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2024年四川省成都市石室天府中学九年级下学期中考三模数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2024九下·成都期中）有理数2024的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：A、2024+2024=4048≠0，故此选项错误，不符合题意；
B、2024+（-2024）=0，故此选项正确，符合题意；
A、，故此选项错误，不符合题意；
A、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零即可逐一判断得出答案.
2．（2024九下·成都期中）如图所示，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：是的一个外角，
，
∵，
，
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出，然后利用二直线平行，内错角相等即可解答．
3．（2024九下·成都期中）据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（　　）米
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1纳米米，
∴纳米米
米
故答案为：．
【分析】先根据单位之间的换算关系求出28纳米等于多少米，再根据用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，即可得出答案.
4．（2024九下·成都期中） 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；数学思想
【解析】【解答】如图，
sinA=，
设AB=5m，则BC=3m，
AC=4m，
故答案为：A.
【分析】根据sinA=，设AB=5m，则BC=3m，利用勾股定理得到AC=4m，结合图形利用正切的定义即可求解.
5．（2024九下·成都期中）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，
由题意可得，，
在Rt△中，∵，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】作直线，交双翼闸机于点E、F，则，由题意可得，，在Rt△ACE中，由∠EAC的正弦函数求出，然后根据即可得出答案.
6．（2024九下·成都期中）《九章算术》是中国古代重要的数学著作．书中有这样一道题：“今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗10升），相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升 ，根据题意
可列出方程组，故答案为：C．
【分析】由“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗=10升），相当于下等稻10捆所得谷粒”可列方程，由“下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”可列方程，联立两方程即可.
7．（2024九下·成都期中）如图，O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵O是矩形的对角线的中点，
∴，，∠D=90°，
又∵，
∴OM∥CD，
∴ △AOM∽△ACD ，
∴
∴，
∴
∴矩形的周长为，
故答案为：C．
【分析】先由矩形的性质得到，，∠D=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得OM∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △AOM∽△ACD ，由相似三角形对应边成比例求出CD=4，然后根据勾股定理算出AD的长，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
8．（2024九下·成都期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．当时，的值随值的增大而增大
D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
抛物线交于轴的负半轴，
，
，故此选项不正确，不符合题意；
B、，，
，故此选项不正确，不符合题意；
C、观察图象可知，当时，随的增大而减小，故此选项不正确，不符合题意；
D、抛物线经过，且其对称轴直线为x=2，
∴抛物线经过点（-1，0），
可以假设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，根据对称轴直线公式可得b=-4a，据此可判断b的正负，由抛物线与y轴交点的位置判断出c的正负，从而即可判断A选项；将b=-4a代入b+3a结合a的正负可判断B选项；根据抛物线的增减性可判断C选项；由抛物线的对称性可得抛物线经过点（-1，0）与（5，0），设出抛物线的交点式，进而配成顶点式可用含a的式子表示出点M及点C的坐标， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K，由同角的余角相等得∠CMH=∠KMA，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△MHC∽△MKA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出a的值，从而即可判断D选项．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2024九下·成都期中）计算的结果是　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2．
【分析】先根据乘法分配律及二次根式的乘法法则展开括号，再根据二次根式性质分别化简各个二次根式，最后进行有理数的减法运算即可.
10．（2024九下·成都期中）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　 　．
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的方程的两个实数根，
，
，
，
故答案为：-5．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2= ，建立方程，求解即可.
11．（2024九下·成都期中）已知反比例函数图象上的两点，，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴，与矛盾；
∴
解得：
故答案为：.
【分析】反比例函数“”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此结合A、B两点的横纵坐标的大小关系及对应函数值的大小关系，求解即可.
12．（2024九下·成都期中）如图，是正八边形的两条对角线，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设正八边形中心为点O，连接，如图，
∵多边形为正八边形，
∴，
设，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】设正八边形中心为点O，连接，根据正n边形中心角为“”求出，设，由正多边形的对称性得到由等腰直角三角形的性质得，即可得到答案．
13．（2024九下·成都期中）如图，已知，平分且，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交边于点，作，垂足为．则周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，，
由作图可知垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】首先由含30°角直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理算出AE的长，进而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得FD=FA，最后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差，可将△DEF的周长转化为AE+DE，从而代值计算即可.
