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题型六 二次函数性质综合题
类型一 纯性质综合
1. (2024安徽)已知抛物线 (b为常数)的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1.
(1)求b的值;
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上.
(i)若h=3t,且. 求h的值；
(ii)若 求h的最大值.
2.(2024 山东省卷)在平面直角坐标系xOy中，点 在二次函数 的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值;
(2)若点 在 的图象上.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当( 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图象与x轴交点为( 若 求a的取值范围.
3.新考法 新定义(2024长沙定心卷)定义：若函数y ，y 的自 变量x的取值范围相同，我们把函数 叫做y ,y 的加权平均函数，其中t为加权系数，且(
(1)已知 几何画板动态演示
①当 时，y ，y 的加权平均函数为 ;
②若 是y ，y 的加权平均函数，则
(2)已知: 其加权平均函数y的图象经过两个定点A，B(点A在点B的左侧)，试在x轴上求一点P，使得PB-PA取得最大值，并写出点 P的坐标；
(3)已知 与 对于 的任意一个t的取值，加权平均函数y的图象都在x轴上方，试求n的取值范围.
4. (2024威海)已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 且
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 0),(x ,0),且 .试判断下列每组数据的大小(填写<、=或>)；
(2)若 求b的取值范围；
(3)当 时， 最大值与最小值的差为 求b的值.
5. (2024河北)如图,抛物线( 过点(4,0),顶点为 Q.抛物线 (其中t为常数，且 顶点为 P.
(1)直接写出a的值和点Q 的坐标；
(2)嘉嘉说：无论t为何值，将 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在 上.
淇淇说：无论t为何值， 总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
(3)当 时.
①求直线 PQ 的解析式；
②作直线 当l与 的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标.
(4)设 与 的交点A，B的横坐标分别为 且 点M在 上，横坐标为 点N在 上，横坐标为 若点M 是到直线 PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线 PQ 的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n.
类型二 交点问题
6、(2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C、D是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段AB的长;
(2)当 时，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
(3)延长CD交x轴于点E,当 时，将 沿DE方向平移得到 将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点 都落在抛物线L'上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
7.(2024临夏州)在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P 是线段BC上方的抛物线上一动点，过点 P 作PQ 垂足为Q，请问线段PQ 是否存在最大值 若存在，请求出最大值及此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点M是直线BC上一动点，过点M作线段 (点N在直线BC下方)，已知 ，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M 的横坐标： 的取值范围.
类型三整点问题
8.(2024乐山)在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线 (a为常数且 与y轴交于点A.
(1)若 求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线 交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”，求a的取值范围.
9.(2024湖北省卷)在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 C.
(1)求b的值;
(2)如图①，M是第一象限抛物线上的点， 求点 M的横坐标；
(3)如图②，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点 N.设L的顶点横坐标为n，NC的长为d.
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域(不含边界)记为W.当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围.
题型六 二次函数性质综合题
1. 解:(1)∵抛物线 的顶点横坐标为b/2，抛物线 的顶点横坐标为1，
解得b=4;
(2)∵点A(x ,y )在抛物线 上，
又∵点 在抛物线 上，
整理得
(i)∵h=3t,
整理得
又∵x ≥0,t>0,∴t+2x >0,
∴t=1,∴h=3;
(ii)将 代人
整理得
配方得
∵a=-3<0,
∴当 时，即 时，h取得最大值为
解题技巧
将点A，B的坐标分别代入到两个抛物线解析式中，分别求出h与t和h与x 的关系式是解题的关键.
2. 解:(1)将点 P(2,-3)代入. 中，得4a+2b-3=-3,∴b=-2a.
∵该二次函数图象的对称轴为直线x=m，
(2)由(1)知,m=1,
∴点Q 的坐标为(1，-4)，该二次函数图象的对称轴为直线x=1,
∴点Q 为该二次函数图象的顶点，
∴设该二次函数解析式为
将点P(2,-3)代入,得-3=a-4,∴a=1,
∴该二次函数解析式为
∴将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象对应的解析式为
∵a=1>0,
∴新的二次函数的图象开口向上，
∵0≤x≤4，二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时,y 有最小值,最小值为1;当x=4时,y 有最大值，最大值为10，
∴当0≤x≤4时，新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11;
(3)由(1)知,
即
由(1)可得,
令x =3,将(3,0)代入,得9a-6a-3=0,解得a=1,
令 ,将(4,0)代入,得16a-8a-3=0,
解得
∴a的取值范围为
解题技巧
在第(3)问中，由题干条件抛物线与x轴交点为(x ，0),(x ,0)和x -x 的取值范围，想到利用根与系数的关系 进行求解.
