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四川省成都市武侯区棕北中学2024年中考三模数学试题
1．（2024·武侯模拟）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A．元 B．0元 C．元 D．元
2．（2024·武侯模拟）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·武侯模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·武侯模拟）一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（　　）
A．15，13 B．13，14 C．14，13 D．13，13
5．（2024·武侯模拟）如图，，，三点在同一直线上，，，添加下列条件，仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·武侯模拟）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．（2024·武侯模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·武侯模拟）抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．若，则
9．（2024·武侯模拟）因式分解 =　 　．
10．（2024·武侯模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
11．（2024·武侯模拟）点在反比例函数图象上，则　 　（填“”“”或“”）．
12．（2024·武侯模拟）在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为　 　．
13．（2024·武侯模拟）如图，在，，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若，，则　 　．
14．（2024·武侯模拟）（1）计算
（2）解不等式组：．
15．（2024·武侯模拟）打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
16．（2024·武侯模拟）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
17．（2024·武侯模拟）如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
18．（2024·武侯模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
（3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024·武侯模拟）已知，计算的值是　 　．
20．（2024·武侯模拟）已知是的中线，点E、F、G分别是的中点，连接．现随机在内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　 　．
21．（2024·武侯模拟）关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，则的值为　 　．
22．（2024·武侯模拟）如图，在中，，，点在上，，是线段上的一点，且满足，连接，．若，则线段的长为　 　，的值为　 　．
23．（2024·武侯模拟）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
24．（2024·武侯模拟） 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
25．（2024·武侯模拟）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧．
①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标；
②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
26．（2024·武侯模拟）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N．
（1）当点N在射线上时．
①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长；
②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长．
（2）若，连接，求面积的最大值与最小值之和．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入5元记着﹢5元，
∴支出5元记着-5元.
故答案为：A
【分析】由题意可知收入记为“+”，则支出记为“-”，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图看到的是两层，底层有两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故B选项中的视图符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据俯视图可确定几何体由4个小立方体组成，分为两列，其中，左边一列底层有2个小立方体，第二层有一个小立方体，右边一列有1个小立方体，进而再根据主视图，就是从正面看得到的平面图形，即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-2a）2=4a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（-m+2）（-m-2）=（-m）2-22=m2-4，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a5）2=a10，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断B选项；由平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵按照从小到大排序为：11，12，13，13，15，16，17，18
∴这组数据的中位数为，
∵这组数据中，出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数是13，
故答案为：C．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明，故A、B、C三个选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】题干已经给出了CE=BC，∠B=∠E，要证明△ECD≌△BCA，如果利用“SAS”可已添加AB=DE，如果利用“ASA”可以添加∠ACB=∠DCE，如果要利用“AAS”可以添加“∠A=∠D”，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据正n边形的中心角为“”求出∠AOB的度数，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，根据垂径定理得出AG=1最后由勾股定理算出OG的长即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口方向向上，对称轴为，
，，
，，
故选项C不符合题意；
抛物线轴的交点在轴负半轴，
，
，
故选项A不符合题意；
抛物线与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个根，
即，
故选项B不符合题意；
∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，
∴当时，，
故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线开口向上判断出a＞0，由对称轴为直线x=-1，结合对称轴直线公式可得b=2a＞0，由抛物线交y轴的负半轴可得c＜0，据此即可判断A、C选项；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可得b2-4ac＞0，可对B进行判断； 抛物线开口向上，且其顶点在x轴下方，且与y轴的负半轴相交，故当-1≤x＜0时，n≤y＜c，当x＜-1时，y＞n，据此可判断D选项.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
10．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】 在平面直角坐标系中，如果一个点（x ， y ）关于x轴对称点为P'，则 P'的坐标为 (x ， y )，据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中1＞0，
∴该函数图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；
∵ 点在反比例函数图象上 ，且-3＜0＜2，
∴y1＜0＜y2，即y1＜y2.
故答案为：．
【分析】对于反比例函数“（k≠0，且k为常数）”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形中，于点E，于点F，
∴，，∠AEB=∠AFD=90°，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由菱形性质得BC=CD，AD∥BC，∠D=∠B=50°，由二直线平行，同旁内角互补得出∠BAD=130°，由直角三角形的量锐角互余得出∠BAE=∠DAF=40°，由角的构成可得∠EAF=50°，由等面积法可求出AE=AF，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可算出∠AEF的度数.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AH，
根据作图可得，垂直平分
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】连接AH，根据作图过程可得GH垂直平分AC，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AH=CH=8，然后利用低到高分别算出AB、BC、DH，再代入计算可得答案.