三、解答题（共4小题）
14．（2024九下·成都期中）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质“”化简二次根式、负整数指数幂的性质“”计算负整数指数幂、绝对值性质去绝对值符号、代入特殊锐角三角函数值，再去括号、计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别根据解不等式的步骤求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
15．（2024九下·成都期中）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【答案】（1）解：九（1）班的学生人数为：（人），
喜欢足球的人数为：（人），
补全统计图如图所示；
；
（2）10；20；72
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1
（男1，男2） （男1，男3） （男1，女）
男2 （男2，男1）
（男2，男3） （男2，女）
男3 （男3，男1） （男3，男2）
（男3，女）
女 （女，男1） （女，男2） （女，男3）
一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（2）解：，，，
故答案为：10，20，72；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢篮球的人数除以其所占的百分比求得调查总人数，再用总人数减去喜欢其它球类的人数即可求出喜欢足球的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）分别用喜欢排球、足球的人数除以调查总人数可求出喜欢排球及足球的人数所占的百分比，从而得到m、n的值，再用喜欢足球人数所占的百分比乘以360°即可求出扇形统计图中表示“足球”的扇形的圆心角度数；
（3）利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种，然后利用概率公式求解即可．
16．（2024九下·成都期中）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85）
【答案】（1）解：作，交的延长线于点F，则，
∴，，
∵，，
∴，，
∵米，
∴（米），（米），
∴（米），
即的长为米；
（2）解：设水池的深为x米，则米，
由题意可知：，，米，
∴（米），（米），
∵，
∴，
解得，
即水池的深约为4米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AF∥MN∥M'N'，由二直线平行，内错角相等，得，，从而利用∠BAF与∠CAF的正切函数求出BF、CF的长，最后根据BC=CF-BF计算可得答案；
（2）由∠DBN于∠ECN'的正切函数分别求出DN、N'E，然后结合（1）的结论根据DN+DE=BC+N'E建立方程，求解即可.
17．（2024九下·成都期中）已知：在中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点，使，延长依次交于点，交于．
（1）求的度数并求证；
（2）若，的直径等于5，，求与的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的直径等于5，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
即，
解得：，
∴．
如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得，结合已知可得，由直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出，进而根据三角形的内角和定理求出∠BGC=90°，即可得出结论；
（2）首先根据等腰直角三角形的性质得出BD=AD=4，利用勾股定理求出CD，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADC∽△BGC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CG的长，进而由线段的和差算出AG的长；连接AE，由直径所对的圆周角是直角得∠AEC=90°，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEC∽△EGC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE的长.
18．（2024九下·成都期中）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求m的值．
（2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．
①连接．若，求点M的坐标．
②过点M作于点D，若，求M的坐标．
【答案】（1）解：对于，当时，，
解得：，
∴点，
把点代入得：
，
解得：；
（2）解：①如图，过点M作轴于点N，
对于，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∵轴，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：反比例函数解析式为，
设点M的坐标为，则，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴点M的坐标为；
②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵点M是反比例函数的图象上的一点，
∴，
解得：，
∵点M在点P的右侧，
∴点M的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，将点P的坐标代入反比例函数 计算即可；（2）①过点M作轴于点N，根据一次函数图象与x、y轴交点的坐标特点求出点A、C的坐标，根据点的坐标得到OA、OC、PB、OB的长，进而根据梯形面积计算公式可得到，从而得到；根据反比例函数图象上点的坐标特点，设点M的坐标为，则，再由建立方程，求出a的值，即可求解；
②过点P作交延长线于点G，作于点H，易得△PMD是等腰直角三角形且PD=DM，由同角的余角相等得，从而用AAS证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2024九下·成都期中）已知，则代数式的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：-1．
【分析】把“a”看成“”，先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，然后将第一个分式的分子利用那个十字相乘法分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数举哀那个除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；再由得，代入化简后的结果中约分即可求解．
20．（2024九下·成都期中）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =　 　．
【答案】3或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3时，根据一元二次方程的根与系数的关系可得：
3+x2=4，解得x2=1，
∴x1·x2=3=k，即k=3；
当等腰三角形的腰长不是3时，
△=b2-4ac=16-4k=0，解得：k=4；
综上可得：k=3或k=4.
故答案为：3或4.
【分析】由题意分两种情况：当等腰三角形的腰长为3时，根据一元二次方程的根与系数的关系可求解；当等腰三角形的腰长不是3时，根据一元二次方程的根的判别式△=0可得关于k的方程，解之可求出k的值，综合两种情况可求解.
