AC-CD,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C;
(3)解：正确，理由如下：
如解图②,分别延长AB,AC至点E,F,使得BE=BD,CF=CD,连接ED,FD,
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∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD,
∵AB+BD=AC+CD,BD=BE,CD=CF,
∴AE=AF,∠E=∠BDE,∠F=∠CDF,在△ADE 和△ADF中.
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴∠E=∠F,
∵∠ABC=∠E+∠BDE,∠ACB=∠F+∠CDF,
∴∠ABC=2∠E=2∠F=∠ACB.
24. B 【解析】如解图,过点 A 作 AF∥l交 BC 于点F,∴∠BAF=∠ABE =21°,∵l∥m,∴AF∥m,∴∠CAF=∠ACD,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠BAF+∠CAF = 60°,∴ ∠CAF =∠BAC-∠BAF =60°-21°=39°,∴ ∠ACD=∠CAF=39°.
25. C 【解析】在等边△ABC 中,∠ABC=60°,∵ BD 是AC边上的高，∴BD平分 =30°,∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.
26. D 【解析】在等边△ABC中,CD⊥AB 于点 D,AB长 =4 =AE,∵∠CBD=60°,∴CD=BD·tan∠CBD= ∴新钢架减少用钢的长度为AC+BC+CD-AE-BE-DE=24+6 -8
易错点拨
本题在求解新钢架减少的用钢量时，一定要考虑到立柱部分减少的用钢量.
27. B 【解析】如解图,将△ABP绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ, 连接 PQ,∴AP=AQ,∠PAQ=60°,∴△APQ 是等边三角形,∴∠AQP=60°,PQ=AP,由旋转的性质得,BP=CQ,∠AQC=∠APB,∴以线段AP,BP，CP 为边的三角形为△PCQ，最小的锐角为∠PQC,∵ ∠APC=104°,∴ ∠APB=76°,∴ ∠AQC=∠APB=76°,∴∠PQC=76°-60°=16°.
28.解题思路
根据三角形的性质结合等边三角形的性质求得BF=DF,可求得∠FDB=30°;再作CH⊥BG交BG的延长线于点H，利用直角三角形的性质求得CH=1，DH ，证明△AGD∽△CGH，继而利用相似三角形的性质列式计算即可求解.
(1)30°;(2) 【解析】(1)∵ △ABE,△BCF,△CAD为三个全等的三角形,∴ BE=CF=AD,∵△DEF 为等边三角形,∴ EF =DF =DE,∠DEF =∠DFE=60°,∵AE=DE=2,∴ BF=DF=2,∠BFD=180°-60°=120°,∴ ∠FDB=∠FBD=30°;(2)如解图,过点 C 作 CH⊥BG 交 BG 的延长线于点 H,在Rt△CHD中,∠CDH=∠BDF=30°,∠DHC=90°,CD -∠FDB=90°,∴ ∠ADH=∠DHC=90°,∵ ∠AGD=∠CGH,∴ △AGD∽△CGH,∴AD=DFC,C即 解得
解题技巧
在第(2)问中，作辅助线，巧构两个三角形相似，将求DG的长转化为求两条线段的差.
29. 证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,又∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
30. (1)证明:在△ABC 和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS);
(2)解:∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠CAE=∠BAC=60°.
∴△ACE 是等边三角形,
∴∠ACE=60°.
31. (1)证明:∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B.
∵∠B=∠D,
∴∠EAD=∠D,
∴BE∥CD,
∴∠E=∠ECD;
(2)解:△BCE等边三角形.
【解 法 提示】∵ CE 平 分 ∠BCD, ∴ ∠BCE =∠ECD,∵ BE∥CD,∠E = 60°,∴ ∠ECD = ∠E =60°,∴∠B=180°-∠E-∠BCE=60°,∴∠B=∠BCE=∠E=60°,∴△BCE是等边三角形.
32. D 【解析】如解图，令直角三角形的两直角边为a，b(b>a)，斜边为c，∵题图①中大正方形的面积是 ∴小正方形的面积是4，∴(b- .题图②中大正方形的面积为
33. C 【解析】由题意知△ADH≌△BAE,∴AH=BE=3,DH=AE=4,∴HE=AE-AH=1,∵四边形 EFGH是正方形,∴∠DHE=90°,∴在 Rt△DHE 中,由勾股定理得
34.10 【解析】如解图，将玻璃杯侧面展开，作点 B 关于EF 的对称点 B',作 B'D⊥AE 交AE 的延长线于点D，连接AB'，由题意得 5cm,∴ AD = AE+DE = 6 cm. ∵ 底面周长为16( 10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为
【解析】如解图①所示，分别过点 A 和点 D作直线EF的垂线段AG与DH，垂足分别为G和H，易得Rt△AGE∽Rt△DHF,∴ACH=AEF,易知 BE= 四边形 MNPQ 是正方形,∴∠QMP=45°,∴ Rt△AGM 与 Rt△DHM 都是等腰直角三角形，. 设正方形 ABCD的边长为1， 即k·y=x+y,在 Rt△AMD 中,由勾股定理得
如解图②所示，过点B 作EM的平行线BS，与AN的延长线交于点 S.易知△BNS是等腰直角三角形，设MN=x,NS=y,AE=1,BE=k,∵BS∥EM,∴AE=AMMS,即 在 Rt△ANB中，由勾股定理得 即 (k+1) ,解得