14．【答案】解：（1）原式；
（2）由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂性质“”、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”分别化简，再计算乘法，最后进行加减运算即可；
（2）先根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．【答案】（1）18，6，
（2）解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数除以它的占比求出总人数，然后运用总人数乘以A的占比求出m的值，总人数减去其它组的人数求出n，360度乘以B的占比求出对应扇形圆心角；
（2）运用样本中C的占比×2000计算解题即可；
（3）先画画树状图列出所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，根据概率公式计算解题．
16．【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，根据有三个角是直角的四边形是矩形易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，由矩形的性质得MH=NE，EF=GH=5，BM∥DH，由二直线平行，内错角相等得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的构成得∠ABM=45°，在Rt△ABM中，由∠ABM的正弦函数可求出AM的长，在Rt△BDN中，由∠NBD的正弦函数可求出ND的长，然后根据AG=AM+MH+HG=AM+NE+GH代值计算可得答案.
17．【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，即半径为3，
是直径，
∴，
，
又
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；8字型相似模型；已知正弦值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角及角平分线定义可推出∠BAE=∠OEA，由内错角相等，两直线平行，得OE∥AB，由二直线平行，同位角相等，得∠OEC=∠B=90°，从而根据切线的判定定理可得结论；
（2）连接DF、OE，在Rt△OEC中，根据∠C的正弦函数可求出OE=OF=3；由直径所对的圆周角是直角得∠ADF=90°，从而由同位角相等，两直线平行，得DF∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠AFD=∠C，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义可求出AD的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，得OE∥AB，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AMD∽△EMO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DM的长.
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设直线交轴与点，
∵，
∴当时，，时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，则：，
∴，
∴，
联立，
解得：或（舍去）；
∴；
②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，
∴，
∴，
同法可得：的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴；
综上：或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数可得k2=1×（-6）=-3m，据此可算出k2=-6，m=2，从而得到反比例函数的解析式及点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴与点D，分别令y=-2x-4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点C、D的坐标；设P(0，p)，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC并结合三角形面积计算公式算出S△AOB的值；根据S△BCP=S△BDP+S△CDP并结合三角形面积计算公式表示出S△BCP，结合，列出方程进行求解即可；
（3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，则：，，根据轴对称的性质得出BD=B'D，由中点坐标公式得出点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线OD的解析式，联立直线OD的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标；②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，根据轴对称的性质得出OE=O'E，由中点坐标公式得出点E的坐标，然后利用待定系数法求出直线OE的解析式，联立直线OE的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标，综上可得答案.
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
∵
∴原式．
故答案为：．
【分析】将括号内减数“1”看成，利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法及平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，最后整体代入化简结果即可算出答案.
20．【答案】
【知识点】几何概率；三角形的中位线定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴针尖落在阴影区域的概率是：，
故答案为：．
【分析】根据等底同高三角形面积相等得，，由三角形的中位线定理得EF∥CD，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△ADC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，，从而推出，根据几何概率的意义即可得到针尖落在阴影区域的概率为．
21．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，
，
，
解得．
当时，，
∴．
故答案为：2.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此得，，由完全平方公式的恒等变形得，整体代入计算得出，然后根据矩形的性质及勾股定理可得，从而可得关于字母k的方程，求解得出k的值，进而再利用根的判别式验证即可得出答案.
22．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；同角三角函数的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
．
故答案为：，.
【分析】由等腰直角三角形的性质及已知可推出∠CAB=∠AED，由三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出∠DBA=∠DAE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△BDA，由相似三角形对应边成比例建立方程可得BE=2DE，进而即可得，；在Rt△BCD中，利用勾股定理建立方程求出DE的长，即可得到AD的长；由三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出∠BAE=∠CBD，由等角的同名三角函数值相等求解即可.