21．（2024九下·成都期中）如果三角形的两个内角的差为，那么称这个三角形为“差直角三角形”．在中，，，，是延长线上一点．若是“差直角三角形”，则的长为　 　．
【答案】3或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
中，，，，
，
是“差直角三角形”，
当时，则，
；
当时，则，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
或，
故答案为：3或．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长；分两种情形：当时，则，由等角对等边得CD=CA=3；当时，则，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DAC∽△DBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t的值，综上即可得出答案.
22．（2024九下·成都期中）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．
（1）若，的面积为25，则纸片Ⅲ的面积为　 　．
（2）若，则　 　．
【答案】16；4
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）在图1中，过作于，如图：
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为25，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：16；
（2）如图：
，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：4．
【分析】（1）在图1中，过点C作CM⊥AB于点M，由二直线平行内错角相等，得 ∠ABC=∠BCT， 由同角的余角相等，得∠ACM=∠ABC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义，可得，，进而根据三角形面积计算公式可求出，而的面积为25，即可得纸片Ⅲ的面积为；
（2） 设，则，， 由同角的余角相等得∠FBN= 设，则，， BCW，从而由ASA证明，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形对应边成比例得，即，可得或，而，，即可得到答案．
23．（2024九下·成都期中）如图，在中，，点D是边上一点，且，，则面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长到E，使，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，又，
∴；
∵，
∴，又，
∴作的外接圆，设圆心为O，当是等腰三角形时，边上的高最大，则最大，此时点B在点处，，
连接交于F，则，，
∴，
则；
∴面积的最大值为，
故答案为：．
【分析】延长AD到E，使，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等，，相似三角形面积的比等于相似比的平方得，进而根据同高三角形的面积之比等于对应底之比推出，根据三角形的内角和定理得出，作△ABE的外接圆，设圆心为O，当△ABE是等腰三角形时，BE边上的高最大，则S△ABE最大，此时点B在点B'处，由等边对等角可得，连接OB'交AE于F，由垂径定理得出，，根据∠B'EF的正切函数求出B'F，由三角形的面积计算公式求得△AB'E的最大面积，进而可求解．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2024九下·成都期中）川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元．
（1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价；
（2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的．当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）解：设甲种川剧变脸玩具的单价是元，乙种川剧变脸玩具的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种川剧变脸玩具的单价是18元，乙种川剧变脸玩具的单价是15元；
（2）解：设再次购进个甲种川剧变脸玩具，则购进个乙种川剧变脸玩具，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
此时．
答：销售的最大利润是1080元，相应的进货方案为：购进40个甲种川剧变脸玩具，60个乙种川剧变脸玩具．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种川剧变脸玩具的单价是x元，乙种川剧变脸玩具的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种用剧变脸玩具18个，需花费630元；购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购进m个甲种川剧变脸玩具，则购进(100-m)个乙种川剧变脸玩具，根据“购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围；设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润每个甲种川剧变脸玩具的销售利润购进甲种川剧变脸玩具的数量每个乙种川剧变脸玩具的销售利润购进乙种川剧变脸玩具的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用函数的性质，即可解决最值问题．
25．（2024九下·成都期中）抛物线交轴于两点（在的左边），已知坐标，抛物线交轴于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点在抛物线段上，过点作轴垂线，分别交轴、线段于两点，连接，若与相似，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上 若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，令，则，
解得：，，
，
点在抛物线段上，
设点的坐标为，
如图，若时，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或；
∴点的坐标为
如图，若时，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
整理得：，
解得：（舍去）或，
∴F点的坐标为，
综上所述，符合题意的的值为或，则点的坐标为或；
（3）解：点在一条定直线上，
由题意得知抛物线：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，
为的中点，
，
设，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
直线经过点，
，
同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为，
，
联立
得：，
直线与直线交于点，
，则，
，
，
，
设点在直线上，则，
整理得：，
比较系数可得：，，
解得：，，
当，时，无论，为何值时，等式恒成立，
点在一条定直线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：将，代入 抛物线
得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【分析】（1）将A、C两点的坐标分别代入抛物线可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式找那个的y=0算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标，根据点的坐标与图形性质，设点的坐标为，①若时，则，由二直线平行，内错角相等得，根据平行于x轴直线上所有点的纵坐标相同建立方程求解可得t的值，从而得出点F的坐标；②若时，过作轴于，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCO∽△CF2T，由相似三角形对应边成比例建立方程求出t的值，从而得到点F的坐标；
（3）求出直线的解析式为：，直线的解析式为，联立求出，从而即可得解．
26．（2024九下·成都期中）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H．
①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
（3）如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．
【答案】（1）①
②证明：由旋转的性质可知，，
，
；
（2）解：，，
由勾股定理得，，
的锐角顶点D恰好落在的斜边上，
，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
经检验，是方程的解，
，
；
（3）解：BN的长为和.
