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广西钦州市第四中学2024-2025学年度下学期高二数学第九周周测数学试卷
一、单选题（共8小题，共40分。每小题5分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求）
1．随机变量，若，则的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
2．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（ ）
A．B．C． D．
3．已知随机变量，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
4．某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）
附：若，则．
A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个
5．若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．随机变量．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（ ）
A．200 B．400 C．2800 D．2000
8．设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．，B．，C．， D．，
二、多选题（共3小题，共18分。每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B．若，，且，则C，D相互独立
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D．若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20
10．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ）
A． B．甲组的实验数据误差相对于乙组更集中
C．D．
11．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数据的标准差为3
C．数据的分位数为10
D．记，随机变量，，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。）
12．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
13．某地高中生的肺活量（单位：mL）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于2800mL的高中生的人数约为 ．
参考数据：．
14．如果随机变量，且，那么的值为 ．
解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布.
(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）；
(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）.
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数.
16．已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望.
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
17．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立．
(1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）；
(2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差．
参考数据：若，则，，．
18．甲、乙两人对比进行射击训练，共进行100个回合．每个回合．甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．记第i个回合甲、乙击中的环数分别为，，，2，…，100．
(1)在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中10环的概率：
(2)中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．根据该定理，设满足（，2，…，100）的i值有k个，利用正态分布估计的概率．（结果保留小数点后两位）
附：（若，则，，．）
19．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望．
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示．
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，．
（i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率．
参考公式与数据：
①．
②经验回归方程中，．
③若随机变量，则．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C C B D BD ABC
题号 11
答案 ABD
12．0.3 13．300 14．/
15．（1）由题意，，的概率等于.
令，则.
因此，
.
故净含量误差超过5g的概率约为.
（2）可能的取值为0、1、2、3.
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为.
故服从二项分布，记，
，
从而的分布为
0 1 2 3
0.595 0.337 0.064 0.004
因此.
16．（1）由题意，估计该批次的橙子中随机抽取100个的直径的平均数为：
，
则，，所以直径，
则，
所以从该批次的橙子中任取一个，该橙子为特级品的概率约为0.16.
（2）由题意知直径在区间，，上的频率之比为，
所以这7个橙子中抽取的直径在区间，，上的橙子个数分别为4，2，1.
由题意知的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
17．(1)7 (2)
18．(1)0.4 (2)0.84
19．（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，
且，．
X 0 1 2 3
P
.
（2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即．
第二步：求经验回归方程．其中，
由提供的参考数据，可知，又，故，
由提供的参考数据，可得，故．
当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498．
（ii）由（i）及提供的参考数据可知，
又，即，可得，即，
又，且，
由正态分布的性质，得，
记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则，
所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865．

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