23．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，
将绕点旋转90度得到，连接，
则：，，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将绕点旋转90度，得到，连接，
则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接，则：，
，
过点作，交的延长线于点，则：，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】由正方形性质得AB=BC=1，∠ABC=∠BCE=90°，将BE绕点E旋转90度得到EG，连接AG、BG，由旋转的性质得，，， 根据等腰直角三角形性质得到，从而可用“SAS”证，由全等三角形的对应边相等BF=AG，得到；将BC绕点C旋转90度，得到CH，连接BH、CH，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等得到， 则点G在直线HG上运动，作点关于HG的对称点M，连接AM、GM，则 ，故，过点作，交的延长线于点，勾股定理求出的长即可．
24．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
25．【答案】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为
∴，
解得：；
∴；
（2）解：①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∵是抛物线上的两个动点，
∴，
解得：（点左侧的舍去）
∴，；
②设直线，把，代入，得：，解得：，
∴，
联立，
解得：或，
∴，，
设直线与对称轴交于点，过点分别作，，
则：，，
，，
∴，，
∴，
当时，即：，则：，
∴，
∴，
∴，
∵恒成立，
∴，
∴．
【知识点】二次函数-动态几何问题；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴直线公式可得方程，求解可得a=，由抛物线与y轴交点C(0，2)可得c=2，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，由同角的余角相等得∠FAP=∠BPE，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例并结合B、P的坐标可表示出AF、PF，从而求出A点坐标，将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，即可得出答案；
②设直线，将点代入，得到，联立直线和抛物线的解析式，求解得出x、y的值，从而求出，，设直线与对称轴交于点，过点分别作，，得到，，根据，推出，进而得到，推出，根据恒成立，得到，即可得解．
26．【答案】（1）解：①解：∵矩形，
∴∠A=∠B=∠ADC=90°，DA=BC=9
由折叠的性质可知，ME=AE，MD=AB=6，∠M=∠A=90°，
设DE=x，则ME=AE=9-x，
由勾股定理得，ME2+MD2=ED2，即(9-x)2+62=x2，解得x=
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②解：如图2，作的延长线于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
由折叠得BQ=BN，
又∵BN=，
∴，
∵AN∥BC，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
（2）解：如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，
图3
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴在以为圆心为半径的劣弧上运动，
∴的最小值为，
的最大值为，
∵，
∴面积的最大值与最小值之和为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）①由矩形性质得∠A=∠B=∠ADC=90°，DA=BC=9，由折叠的性质可知，ME=AE，MD=AB=6，∠M=∠A=90°，设DE=x，则ME=AE=9-x，在Rt△MED中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得到DE的长，再在Rt△CDE中，利用那个勾股定理算出CE的长即可；
②如图2，作的延长线于H，则四边形CDNH是矩形，由矩形性质得NH=CD=6，CH=DN=3，∠H=90°，在Rt△BHN中利用勾股定理算出BN的长，由折叠得BQ=BN=，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DPN∽△CPB，由相似三角形对应边成比例可得出，则可得，进而根据PQ=BP-QB即可算出答案；
（2）如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，则，，由勾股定理得，，则，即在以为圆心为半径的劣弧上运动，则的最小值为，的最大值为，然后求和，进而可得面积的最大值与最小值之和．
1 / 1四川省成都市武侯区棕北中学2024年中考三模数学试题
1．（2024·武侯模拟）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入5元记着﹢5元，
∴支出5元记着-5元.
故答案为：A
【分析】由题意可知收入记为“+”，则支出记为“-”，即可求解.
2．（2024·武侯模拟）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图看到的是两层，底层有两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故B选项中的视图符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据俯视图可确定几何体由4个小立方体组成，分为两列，其中，左边一列底层有2个小立方体，第二层有一个小立方体，右边一列有1个小立方体，进而再根据主视图，就是从正面看得到的平面图形，即可逐一判断得出答案.
3．（2024·武侯模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-2a）2=4a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（-m+2）（-m-2）=（-m）2-22=m2-4，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a5）2=a10，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断B选项；由平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．（2024·武侯模拟）一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（　　）
A．15，13 B．13，14 C．14，13 D．13，13
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵按照从小到大排序为：11，12，13，13，15，16，17，18
∴这组数据的中位数为，
∵这组数据中，出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数是13，
故答案为：C．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
5．（2024·武侯模拟）如图，，，三点在同一直线上，，，添加下列条件，仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明，故A、B、C三个选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】题干已经给出了CE=BC，∠B=∠E，要证明△ECD≌△BCA，如果利用“SAS”可已添加AB=DE，如果利用“ASA”可以添加∠ACB=∠DCE，如果要利用“AAS”可以添加“∠A=∠D”，据此逐一判断得出答案.
6．（2024·武侯模拟）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据正n边形的中心角为“”求出∠AOB的度数，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，根据垂径定理得出AG=1最后由勾股定理算出OG的长即可得到答案.
7．（2024·武侯模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
8．（2024·武侯模拟）抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口方向向上，对称轴为，
，，
，，
故选项C不符合题意；
抛物线轴的交点在轴负半轴，
，
，
故选项A不符合题意；
抛物线与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个根，
即，
故选项B不符合题意；
∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，
∴当时，，
故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线开口向上判断出a＞0，由对称轴为直线x=-1，结合对称轴直线公式可得b=2a＞0，由抛物线交y轴的负半轴可得c＜0，据此即可判断A、C选项；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可得b2-4ac＞0，可对B进行判断； 抛物线开口向上，且其顶点在x轴下方，且与y轴的负半轴相交，故当-1≤x＜0时，n≤y＜c，当x＜-1时，y＞n，据此可判断D选项.