【知识点】菱形的性质；确定圆的条件；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
故答案为：90°；
（3）①当E落在上时，如图所示，连接、、，
由M是中点和旋转可知，，
又
，
，
又四边形是菱形
和在同一直线，F在的延长线上，
由（1）①可知（已证）
，
，
菱形中，，，如图所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点
由旋转可知，，
四边形是菱形
，
在对角线的中点上，即在和的交点上
是的中点，是的中点
，
，
由旋转可知，
、、、四点共圆
如下图所示，连接和
，
，
在中，，
∴BN的长为或.
【分析】（1）①由旋转的性质得AG=DG=GC，根据确定圆的条件可推出 A、D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADC的度数；
②由旋转的性质得， 结合公共角， 由有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）首先根据勾股定理算出AB的长，由由旋转的性质得AG=DG=GC，根据确定圆的条件可推出 A、D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，由直径所对的圆周角等于90°得，利用∠A的余弦函数计算出AD的长，再根据相似三角形对应边成比例得， 设，则，， 从而代入求出x的值，进而计算出AH，最后计算出CH；
（3）①当E落在AD上，连接BF、BE、EN，由中点定义及旋转的性质得 ，结合对顶角相等，由SAS判断出，由全等三角形的对应角相等得 ，由内错角相等两直线平行推导出，根据菱形的性质及经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得到F在CB的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到NF的长度，最后算出BN；
②当E落在BD上， 作交于点 ，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．
1 / 12024年四川省成都市石室天府中学九年级下学期中考三模数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2024九下·成都期中）有理数2024的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·成都期中）如图所示，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·成都期中）据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（　　）米
A． B． C． D．
4．（2024九下·成都期中） 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·成都期中）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·成都期中）《九章算术》是中国古代重要的数学著作．书中有这样一道题：“今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗10升），相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九下·成都期中）如图，O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．24 D．32
8．（2024九下·成都期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．当时，的值随值的增大而增大
D．若，则
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2024九下·成都期中）计算的结果是　 　．
10．（2024九下·成都期中）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　 　．
11．（2024九下·成都期中）已知反比例函数图象上的两点，，且，则的取值范围是　 　．
12．（2024九下·成都期中）如图，是正八边形的两条对角线，则　 　．
13．（2024九下·成都期中）如图，已知，平分且，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交边于点，作，垂足为．则周长为　 　．
三、解答题（共4小题）
14．（2024九下·成都期中）（1）计算：
（2）解不等式组：
15．（2024九下·成都期中）某中学九年（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
16．（2024九下·成都期中）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85）
17．（2024九下·成都期中）已知：在中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点，使，延长依次交于点，交于．
（1）求的度数并求证；
（2）若，的直径等于5，，求与的值．
18．（2024九下·成都期中）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求m的值．
（2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．
①连接．若，求点M的坐标．
②过点M作于点D，若，求M的坐标．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2024九下·成都期中）已知，则代数式的值为　 　．
20．（2024九下·成都期中）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =　 　．
21．（2024九下·成都期中）如果三角形的两个内角的差为，那么称这个三角形为“差直角三角形”．在中，，，，是延长线上一点．若是“差直角三角形”，则的长为　 　．
22．（2024九下·成都期中）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．
（1）若，的面积为25，则纸片Ⅲ的面积为　 　．
（2）若，则　 　．
23．（2024九下·成都期中）如图，在中，，点D是边上一点，且，，则面积的最大值为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2024九下·成都期中）川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元．
（1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价；
（2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的．当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
25．（2024九下·成都期中）抛物线交轴于两点（在的左边），已知坐标，抛物线交轴于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点在抛物线段上，过点作轴垂线，分别交轴、线段于两点，连接，若与相似，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上 若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
26．（2024九下·成都期中）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H．
①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
（3）如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：A、2024+2024=4048≠0，故此选项错误，不符合题意；
B、2024+（-2024）=0，故此选项正确，符合题意；
A、，故此选项错误，不符合题意；
A、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：是的一个外角，
，
∵，
，
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出，然后利用二直线平行，内错角相等即可解答．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1纳米米，
∴纳米米
米
故答案为：．
【分析】先根据单位之间的换算关系求出28纳米等于多少米，再根据用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；数学思想
【解析】【解答】如图，
sinA=，
设AB=5m，则BC=3m，
AC=4m，
故答案为：A.
