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第十九章 一次函数 单元能力测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·云南玉溪·一模）函数中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键．
根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到，求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
故选D．
2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为，圆面积为．在等式中自变量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．可得圆的面积是半径的函数，圆的面积随着半径的变化而变化，则圆的面积是因变量，半径为自变量，据此即可求解．
【详解】解：∵圆的面积是半径的函数，圆的面积随着半径的变化而变化，
∴半径为自变量，
故选：C．
3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知是一次函数图象上的两个点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的k与函数值之间的关系是解题的关键．由函数解析式可知，则y随x的增大而减小，比较x的大小即可确定y的大小．
【详解】解：∵函数中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度，所得函数图象的表达式是，
故选：B．
5．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列函数关系式，该气体的体积等于温度为时的体积加上在的基础上上升的温度乘以即可得到体积与温度之间的函数表达式．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵当时，，即，
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是．
故选：A．
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数的图象经过的象限得到，，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得，
故选：C．
8．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 …
油箱剩余油量 …
下列说法中不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油，
可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵时，，
∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意；
由表格数据可知，轿车每行驶，耗油，
∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意；
∵景点离家，
∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意；
∵轿车每行驶，耗油，
∴，故选项正确，不合题意；
故选：．
9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键．
先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答，
【详解】解：当时，，则此直线交y轴于，
当时，，解得：，则此直线交x轴于，
当时，；当时，；
画出一次函数的图象如图所示：
，
A．若且，
∴或，
当时，若，则，即，即A选项不符合题意；
B．若且，
∴或或，
当时，若，则，即，即B选项不符合题意；
C．若且，
∴，
当，则，即，即C选项不符合题意；
D．若且，
∴，
∴，即，即D选项符合题意．
故选：D．
10．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：连接，
在菱形中，，
∴为等边三角形，
设，由图2可知，的面积为，
∴的面积
解得：(负值已舍)
故选：A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，解不等式，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质．
根据正比例函数的性质（正比例函数，），当时，该函数的图象经过第二、四象限，解不等式即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为：．
12．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积．
【详解】解：一次函数的关系式是，当时，；
当时，，
解得：，
其图象与坐标轴围成的三角形面积是：．
故答案为6．
13．（24-25八年级下·河南南阳·期中）按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴当输入时，，
故答案为：．
14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到点A的坐标为，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答．
【详解】解：过点A作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：．
15．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称性可得为的中点，根据中点坐标公式求出，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：连接交于P，
∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，
∴直线经过平行四边形的中心，
∴为的中点，
∵，，
∴，即，
设直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
故答案为：．
16．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键．
根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可．
【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为，
∵点在这个函数的相关函数的图象上，
当时，把点代入得，，
∴，
当时，把点代入得，，
∴，
∴或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出即可；
（2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）设与的表达式为，
把时，代入得，
解得，
∴与的关系式为，
即；
（2）∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质．
18．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知一次函数的图象经过点．
(1)分别求的值；
(2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)若，则的取值范围是______（直接写结果）．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）秒点，连线画出函数图象即可；
（3）求出时的的值，利用图象法确定取值范围即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，解得：；
（2）如图，直线即为所求；
（3）由（1）知：，
∴当时，，解得：；
当时，，解得：，
由图象可知：当，；
故答案为：．
19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等．
（1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解；
（2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可；
（3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解．
【详解】（1）解：令，即，
解得，
令，则，
故点A、B的坐标分别为、；
（2）解：∵点A、B的坐标分别为、，
∴，，
∴，
即的面积为6；
（3）解：设点P的坐标为，则，
∵的面积为面积的2倍，
∴，即，
解得，
点P的坐标为或．
20．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值；
(2)请根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）将代入求解即可；
（2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果；
（3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴；
（2）由（1）得，
根据图象得：当时，的图象在下方，即此时，
∴的取值范围是．
（3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，；当时，；
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴．
21．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
(1)分别写出与x之间的关系式：
(2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为
(2)见解析
(3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可；
（2）分，和三种情况，进行求解即可；
（3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
；
∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
（2）当时，即，
解得，
∴时，去A超市买更划算；
当时，即，
解得，
∴时，去A、B超市买花费一样多；
当时，即，
解得，
∴时，去B超市买更划算；
（3）如果选择A超市，那么总费用为：（元），
如果选择B超市，那么总费用为：（元），
如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元），
∵，
∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱．
22．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
(1)求小佳骑电动车的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为，
则点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程
23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键．
（1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标；
（2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可．
【详解】（1）根据，解方程组得，得，
分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．
（2）设，
且，
，
，
，
令直线解析式为，
把，代入得：
，
，
，
直线的函数表达式为．
（3）存在．如图所示：
①当四边形为菱形时，
，得四边形为正方形；
，
即．
②当四边形为菱形时，
得，带入直线的解析式，
得，
．
③当四边形为菱形时，
，
，
综上得点的坐标为或或．中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 一次函数 单元能力测试卷
满分120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·云南玉溪·一模）函数中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为，圆面积为．在等式中自变量是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知是一次函数图象上的两个点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2025八年级下·全国·专题练习）将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 …
油箱剩余油量 …
下列说法中不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25八年级上·上海·期中）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ．
12．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ．
13．（24-25八年级下·河南南阳·期中）按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ．
14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ．
15．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ．
16．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
18．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知一次函数的图象经过点．
(1)分别求的值；
(2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)若，则的取值范围是______（直接写结果）．
19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标．
20．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值；
(2)请根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
21．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折销售；
B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
(1)分别写出与x之间的关系式：
(2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案．
21．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
(1)求小佳骑电动车的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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