9．（2024·武侯模拟）因式分解 =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
10．（2024·武侯模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】 在平面直角坐标系中，如果一个点（x ， y ）关于x轴对称点为P'，则 P'的坐标为 (x ， y )，据此解答即可.
11．（2024·武侯模拟）点在反比例函数图象上，则　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中1＞0，
∴该函数图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；
∵ 点在反比例函数图象上 ，且-3＜0＜2，
∴y1＜0＜y2，即y1＜y2.
故答案为：．
【分析】对于反比例函数“（k≠0，且k为常数）”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可.
12．（2024·武侯模拟）在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形中，于点E，于点F，
∴，，∠AEB=∠AFD=90°，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由菱形性质得BC=CD，AD∥BC，∠D=∠B=50°，由二直线平行，同旁内角互补得出∠BAD=130°，由直角三角形的量锐角互余得出∠BAE=∠DAF=40°，由角的构成可得∠EAF=50°，由等面积法可求出AE=AF，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可算出∠AEF的度数.
13．（2024·武侯模拟）如图，在，，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AH，
根据作图可得，垂直平分
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】连接AH，根据作图过程可得GH垂直平分AC，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AH=CH=8，然后利用低到高分别算出AB、BC、DH，再代入计算可得答案.
14．（2024·武侯模拟）（1）计算
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式；
（2）由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂性质“”、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”分别化简，再计算乘法，最后进行加减运算即可；
（2）先根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．（2024·武侯模拟）打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数除以它的占比求出总人数，然后运用总人数乘以A的占比求出m的值，总人数减去其它组的人数求出n，360度乘以B的占比求出对应扇形圆心角；
（2）运用样本中C的占比×2000计算解题即可；
（3）先画画树状图列出所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，根据概率公式计算解题．
16．（2024·武侯模拟）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，根据有三个角是直角的四边形是矩形易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，由矩形的性质得MH=NE，EF=GH=5，BM∥DH，由二直线平行，内错角相等得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的构成得∠ABM=45°，在Rt△ABM中，由∠ABM的正弦函数可求出AM的长，在Rt△BDN中，由∠NBD的正弦函数可求出ND的长，然后根据AG=AM+MH+HG=AM+NE+GH代值计算可得答案.
17．（2024·武侯模拟）如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，即半径为3，
是直径，
∴，
，
又
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；8字型相似模型；已知正弦值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角及角平分线定义可推出∠BAE=∠OEA，由内错角相等，两直线平行，得OE∥AB，由二直线平行，同位角相等，得∠OEC=∠B=90°，从而根据切线的判定定理可得结论；
（2）连接DF、OE，在Rt△OEC中，根据∠C的正弦函数可求出OE=OF=3；由直径所对的圆周角是直角得∠ADF=90°，从而由同位角相等，两直线平行，得DF∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠AFD=∠C，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义可求出AD的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，得OE∥AB，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AMD∽△EMO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DM的长.
18．（2024·武侯模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
（3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设直线交轴与点，
∵，
∴当时，，时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，则：，
∴，
∴，
联立，
解得：或（舍去）；
∴；
②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，
∴，
∴，
同法可得：的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴；
综上：或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数可得k2=1×（-6）=-3m，据此可算出k2=-6，m=2，从而得到反比例函数的解析式及点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴与点D，分别令y=-2x-4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点C、D的坐标；设P(0，p)，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC并结合三角形面积计算公式算出S△AOB的值；根据S△BCP=S△BDP+S△CDP并结合三角形面积计算公式表示出S△BCP，结合，列出方程进行求解即可；
（3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，则：，，根据轴对称的性质得出BD=B'D，由中点坐标公式得出点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线OD的解析式，联立直线OD的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标；②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，根据轴对称的性质得出OE=O'E，由中点坐标公式得出点E的坐标，然后利用待定系数法求出直线OE的解析式，联立直线OE的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标，综上可得答案.
19．（2024·武侯模拟）已知，计算的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
∵
∴原式．
故答案为：．
【分析】将括号内减数“1”看成，利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法及平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，最后整体代入化简结果即可算出答案.