【分析】根据sinA=，设AB=5m，则BC=3m，利用勾股定理得到AC=4m，结合图形利用正切的定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，
由题意可得，，
在Rt△中，∵，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】作直线，交双翼闸机于点E、F，则，由题意可得，，在Rt△ACE中，由∠EAC的正弦函数求出，然后根据即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升 ，根据题意
可列出方程组，故答案为：C．
【分析】由“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗=10升），相当于下等稻10捆所得谷粒”可列方程，由“下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”可列方程，联立两方程即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵O是矩形的对角线的中点，
∴，，∠D=90°，
又∵，
∴OM∥CD，
∴ △AOM∽△ACD ，
∴
∴，
∴
∴矩形的周长为，
故答案为：C．
【分析】先由矩形的性质得到，，∠D=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得OM∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △AOM∽△ACD ，由相似三角形对应边成比例求出CD=4，然后根据勾股定理算出AD的长，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
抛物线交于轴的负半轴，
，
，故此选项不正确，不符合题意；
B、，，
，故此选项不正确，不符合题意；
C、观察图象可知，当时，随的增大而减小，故此选项不正确，不符合题意；
D、抛物线经过，且其对称轴直线为x=2，
∴抛物线经过点（-1，0），
可以假设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，根据对称轴直线公式可得b=-4a，据此可判断b的正负，由抛物线与y轴交点的位置判断出c的正负，从而即可判断A选项；将b=-4a代入b+3a结合a的正负可判断B选项；根据抛物线的增减性可判断C选项；由抛物线的对称性可得抛物线经过点（-1，0）与（5，0），设出抛物线的交点式，进而配成顶点式可用含a的式子表示出点M及点C的坐标， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K，由同角的余角相等得∠CMH=∠KMA，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△MHC∽△MKA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出a的值，从而即可判断D选项．
9．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2．
【分析】先根据乘法分配律及二次根式的乘法法则展开括号，再根据二次根式性质分别化简各个二次根式，最后进行有理数的减法运算即可.
10．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的方程的两个实数根，
，
，
，
故答案为：-5．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2= ，建立方程，求解即可.
11．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴，与矛盾；
∴
解得：
故答案为：.
【分析】反比例函数“”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此结合A、B两点的横纵坐标的大小关系及对应函数值的大小关系，求解即可.
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设正八边形中心为点O，连接，如图，
∵多边形为正八边形，
∴，
设，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】设正八边形中心为点O，连接，根据正n边形中心角为“”求出，设，由正多边形的对称性得到由等腰直角三角形的性质得，即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，，
由作图可知垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】首先由含30°角直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理算出AE的长，进而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得FD=FA，最后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差，可将△DEF的周长转化为AE+DE，从而代值计算即可.
