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湖南省娄底市2023-2024学年九年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1．（2024九下·娄底期中）2024的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．-2024
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2024的倒数是，
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数解答即可.
2．（2024九下·娄底期中）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000086这个数字用科学记数法可表示为，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法结合题意表示数据0.000000086即可求解。
3．（2024九下·娄底期中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
A．中 B．考 C．胜 D．利
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：利用正方体展开图可知
原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是考.
故答案为：B.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得答案.
4．（2024九下·娄底期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C符合题意；
D．，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项结合题意对选项逐一运算，进而即可求解。
5．（2024九下·娄底期中）已知，则的值约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴cos48°=sin（90°-48°）=sin42°≈.
故答案为：D.
【分析】利用cosα=sin（90°-α）（α为锐角），据此可得答案.
6．（2024九下·娄底期中）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，弦，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据垂径定理可得，根据再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．（2024九下·娄底期中） 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：A、函数经过（3，-1），则，解得k=-3，A说法正确；
B、因为k=-3＜0，故此反比例函数分布在第二、第四象限，B说法正确；
C、反比例函数关于原点中心对称，C说法正确；
D、当x＜0时，y随x的增大而增大，D说法错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查对反比例函数图象的掌握，k＜0，则图像分布在二、四象限；k＞0，则分布在一、三象限.
8．（2024九下·娄底期中）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲班每小时植x棵树。根据题意列方程为
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：甲班每小时植树的棵树=乙班每小时植树的棵树+3；70÷甲班每小时植树的棵树=50÷乙班每小时植树的棵树，据此列方程即可.
9．（2024九下·娄底期中）若，，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】把11转换为7m，可得（7m)n=7，进而求出mn=1，再代入分式中求解即可。
10．（2024九下·娄底期中）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线
当点P、Q都在对称轴的左侧时，则-6≤t＜-5
∴y最大值，y的最小值，
∵m随t的增大而减小，-6≤t＜-5，
∴；
点P在对称轴x=-2的左侧，点Q在对称轴x=-2的右侧时，
当点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，
-5≤t＜-3.5，
y最大值，y的最小值
在对称轴t=-2的左侧随m的增大而减小，
∴；
当点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当-3.5≤t≤-3时，
y的最大值，y的最小值，
∴
对称轴为直线t=-5，在对称轴的左侧，随m的增大而增大，
∴
∵-6≤t≤0，
∴点P、Q不可能都在对称轴x=-2的右侧
∴m的取值范围为
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式求出其对称轴，再分情况讨论：当点P、Q都在对称轴的左侧时，则-6≤t＜-5，可得到y的最大值和最小值，由此可表示出m与t的函数解析式，利用一次函数的性质可求出m的取值范围；点P在对称轴x=-2的左侧，点Q在对称轴x=-2的右侧时，当点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，可得到t的取值范围，再求出y的最大值和最小值，可得到m与t的函数解析式，利用其性质，可求出m的取值范围；当点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当-3.5≤t≤-3时，求出m关于t的函数解析式，可得到m的取值范围；同时可证得点P、Q不可能都在对称轴x=-2的右侧；综上所述，可得到m的取值范围.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024九下·娄底期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2024九下·娄底期中）一个多边形每个内角都是150°，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=150n
解之：n=12.
故答案为：12.
【分析】利用n边形的内角和（n-2）×180°，根据题意设未知数，列方程，求解即可.
13．（2024九下·娄底期中）有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是　 　．
【答案】7
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序为3，5，6，7，8，8，9，处于最中间的数是6，
∴这组数据的中位数是7.
故答案为：7.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；若一组数据有n个数，当n是奇数时，第个数是中位数；若n是偶数时，第个数和第+1个数的平均数是中位数；据此可求解.
14．（2024九下·娄底期中）因式分解：　 　．
【答案】3x（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3-12xy2=3x（x2-4y2）=3x（x+2y）（x-2y）.
故答案为：3x（x+2y）（x-2y）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
15．（2024九下·娄底期中）分式方程的解是　 　．
【答案】x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得
x（x-1）=（x+1）（x-3）
解之：x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：x=-3.