3. 解:
② ,1;
(2)
解题思路
第一步：根据定义，先写出加权平均函数y；
由题意，得
+x-2,
第二步：由y过两定点A，B及其位置关系，求解出A，B点的坐标；
∵y过定点，
解得x=1或x=4,
当x=1时,y=-1,当x=4时,y=2,
∵点A 在点 B的左侧，
∴A(1,-1),B(4,2),
第三步：判断A，B两点和x轴的位置关系，利用两条线段差最值的方法求解即可.
如解图,作点A(1,-1)关于x轴的对称点A'(1,1),直线A'B与x轴的交点即为所求的点P，使得PB-PA的值最大，
设直线A'B的解析式为y= kx+b(k≠0),
将点A′(1,1),B(4,2)代入,
得 解得
∴ 直线A'B 的解析式为
令y=0,得x=-2,
∴点 P 的坐标为(-2,0);
(3)
解题思路
第一步：先写出加权平均函数y，并将其转化为y关于x的二次函数的顶点式，得到加权平均函数的最值；
-2tn.
∵a=1>0,
∴加权平均函数y的图象开口向上，
∴当 时，
第二步：由加权平均函数的图象与x轴的位置关系，得到最值的取值范围；
∵加权平均函数y的图象都在x轴上方，
令
∵a=1>0,
∴函数h的图象开口向上.
令t=1,得h=4n-8,
令t=0,得h=-4n+1.
第三步：结合题干中t的取值范围，求解出n的取值范围即可.
∵0∴4n-8≤0,且-4n+1≤0,
解得
∴n的取值范围为
4. 解:(1)=,<,>;
【解法提示】 与x轴交点的坐标分别为(x ,0),(x ,0),且且 且抛物线开口向上，∵ 与x轴交点的坐标分别为(x ,0),(x ,0),且. 即 向上平移1个单位， 且 即②x 即
∴3<-b<4,
∴-4(3)
解题思路
第一步：求出抛物线的顶点坐标和对称轴；
抛物线 顶点坐标为 对称轴为直线
第二步：根据x的取值范围，计算在x取到两个临界值时，y所对应的值；
当x=0时,y=c;当x=1时,y=1+b+c;
第三步：由于并不知道对称轴和x取值范围的位置关系，因此分3种情况进行求解即可.
①当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，此时对称轴在1右侧， 有
解得
不符合题意，舍去；
②当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时，此时 即-2有
解得 (舍去)或
③当在x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，此时 即-1有
解得 舍去)或
综上所述，b的值为 或
5. 解
【解法提示】∵抛物线 过点(4,0),顶点为(Q,∴16a-8=0,解得 抛物线为
(2)选择嘉嘉：把Q(2，-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0，-2)，
当x=0时, =-2,∴(0,-2)在(C 上,
∴嘉嘉说法正确；
或选择淇淇：
当x=0时,y=-2,
过定点(0,-2),
∴淇淇说法正确；
(3)①当t=4时, 顶点 P(4,6),.
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又∵Q(2,-2),
设直线PQ 的解析式为y= cx+f(c≠0),将P,Q坐标代入得 解得
∴直线 PQ 的解析式为y=4x-10;
②如解图①，设直线l与抛物线C 交于点J，K，当C ： 等于6两直线重合不符合题意，舍去)，解得
∴交点J(4-2 ,-6),,交点K(4+2 ,-6),
∵l∥PQ,
∴设直线l的解析式为y=4x+b,将J点坐标代入得
解得
∴直线l的解析式为
当 时
此时直线l与x轴交点的横坐标为
同理当直线l过点K(4+2 ,-6),
直线l的解析式为
当 时
此时直线l与x轴交点的横坐标为
综上所述，直线l与x轴交点横坐标为 或
2
(4)n=2+t-m.
【解法提示】∵ 抛物线 C 与C 的|a|相同,∴C 的AQ段抛物线与C 的PB段抛物线形状相同，C 的QB段抛物线与C 的AP段抛物线形状相同，如解图②，连接AB交PQ 于点 L,连接AQ,BQ,AP,BP,易得四边形APBQ 是平行四边形，当点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ 的距离恰好也为d,此时点 M 与点 B 重合,点 N 与点 A 重合,∵ ∴L的横坐标为2+2,M(m, ∴L的横坐标头 解得n=2+t-m.
6. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于A,B两点,
两边同除以a，得
解得
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4;
(2)当a=1时,抛物线 设直线AD的解析式为y=k(x+1),点D 的坐标为(n,
∴ C(1,-4),
+6,
∵点D 在直线AD上,
,解得k=n-3,
∴直线AD的解析式为y=(n-3)(x+1),如解图①，记直线AD 与抛物线L的对称轴交于点 E，
∴E 点的坐标为(1,2n-6),
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等,
解得 (舍去),
∴点 D 的坐标为
如解图①,过点 D作 DF⊥AB,垂足为F,
(3)
解题思路
第一步：设点D的坐标，得到直线AD的解析式；抛物线L'与L交于一定点，
设 直线 AD的解析式为y=k(x+1),
解得k= an-3a,
∴ 直线AD的解析式为y=a(n-3)(x+1),
第二步:过点D 作DM⊥AB 于点M,得到AM,DM,由AD=DE,得到EM;
如解图②,过点D作 DM⊥AB于点 M,
则
∵AD=DE,∴EM=AM=n+1.