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质“”化简二次根式、负整数指数幂的性质“”计算负整数指数幂、绝对值性质去绝对值符号、代入特殊锐角三角函数值，再去括号、计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别根据解不等式的步骤求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）解：九（1）班的学生人数为：（人），
喜欢足球的人数为：（人），
补全统计图如图所示；
；
（2）10；20；72
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1
（男1，男2） （男1，男3） （男1，女）
男2 （男2，男1）
（男2，男3） （男2，女）
男3 （男3，男1） （男3，男2）
（男3，女）
女 （女，男1） （女，男2） （女，男3）
一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（2）解：，，，
故答案为：10，20，72；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢篮球的人数除以其所占的百分比求得调查总人数，再用总人数减去喜欢其它球类的人数即可求出喜欢足球的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）分别用喜欢排球、足球的人数除以调查总人数可求出喜欢排球及足球的人数所占的百分比，从而得到m、n的值，再用喜欢足球人数所占的百分比乘以360°即可求出扇形统计图中表示“足球”的扇形的圆心角度数；
（3）利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种，然后利用概率公式求解即可．
16．【答案】（1）解：作，交的延长线于点F，则，
∴，，
∵，，
∴，，
∵米，
∴（米），（米），
∴（米），
即的长为米；
（2）解：设水池的深为x米，则米，
由题意可知：，，米，
∴（米），（米），
∵，
∴，
解得，
即水池的深约为4米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AF∥MN∥M'N'，由二直线平行，内错角相等，得，，从而利用∠BAF与∠CAF的正切函数求出BF、CF的长，最后根据BC=CF-BF计算可得答案；
（2）由∠DBN于∠ECN'的正切函数分别求出DN、N'E，然后结合（1）的结论根据DN+DE=BC+N'E建立方程，求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的直径等于5，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
即，
解得：，
∴．
如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得，结合已知可得，由直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出，进而根据三角形的内角和定理求出∠BGC=90°，即可得出结论；
（2）首先根据等腰直角三角形的性质得出BD=AD=4，利用勾股定理求出CD，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADC∽△BGC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CG的长，进而由线段的和差算出AG的长；连接AE，由直径所对的圆周角是直角得∠AEC=90°，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEC∽△EGC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE的长.
18．【答案】（1）解：对于，当时，，
解得：，
∴点，
把点代入得：
，
解得：；
（2）解：①如图，过点M作轴于点N，
对于，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∵轴，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：反比例函数解析式为，
设点M的坐标为，则，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴点M的坐标为；
②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵点M是反比例函数的图象上的一点，
∴，
解得：，
∵点M在点P的右侧，
∴点M的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，将点P的坐标代入反比例函数 计算即可；（2）①过点M作轴于点N，根据一次函数图象与x、y轴交点的坐标特点求出点A、C的坐标，根据点的坐标得到OA、OC、PB、OB的长，进而根据梯形面积计算公式可得到，从而得到；根据反比例函数图象上点的坐标特点，设点M的坐标为，则，再由建立方程，求出a的值，即可求解；
②过点P作交延长线于点G，作于点H，易得△PMD是等腰直角三角形且PD=DM，由同角的余角相等得，从而用AAS证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案．
19．【答案】-1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：-1．
【分析】把“a”看成“”，先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，然后将第一个分式的分子利用那个十字相乘法分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数举哀那个除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；再由得，代入化简后的结果中约分即可求解．
20．【答案】3或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3时，根据一元二次方程的根与系数的关系可得：
3+x2=4，解得x2=1，
∴x1·x2=3=k，即k=3；
当等腰三角形的腰长不是3时，
△=b2-4ac=16-4k=0，解得：k=4；
综上可得：k=3或k=4.
故答案为：3或4.
【分析】由题意分两种情况：当等腰三角形的腰长为3时，根据一元二次方程的根与系数的关系可求解；当等腰三角形的腰长不是3时，根据一元二次方程的根的判别式△=0可得关于k的方程，解之可求出k的值，综合两种情况可求解.
21．【答案】3或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
中，，，，
，
是“差直角三角形”，
当时，则，
；
当时，则，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
或，
故答案为：3或．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长；分两种情形：当时，则，由等角对等边得CD=CA=3；当时，则，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DAC∽△DBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t的值，综上即可得出答案.