【分析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
16．（2024九下·娄底期中）两个三角形如图摆放，其中，，，，DE与AC交于M，若，则大小为　 　．
【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长ED交BC于点G，
在△DEF中，
∠E=180°-∠EDF-∠F=180°-100°-40°=40°，
在△ABC中，
∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-60°=30°，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠MGC=40°，
∴∠DMC=180°-∠MGC-∠C=180°-30°-40°=110°.
故答案为：110°.
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形的内角和定理求出∠E、∠C的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠MGC的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DMC的度数.
17．（2024九下·娄底期中）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形ABCD是平行四边形，则的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵ 点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上， AB∥y轴，
∴AB∥CD∥y轴，
设点，则，
∴
∴
∴m=n，
∴CF=m-（-n）=m+m=2m，
∴S平行四边形ABCD=
故答案为：8.
【分析】过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AB=CD，利用已知条件设点，则，可表示出DC，AB的长，根据AB=CD，可证得m=n，同时求出CF的长；然后利用平行四边形的面积公式可求出平行四边形ABCD的面积.
18．（2024九下·娄底期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2
∴；
∴，
∴即
解之：；
∴
∴；
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴即
解之：
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC，AD的长；再利用直角三角形的两个面积公式可求出DF的长；利用勾股定理求出AF的长，根据CF=AC-AF，代入计算求出CF的长；利用同垂直于一条直线的直线平行，可证得DF∥BC，可推出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长；根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2024九下·娄底期中）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并即可.
20．（2024九下·娄底期中） 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先括号内进行通分，再根据分式的除法运算进行化简，再代入x，y值即可求出答案。
21．（2024九下·娄底期中）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了　 　名学生，图2中A所对应的圆心角度数为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50；
（2）解：由图知，D的人数为：（人），∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据B组人数除以B组所占的百分比得到总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意求出D组和C组人数，进而即可补全条形统计图；
（3）根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
22．（2024九下·娄底期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
【答案】解：如图所示，过点A作于点G，于点F，则四边形AFCG是矩形
依题意，，（米）
在中，（米），
（米），则（米），
∵（米），∴（米），
∵，∴（米），
∴（米）
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，于点F，则四边形AFCG是矩形，在中，利用解直角三角形求出BG、AG的长，可得到CF的长，同时求出AF、DF的长，然后根据CD=CF-DF，代入计算即可.
23．（2024九下·娄底期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元.
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】（1）解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，元，根据题意得
，解得：，（5分）
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元
（2）解：设学校需购进甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套，
根据题意得：，解得：，
∵取正整数，∴，32，33，34，35，∴有5种购买方案，∵甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，
∴当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，
∴当时，总费用最少，且最少费用为：（元），
答：有5种购买方案；最低费用是8440元.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，元， 根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，及 买5套甲型号和10套乙型号共用1100元. 即可得出方程组， 解方程组即可；
（2） 设学校需购进甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套， 根据 总费用不超过8600元， 及 购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍， 即可得出不等式组， 解不等式组可得， 根据不等式组的特殊解，即可得出方案，进而求得最低费用。
24．（2024九下·娄底期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
25．（2024九下·娄底期中）如图，O是的外心，I是的内心，连接AI并延长交BC和于D，E．
（1）求证：；
（2）若，，，求AI的长．
【答案】（1）证明：∵I是的内心，
∴AE平分，BI平分，
∴，，
∵，，
∵，∴，∴
（2）解：连接EC．
∵，∴，∴，
∵，，
∴，∴，
设，，则，，
同法可证：，∴，∴，
∴，设，，
∵，，
∴，∴，
∴，∴，
∴或－4（舍弃），∴，，∴，
∵，∴
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心，可证得，，利用圆周角定理可证得∠CBE=∠CAE，再利用三角形外角的性质可推出∠BIE=∠EBI，利用等角对等边可证得结论.
（2）连接EC，利用圆周角定理可证得BE=EC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可得到△ADB∽△CDE，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；设，，则，，同时可证得△ADC∽△BDE，利用相似三角形的性质可得到m、n的比值，设n=3k，m=2k，利用相似三角形的性质可得到EC2=ED×EA，据此可得到关于m、k的方程，解方程求出k的值，可得到DE、AD、AE的长，然后求出AI的长.