20．（2024·武侯模拟）已知是的中线，点E、F、G分别是的中点，连接．现随机在内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；三角形的中位线定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴针尖落在阴影区域的概率是：，
故答案为：．
【分析】根据等底同高三角形面积相等得，，由三角形的中位线定理得EF∥CD，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△ADC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，，从而推出，根据几何概率的意义即可得到针尖落在阴影区域的概率为．
21．（2024·武侯模拟）关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，
，
，
解得．
当时，，
∴．
故答案为：2.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此得，，由完全平方公式的恒等变形得，整体代入计算得出，然后根据矩形的性质及勾股定理可得，从而可得关于字母k的方程，求解得出k的值，进而再利用根的判别式验证即可得出答案.
22．（2024·武侯模拟）如图，在中，，，点在上，，是线段上的一点，且满足，连接，．若，则线段的长为　 　，的值为　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；同角三角函数的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
．
故答案为：，.
【分析】由等腰直角三角形的性质及已知可推出∠CAB=∠AED，由三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出∠DBA=∠DAE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△BDA，由相似三角形对应边成比例建立方程可得BE=2DE，进而即可得，；在Rt△BCD中，利用勾股定理建立方程求出DE的长，即可得到AD的长；由三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出∠BAE=∠CBD，由等角的同名三角函数值相等求解即可.
23．（2024·武侯模拟）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，
将绕点旋转90度得到，连接，
则：，，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将绕点旋转90度，得到，连接，
则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接，则：，
，
过点作，交的延长线于点，则：，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】由正方形性质得AB=BC=1，∠ABC=∠BCE=90°，将BE绕点E旋转90度得到EG，连接AG、BG，由旋转的性质得，，， 根据等腰直角三角形性质得到，从而可用“SAS”证，由全等三角形的对应边相等BF=AG，得到；将BC绕点C旋转90度，得到CH，连接BH、CH，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等得到， 则点G在直线HG上运动，作点关于HG的对称点M，连接AM、GM，则 ，故，过点作，交的延长线于点，勾股定理求出的长即可．
24．（2024·武侯模拟） 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
25．（2024·武侯模拟）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧．
①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标；
②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为
∴，
解得：；
∴；
（2）解：①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∵是抛物线上的两个动点，
∴，
解得：（点左侧的舍去）
∴，；
②设直线，把，代入，得：，解得：，
∴，
联立，
解得：或，
∴，，
设直线与对称轴交于点，过点分别作，，
则：，，
，，
∴，，
∴，
当时，即：，则：，
∴，
∴，
∴，
∵恒成立，
∴，
∴．
【知识点】二次函数-动态几何问题；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴直线公式可得方程，求解可得a=，由抛物线与y轴交点C(0，2)可得c=2，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，由同角的余角相等得∠FAP=∠BPE，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例并结合B、P的坐标可表示出AF、PF，从而求出A点坐标，将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，即可得出答案；
②设直线，将点代入，得到，联立直线和抛物线的解析式，求解得出x、y的值，从而求出，，设直线与对称轴交于点，过点分别作，，得到，，根据，推出，进而得到，推出，根据恒成立，得到，即可得解．
26．（2024·武侯模拟）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N．
（1）当点N在射线上时．
①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长；
②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长．
（2）若，连接，求面积的最大值与最小值之和．
【答案】（1）解：①解：∵矩形，
∴∠A=∠B=∠ADC=90°，DA=BC=9
由折叠的性质可知，ME=AE，MD=AB=6，∠M=∠A=90°，
设DE=x，则ME=AE=9-x，
由勾股定理得，ME2+MD2=ED2，即(9-x)2+62=x2，解得x=
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②解：如图2，作的延长线于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
由折叠得BQ=BN，
又∵BN=，
∴，
∵AN∥BC，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
（2）解：如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，
图3
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴在以为圆心为半径的劣弧上运动，
∴的最小值为，
的最大值为，
∵，
∴面积的最大值与最小值之和为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）①由矩形性质得∠A=∠B=∠ADC=90°，DA=BC=9，由折叠的性质可知，ME=AE，MD=AB=6，∠M=∠A=90°，设DE=x，则ME=AE=9-x，在Rt△MED中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得到DE的长，再在Rt△CDE中，利用那个勾股定理算出CE的长即可；
②如图2，作的延长线于H，则四边形CDNH是矩形，由矩形性质得NH=CD=6，CH=DN=3，∠H=90°，在Rt△BHN中利用勾股定理算出BN的长，由折叠得BQ=BN=，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DPN∽△CPB，由相似三角形对应边成比例可得出，则可得，进而根据PQ=BP-QB即可算出答案；
（2）如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，则，，由勾股定理得，，则，即在以为圆心为半径的劣弧上运动，则的最小值为，的最大值为，然后求和，进而可得面积的最大值与最小值之和．
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