22．【答案】16；4
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）在图1中，过作于，如图：
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为25，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：16；
（2）如图：
，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：4．
【分析】（1）在图1中，过点C作CM⊥AB于点M，由二直线平行内错角相等，得 ∠ABC=∠BCT， 由同角的余角相等，得∠ACM=∠ABC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义，可得，，进而根据三角形面积计算公式可求出，而的面积为25，即可得纸片Ⅲ的面积为；
（2） 设，则，， 由同角的余角相等得∠FBN= 设，则，， BCW，从而由ASA证明，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形对应边成比例得，即，可得或，而，，即可得到答案．
23．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长到E，使，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，又，
∴；
∵，
∴，又，
∴作的外接圆，设圆心为O，当是等腰三角形时，边上的高最大，则最大，此时点B在点处，，
连接交于F，则，，
∴，
则；
∴面积的最大值为，
故答案为：．
【分析】延长AD到E，使，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等，，相似三角形面积的比等于相似比的平方得，进而根据同高三角形的面积之比等于对应底之比推出，根据三角形的内角和定理得出，作△ABE的外接圆，设圆心为O，当△ABE是等腰三角形时，BE边上的高最大，则S△ABE最大，此时点B在点B'处，由等边对等角可得，连接OB'交AE于F，由垂径定理得出，，根据∠B'EF的正切函数求出B'F，由三角形的面积计算公式求得△AB'E的最大面积，进而可求解．
24．【答案】（1）解：设甲种川剧变脸玩具的单价是元，乙种川剧变脸玩具的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种川剧变脸玩具的单价是18元，乙种川剧变脸玩具的单价是15元；
（2）解：设再次购进个甲种川剧变脸玩具，则购进个乙种川剧变脸玩具，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
此时．
答：销售的最大利润是1080元，相应的进货方案为：购进40个甲种川剧变脸玩具，60个乙种川剧变脸玩具．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种川剧变脸玩具的单价是x元，乙种川剧变脸玩具的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种用剧变脸玩具18个，需花费630元；购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购进m个甲种川剧变脸玩具，则购进(100-m)个乙种川剧变脸玩具，根据“购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围；设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润每个甲种川剧变脸玩具的销售利润购进甲种川剧变脸玩具的数量每个乙种川剧变脸玩具的销售利润购进乙种川剧变脸玩具的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用函数的性质，即可解决最值问题．
25．【答案】（1）解：抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，令，则，
解得：，，
，
点在抛物线段上，
设点的坐标为，
如图，若时，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或；
∴点的坐标为
如图，若时，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
整理得：，
解得：（舍去）或，
∴F点的坐标为，
综上所述，符合题意的的值为或，则点的坐标为或；
（3）解：点在一条定直线上，
由题意得知抛物线：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，
为的中点，
，
设，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
直线经过点，
，
同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为，
，
联立
得：，
直线与直线交于点，
，则，
，
，
，
设点在直线上，则，
整理得：，
比较系数可得：，，
解得：，，
当，时，无论，为何值时，等式恒成立，
点在一条定直线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：将，代入 抛物线
得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【分析】（1）将A、C两点的坐标分别代入抛物线可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式找那个的y=0算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标，根据点的坐标与图形性质，设点的坐标为，①若时，则，由二直线平行，内错角相等得，根据平行于x轴直线上所有点的纵坐标相同建立方程求解可得t的值，从而得出点F的坐标；②若时，过作轴于，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCO∽△CF2T，由相似三角形对应边成比例建立方程求出t的值，从而得到点F的坐标；
（3）求出直线的解析式为：，直线的解析式为，联立求出，从而即可得解．
26．【答案】（1）①
②证明：由旋转的性质可知，，
，
；
（2）解：，，
由勾股定理得，，
的锐角顶点D恰好落在的斜边上，
，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
经检验，是方程的解，
，
；
（3）解：BN的长为和.
【知识点】菱形的性质；确定圆的条件；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
故答案为：90°；
（3）①当E落在上时，如图所示，连接、、，
由M是中点和旋转可知，，
又
，
，
又四边形是菱形
和在同一直线，F在的延长线上，
由（1）①可知（已证）
，
，
菱形中，，，如图所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点
由旋转可知，，
四边形是菱形
，
在对角线的中点上，即在和的交点上
是的中点，是的中点
，
，
由旋转可知，
、、、四点共圆
如下图所示，连接和
，
，
在中，，
∴BN的长为或.
【分析】（1）①由旋转的性质得AG=DG=GC，根据确定圆的条件可推出 A、D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADC的度数；
②由旋转的性质得， 结合公共角， 由有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）首先根据勾股定理算出AB的长，由由旋转的性质得AG=DG=GC，根据确定圆的条件可推出 A、D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，由直径所对的圆周角等于90°得，利用∠A的余弦函数计算出AD的长，再根据相似三角形对应边成比例得， 设，则，， 从而代入求出x的值，进而计算出AH，最后计算出CH；
（3）①当E落在AD上，连接BF、BE、EN，由中点定义及旋转的性质得 ，结合对顶角相等，由SAS判断出，由全等三角形的对应角相等得 ，由内错角相等两直线平行推导出，根据菱形的性质及经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得到F在CB的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到NF的长度，最后算出BN；
②当E落在BD上， 作交于点 ，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．
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