26．（2024九下·娄底期中）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：由得，
∴顶点D的坐标为，∵点在抛物线C上，
∴，解得：
（2）解：如图1，连接DE，作轴于H，作轴于M，
根据题意，点D，E关于点成中心对称，
∴DE过点B，且，
在和中，，
∴，∴，，
∴抛物线的顶点E的坐标为，
∵抛物线由C绕点P旋转180°后得到，
∴抛物线的函数表达式为
（3）解：∵抛物线由C绕x轴上的点P旋转180°后得到，
∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，
设点，如图2，作轴于H，轴于M，于N，
∵旋转中心P在x轴上，∴，
∴点H的坐标为，点N的坐标为，
根据勾股定理得，，
显然，和不可能是直角三角形，
①当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
②当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，∴点P的坐标为，
③当是直角三角形时，
，
，
i）当时，，
即，解得：，
∴，∴点P的坐标为；
ii）当时，，
即，解得：，
∴，∴点P的坐标为；
iii）∵，∴，
综上所述，当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为或或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；两二次函数的图象共存判断；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标，将点B的坐标代入函数解析式可求出a的值.
（2）如图1，连接DE，作轴于H，作轴于M，利用旋转的性质可证点D，E关于点成中心对称，且DE经过点B，DB=EB，利用AAS可证得△DBH≌△EBM，利用全等三角形的性质可求出BM，EM的长，结合点B的坐标，可求出点E的坐标，利用抛物线由C绕点P旋转180°后得到，可得到抛物线的函数解析式.
（3）利用旋转的性质可知顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，设点，如图2，作轴于H，轴于M，于N，可求出FG，AB的长，可得到点H，N的坐标，利用勾股定理求出EF2的值，可证得和不可能是直角三角形；再分情况讨论：①当是直角三角形时，显然只能有，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，当∠DEF=90°或∠DFE=90°；分别可得到关于m的方程，然后求出点P的坐标；根据，可得∠EDF≠90°；综上所述，可得到点P的坐标.
1 / 1湖南省娄底市2023-2024学年九年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1．（2024九下·娄底期中）2024的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．-2024
2．（2024九下·娄底期中）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·娄底期中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
A．中 B．考 C．胜 D．利
4．（2024九下·娄底期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·娄底期中）已知，则的值约为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·娄底期中）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·娄底期中） 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
8．（2024九下·娄底期中）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·娄底期中）若，，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．（2024九下·娄底期中）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024九下·娄底期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024九下·娄底期中）一个多边形每个内角都是150°，则这个多边形的边数为　 　．
13．（2024九下·娄底期中）有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是　 　．
14．（2024九下·娄底期中）因式分解：　 　．
15．（2024九下·娄底期中）分式方程的解是　 　．
16．（2024九下·娄底期中）两个三角形如图摆放，其中，，，，DE与AC交于M，若，则大小为　 　．
17．（2024九下·娄底期中）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形ABCD是平行四边形，则的面积为　 　．
18．（2024九下·娄底期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2024九下·娄底期中）计算：．
20．（2024九下·娄底期中） 先化简，再求值：，其中，．
21．（2024九下·娄底期中）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了　 　名学生，图2中A所对应的圆心角度数为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
22．（2024九下·娄底期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
23．（2024九下·娄底期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元.
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
24．（2024九下·娄底期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
25．（2024九下·娄底期中）如图，O是的外心，I是的内心，连接AI并延长交BC和于D，E．
（1）求证：；
（2）若，，，求AI的长．
26．（2024九下·娄底期中）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2024的倒数是，
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000086这个数字用科学记数法可表示为，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法结合题意表示数据0.000000086即可求解。
3．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：利用正方体展开图可知
原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是考.
故答案为：B.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C符合题意；
D．，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项结合题意对选项逐一运算，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴cos48°=sin（90°-48°）=sin42°≈.
故答案为：D.