第三步：由△ADB的平移过程及A，B点的坐标，得到A'，B'点的坐标，求解出抛物线L'的解析式；
∵将△ADB 沿 DE 方向平移得到△A'EB',A(-1,0),B(3,0),
由题意知抛物线L平移得到抛物线L'，设抛物线L'解析式为
∵A',B'都落在抛物线L'上,
解得
则抛物线L'解析式为 第四步：联立抛物线L和L'的解析式，求得定点.
整理得(n+1)x=3n+3,,解得x=3.
将x=3代入 中,解得y=0,
∴ 抛物线L'与L交于定点(3,0).
7. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
将A，B的坐标代入，得解得
∴抛物线的解析式为
(2)存在.如解图,过点P作PD⊥AB于点D,交BC于点 E.
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线 BC的解析式为y=-x+3,
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠CBO=45°,
∵∠EDB=90°,
∴∠PEQ=∠DEB=45°,
∵PQ⊥BC,
∴△PQE是等腰直角三角形，
∴ PE 的值最大时,PQ 的值最大,
设 则E(m,-m+3),
∵a=-1<0,
∴当 时，PE的值最大，PE的最大值为
∴PQ 的最大值 此时
(3)xM的取值范围为 或3≤xM
【解法提示】设M(a,-a+3),则N(a,-a+1),当点N在抛物线上时， 解得 线段 MN与抛物线有交点，∴满足条件的点M的横坐标xM的取值范围为： 或
8. 解:(1)当a=1时,抛物线 ∴顶点坐标为(1,1);
(2)由题可知A(0,2a),
∵线段 OA 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个,
∴“完美点”的个数为4个或5个.
∵a>0,
∴当“完美点”个数为4个时,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3);
当“完美点”个数为5个时,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4).
∴3≤2a<5.
∴a的取值范围是
(3)根据 已知抛物线的顶点坐标为(1,a),过点 P(2,2a),Q(3,5a),R(4,10a).
∵抛物线与直线y=x交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”，
∴“完美点”(1,1),(2,2),(3,3)符合题意.
下面讨论抛物线经过点(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过点(2，1)时，解得 此时P(2,1),Q(3, ),R(4,5).
如解图①所示，满足题意的“完美点”有(1，1)，(2，1),(2,2),(3,3),共4个;
②当抛物线经过点(3，2)时，解得 此时P(2,),Q(3,2),R(4,4);
如解图②所示，满足题意的“完美点”有(1，1)，(2，1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,4),共6个.
∴综上，a的取值范围是
9. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于点A(-1,0),
∴0=-1-b+3,解得b=2;
(2)
解题思路
第一步：作MN⊥x轴于点 N，求得B，C两点的坐标，设
如解图①,过点M作MN⊥x轴于点 N,
令y=0,则 解得x=-1或x=3,令x=0,则y=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
∴OC=3.
设
第二步：利用相似三角形的判定与性质求解即可.
∵∠MAB=∠ACO,∠MNA=∠AOC,
∴△MAN∽△ACO,
即
解得 或-1(舍去);
∴点M的横坐标为
(3)①
解题思路
利用平移的性质得图象L的解析式为 4，得到图象L与y轴交点N的坐标( 据此列式计算即可求解；
∵二次函数沿水平方向平移，得到新抛物线L，
∴顶点纵坐标不变为4，
∴图象L的解析式为
当点N在点C的上方时，
当点N在点C的下方时，
令NC=0,
解得n=1或n=-1.
∴当n<-1或n>1时, 当-1≤n≤1时,d
②
解题思路
先求得-1≤n≤0或 n≥1,△ABC 中含(0,1),(0,2)，(1，1)三个整数点(不含边界)，再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可.
n的取值范围为 或
【解法提示】作出函数图象如解图②，∵d随n的增大而增大,∴-1≤n≤0或n≥1,△ABC中含(0,1),(0,2)，(1，1)三个整数点(不含边界)，当W内恰有2个整数点(0,1),(0,2)时,如解图③,当x=0时,y >2;当x=1时, 或 或n≥1,∴-1≤n≤1- 当 W内恰有2个整数点(0,1),(1,1)时,如解图④,当x=0时, 当x=1时, 或 或 ；当W内恰有2个整数点(0，2)，(1，1)时，此情况不存在，舍去.综上，n的取值范围为 或

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