36. C 【解析】∵ ∠BAC=90°,∴ △ABC 是直角三角形.∵ AD 是 BC 边上的高,∴ ∠ADB = ∠ADC =90°,∴△ABD,△ADE,△ADC是直角三角形,∴共有4个直角三角形.
37. A 【解析】∵ D 是AC 边的中点,∴BD 是△ABC 边AC的中线,∵△ABC 为直角三角形,. CD,∵∠BDC=60°,∴△BDC为等边三角形,∴ BC=
38. A 【解析】设AB 的长度为1,·
39. B 【解析】∵∠C=90°,∠B=40°,∴ ∠BAC=90°- ,由作图知,AP 平分∠BAC,∴ 又∵∠ADC=∠B+
40. B 【解析】如解图,过点 C作CE⊥AB 于点 E,∵在Rt△ABC中, 90°,∴ 在 Rt △CED 中,
41. B 【解析】∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,由作图知AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB=30°,∴CD= AD,∠B = ∠BAD, ∴ AD = BD,∴ CD = 又∵△ACD的面积为8,∴ △ABD的面积是2×8=16.
42.解题思路
根据点 E 为 AD 的中点,∠ACB=90°,正确作辅助线，设线段长，分析线段的关系，结合题干角平分线的性质，求得线段对应关系式，寻找等量关系，求解即可.
【解析】如解图,连接CE,过 E 作 EF⊥CD于点 F,设 BD=x,EF=m,∵∠ACB=90°,E为 AD 中点,∴ CE =AE=DE,∴ ∠EAC=∠ECA.∵ CD =2, ∠CDE,∴∠CED=2∠CAE,AC=2EF=2m.∵ BE=BC,∴ ∠BEC = ∠BCE,∴ ∠BEC = ∠CDE. 又∵∠BCE=∠DCE,∴ △CBE∽△CED,∴ CE=CBE,∠CBE=∠CED=2∠CAE,∴CE =CD·CB=2(2+x)=4+2x,在 Rt△CEF中, 即 2x.∵ AD 是△ABC 的一条角平分线,∴ ∠CAB =2∠CAE = ∠CBE. ∵ ∠ACB = ∠BFE = 90°,∴△CAB∽△FBE,∴CFF=CFFE,即 (x+1)(x+2),∴2(3+2x)=(x+1)(x+2),解得x= (负值已舍去)，∴
43.解：(1)由作图可知，MN是线段AB 的垂直平分线，∴点D 是AB的中点,
∵∠ACB=90°,AB=2
(2)在 Rt△ABC中, =4.
∵MN是线段AB的垂直平分线，点E在MN上，
∴EA=EB,
∴△ACE的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
44. C 【解析】如解图,连接AD,∵∠BAC=90°,AB=AC=6,点D是BC中点,AE=CF,∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD = BD = DC,∴ △ADE≌△CDF(SAS),∴ 又∵
45. 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥AB 于点E,∵ ∠C=90°,AC=4,CD=1,∴ AD= +1 = .∵ ∠BAD=45°,∴ △ADE 是等腰直角三角形,∴ 设DB=x,则(CB=x+1,∴AB 解得 (舍去)或 经检验 是原分式方程的解，
解题技巧
通过作AB边的垂线，在直角三角形中，利用正弦的定义，得到相等的线段比，列方程求解.
46. (1)证明:∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C,
∵∠EDF=∠C,
∴∠EDF=∠AED,
∴DF∥AC,
∴∠BDF=∠A;
(2)解：△ABC是等腰直角三角形；
【解法提示】∵ ∠BDF = ∠A,∴ ∠BDF = ∠A =45°,∵ DF 平分∠BDE,∴ ∠BDE = 2∠BDF =90°,∵DE∥BC,∴∠B=180°-∠BDE=90°,∴∠C=180°-∠A-∠B=45°=∠A,∴△ABC是等腰直角 三角形.
(3)解:
【解法提示】由(1)易知四边形 CEDF 为平行四边形，△BDF∽△BAC,∴CE=DF,DBE=ABC= 设 DB=3x,BG= tx,则EC=2x,又∵∠ACG=∠B=∠GDH,∠EHC = ∠GHD = ∠GCB,∴ △CEH ∽ △DGH, :t,当 时，则 解得 t= 又∵∠ACG=∠B,∠A=∠A,∴
47.解：(1)如解图①，直线l就是所求作的直线；
(2)①如解图②,当∠BAC=90°,AB=AC时,∵l∥l ∥l ,直线l 与l 间的距离为2,且l与l 间的距离等于l与l 间的距离，根据图形的对称性可知，BC=2,
②如解图③,当∠ABC=90°,BA=BC时 ,分别过点A，C作直线l 的垂线，垂足分别为M，N，∴∠AMB=∠BNC=90°.
直线l 与l 间的距离为2，且l与l 间的距离等于l与l 间的距离，
∴CN=2,AM=1.
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2.
在 Rt△ABM中，由勾股定理得
③如解图④,当∠ACB=90°,CA=CB 时,同理可得,
综上所述，△ABC的面积为1或

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