【分析】利用cosα=sin（90°-α）（α为锐角），据此可得答案.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，弦，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据垂径定理可得，根据再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：A、函数经过（3，-1），则，解得k=-3，A说法正确；
B、因为k=-3＜0，故此反比例函数分布在第二、第四象限，B说法正确；
C、反比例函数关于原点中心对称，C说法正确；
D、当x＜0时，y随x的增大而增大，D说法错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查对反比例函数图象的掌握，k＜0，则图像分布在二、四象限；k＞0，则分布在一、三象限.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲班每小时植x棵树。根据题意列方程为
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：甲班每小时植树的棵树=乙班每小时植树的棵树+3；70÷甲班每小时植树的棵树=50÷乙班每小时植树的棵树，据此列方程即可.
9．【答案】A
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】把11转换为7m，可得（7m)n=7，进而求出mn=1，再代入分式中求解即可。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线
当点P、Q都在对称轴的左侧时，则-6≤t＜-5
∴y最大值，y的最小值，
∵m随t的增大而减小，-6≤t＜-5，
∴；
点P在对称轴x=-2的左侧，点Q在对称轴x=-2的右侧时，
当点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，
-5≤t＜-3.5，
y最大值，y的最小值
在对称轴t=-2的左侧随m的增大而减小，
∴；
当点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当-3.5≤t≤-3时，
y的最大值，y的最小值，
∴
对称轴为直线t=-5，在对称轴的左侧，随m的增大而增大，
∴
∵-6≤t≤0，
∴点P、Q不可能都在对称轴x=-2的右侧
∴m的取值范围为
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式求出其对称轴，再分情况讨论：当点P、Q都在对称轴的左侧时，则-6≤t＜-5，可得到y的最大值和最小值，由此可表示出m与t的函数解析式，利用一次函数的性质可求出m的取值范围；点P在对称轴x=-2的左侧，点Q在对称轴x=-2的右侧时，当点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，可得到t的取值范围，再求出y的最大值和最小值，可得到m与t的函数解析式，利用其性质，可求出m的取值范围；当点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当-3.5≤t≤-3时，求出m关于t的函数解析式，可得到m的取值范围；同时可证得点P、Q不可能都在对称轴x=-2的右侧；综上所述，可得到m的取值范围.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=150n
解之：n=12.
故答案为：12.
【分析】利用n边形的内角和（n-2）×180°，根据题意设未知数，列方程，求解即可.
13．【答案】7
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序为3，5，6，7，8，8，9，处于最中间的数是6，
∴这组数据的中位数是7.
故答案为：7.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；若一组数据有n个数，当n是奇数时，第个数是中位数；若n是偶数时，第个数和第+1个数的平均数是中位数；据此可求解.
14．【答案】3x（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3-12xy2=3x（x2-4y2）=3x（x+2y）（x-2y）.
故答案为：3x（x+2y）（x-2y）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
15．【答案】x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得
x（x-1）=（x+1）（x-3）
解之：x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：x=-3.
【分析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
16．【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长ED交BC于点G，
在△DEF中，
∠E=180°-∠EDF-∠F=180°-100°-40°=40°，
在△ABC中，
∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-60°=30°，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠MGC=40°，
∴∠DMC=180°-∠MGC-∠C=180°-30°-40°=110°.
故答案为：110°.
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形的内角和定理求出∠E、∠C的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠MGC的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DMC的度数.
17．【答案】8
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵ 点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上， AB∥y轴，
∴AB∥CD∥y轴，
设点，则，
∴
∴
∴m=n，
∴CF=m-（-n）=m+m=2m，
∴S平行四边形ABCD=
故答案为：8.
【分析】过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AB=CD，利用已知条件设点，则，可表示出DC，AB的长，根据AB=CD，可证得m=n，同时求出CF的长；然后利用平行四边形的面积公式可求出平行四边形ABCD的面积.
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2
∴；
∴，
∴即
解之：；
∴
∴；
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴即
解之：
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC，AD的长；再利用直角三角形的两个面积公式可求出DF的长；利用勾股定理求出AF的长，根据CF=AC-AF，代入计算求出CF的长；利用同垂直于一条直线的直线平行，可证得DF∥BC，可推出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长；根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
19．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并即可.
20．【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先括号内进行通分，再根据分式的除法运算进行化简，再代入x，y值即可求出答案。
21．【答案】（1）50；
（2）解：由图知，D的人数为：（人），∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据B组人数除以B组所占的百分比得到总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意求出D组和C组人数，进而即可补全条形统计图；
（3）根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
22．【答案】解：如图所示，过点A作于点G，于点F，则四边形AFCG是矩形
依题意，，（米）
在中，（米），
（米），则（米），
∵（米），∴（米），
∵，∴（米），
∴（米）
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，于点F，则四边形AFCG是矩形，在中，利用解直角三角形求出BG、AG的长，可得到CF的长，同时求出AF、DF的长，然后根据CD=CF-DF，代入计算即可.
23．【答案】（1）解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，元，根据题意得
，解得：，（5分）
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元
（2）解：设学校需购进甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套，
根据题意得：，解得：，
∵取正整数，∴，32，33，34，35，∴有5种购买方案，∵甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，
∴当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，
∴当时，总费用最少，且最少费用为：（元），
答：有5种购买方案；最低费用是8440元.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，元， 根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，及 买5套甲型号和10套乙型号共用1100元. 即可得出方程组， 解方程组即可；
（2） 设学校需购进甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套， 根据 总费用不超过8600元， 及 购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍， 即可得出不等式组， 解不等式组可得， 根据不等式组的特殊解，即可得出方案，进而求得最低费用。
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
25．【答案】（1）证明：∵I是的内心，
∴AE平分，BI平分，
∴，，
∵，，
∵，∴，∴
（2）解：连接EC．
∵，∴，∴，
∵，，
∴，∴，
设，，则，，
同法可证：，∴，∴，
∴，设，，
∵，，
∴，∴，
∴，∴，
∴或－4（舍弃），∴，，∴，
∵，∴
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心，可证得，，利用圆周角定理可证得∠CBE=∠CAE，再利用三角形外角的性质可推出∠BIE=∠EBI，利用等角对等边可证得结论.
（2）连接EC，利用圆周角定理可证得BE=EC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可得到△ADB∽△CDE，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；设，，则，，同时可证得△ADC∽△BDE，利用相似三角形的性质可得到m、n的比值，设n=3k，m=2k，利用相似三角形的性质可得到EC2=ED×EA，据此可得到关于m、k的方程，解方程求出k的值，可得到DE、AD、AE的长，然后求出AI的长.
26．【答案】（1）解：由得，
∴顶点D的坐标为，∵点在抛物线C上，
∴，解得：
（2）解：如图1，连接DE，作轴于H，作轴于M，
根据题意，点D，E关于点成中心对称，
∴DE过点B，且，
在和中，，
∴，∴，，
∴抛物线的顶点E的坐标为，
∵抛物线由C绕点P旋转180°后得到，
∴抛物线的函数表达式为
（3）解：∵抛物线由C绕x轴上的点P旋转180°后得到，
∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，
设点，如图2，作轴于H，轴于M，于N，
∵旋转中心P在x轴上，∴，
∴点H的坐标为，点N的坐标为，
根据勾股定理得，，
显然，和不可能是直角三角形，
①当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
②当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，∴点P的坐标为，
③当是直角三角形时，
，
，
i）当时，，
即，解得：，
∴，∴点P的坐标为；
ii）当时，，
即，解得：，
∴，∴点P的坐标为；
iii）∵，∴，
综上所述，当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为或或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；两二次函数的图象共存判断；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标，将点B的坐标代入函数解析式可求出a的值.
（2）如图1，连接DE，作轴于H，作轴于M，利用旋转的性质可证点D，E关于点成中心对称，且DE经过点B，DB=EB，利用AAS可证得△DBH≌△EBM，利用全等三角形的性质可求出BM，EM的长，结合点B的坐标，可求出点E的坐标，利用抛物线由C绕点P旋转180°后得到，可得到抛物线的函数解析式.
（3）利用旋转的性质可知顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，设点，如图2，作轴于H，轴于M，于N，可求出FG，AB的长，可得到点H，N的坐标，利用勾股定理求出EF2的值，可证得和不可能是直角三角形；再分情况讨论：①当是直角三角形时，显然只能有，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，当∠DEF=90°或∠DFE=90°；分别可得到关于m的方程，然后求出点P的坐标；根据，可得∠EDF≠90°；综上所述，可得到点P的坐标.
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