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安徽省蚌埠市 2025 届高三下学期适应性考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {0,1,2,3}，集合 = {0,1}，则 =( )
A. B. {2} C. {3} D. {2,3}
2.“ > 1”是“ 2 > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 是虚数单位，复数 = 2 ，则 的共轭复数是( )
A. 1 + 25 5 B.
1 25 5 C.
1
5 +
2
5 D.
1
5
2
5
4.已知三棱锥 的体积为 1，△ 是边长为 2 的正三角形，且 = 2，则直线 与平面 所成角
的正弦值为( )
A. 12 B.
2 3
2 C. 2 D. 1
5.已知 ∈ (0, 2 )，sin(

3 ) =
1
3，则 cos =( )
A. 3+2 26 B.
3+2 2
6 C.
1+2 6 D. 1+2 66 6
6.已知数列{ }的前 项和为 ， = +1 2 且 1 = 1，则( )
A.数列{ }是等比数列 B. 2 4 = 23
C. 4 + 7 < 5 + 6 D.数列{ }是等比数列
7.在四边形 中，2 = 3 ， = (1, 2)， = ( 2, 1)，则该四边形的面积为( )
A. 4 B. 2 2 C. 52 D.
15
4
8.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，经过点 的直线 与抛物线相交于点 ， (点 在第一象限)，若
| | = 2| |，则直线 的斜率为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.进入 3 月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大.现记录了 3 月上旬(1 日 10 日)我市的日最
高气温如下(单位：℃): 24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是( )
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A. 3 月上旬我市日最高气温的极差为 20℃
B. 3 月上旬我市日最高气温的平均数为 13.5℃
C. 3 日 10 日我市日最高气温持续上升
D. 3 月上旬我市日最高气温的 60%分位数为 15.5℃
10
2 2
.已知双曲线 : 2 = 1( > 0)的一条渐近线方程为 2 = 0，点 1， 2分别是 的左、右焦点，点 1，
2分别是 的左、右顶点，过点 2的直线 与 相交于 ， 点，其中点 在第一象限内，记直线 1的斜率为 1，
直线 2的斜率为 2，则( )
A.双曲线 的焦距为 2 10 B. | 1| | 2| = 4 2
C. | | > 4 2 D. 1 =
1
2 4
2 × 3 , ≤ 0,
11.已知函数 ( ) = 2 + 1, > 0,其中 为实数，则下列说法正确的是( )
A.当 ≥ 2 时， ( )有最小值
B.当 < 0 时， ( )在 上单调递增
C. ∈ ， ( )的图象上都存在关于 轴对称的两个点
D.当 = 2 时，记 ( ) = ( ( )) ，若 ( )有 5 个零点，则 0 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 2.已知 > 0， > 0， + = 1，则 + 的最小值为 ．
13.在△ 中， = 6， = 3，点 在 上且 = 2 ，则 的取值范围是 ．
14 .已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < 2 )，若| ( 4 )| = 1， ( 3 ) = 0，且 ( )在区间( 3 , 2 )上单
调，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
1
的离心率为2，点 (3,
3
2 )在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)过点 (0,6)的直线(非 轴)交椭圆于 ， 两点，以 为直径的圆经过原点 ，求直线 的方程．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ln( ) + ，其中 > 0．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的图象在 = 1 处的切线方程;
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(2)若 ( ) ≥ ln 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， = = = 2， = = 13， = 2．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制.根据以往对战的
经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为 0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求甲代表队夺冠的概率;
(2)比赛开始前，工作人员采购了 5 个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧
球”可继续使用.每局比赛前，裁判员从袋中的 5 个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球.每局比赛
结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合.记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量
为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知有穷数列 : 1， 2， ， ( ≥ 3, ∈ )，设 = { | = , 1 ≤ < ≤ }，记 中元素的个数为
| |．
(1)若数列 : 0，2，4，12，求集合 ，并写出| |的值;
(2)若 是单调数列，求证：“| | = 1”的充要条件是“ 为等差数列”;
(3)若 = 2 + 1， ∈ ，数列 由 1，2，3，4， ， ，2 这( + 1)个数组成，且这( + 1)个数在数列
中至少出现一次，求| |的取值个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 + 2 2
13.(3,5)
14.187
15. (1) = = 1解： 由 2，得 = 2 ，
则 2 = 4 2 = 2 + 2，所以 2 = 3 2，
(3, 3将点 2 )
9 3
代入椭圆方程得4 2 + 4 2 = 1，
解得 2 = 3，
2 2
所以椭圆的标准方程为12 + 9 = 1．
(2)依题意直线 斜率存在，
设直线 的方程为 = + 6，
并设点 ， 的坐标分别为( 1, 1)，( 2, 2).
= + 6,
联立方程 3 2 + 4 2 = 36,
消去 得(3 + 4 2) 2 + 48 + 108 = 0，
依题意，△= (48 )2 4 × 108(4 2 + 3) = 144(4 2 9) > 0，∴ | | > 32，
且 1 + =
48 108
2 3+4 2， 1 2 = 3+4 2，
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依题意 = 0，即 1 2 + ( 1 + 6)( 2 + 6) = 0，
整理得( 2 + 1) 1 2 + 6 ( 1 + 2) + 36 = 0，
从而( 2 + 1) 1083+4 2 + 6
48
3+4 2 + 36 = 0，
∴ 216 36 2 = 0，解得 1 = 6， 2 = 6，满足| | >
3
2．
从而直线 的方程为 =± 6 + 6．
16.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ln + 1 1 1 ，则 ′( ) = 2，
所以 ′(1) = 0，又 (1) = 1，
则所求切线方程为 = 1．
(2) ( ) ≥ ln ln( ) + ≥ ln ln +

≥ 0，其中 > 0，
所以问题转化为 ≥ ln ( > 0)恒成立，
记 ( ) = ln ，则 ′( ) = ln 1，
令 ′( ) > 0，得 0 < < 1 1 ;令 ′( ) < 0，得 > ，
所以 ( )在(0, 1 )
1
上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
( ) 1 1的最大值为 ( ) = ，
≥ 1所以 ．
17.解：(1)因为 = ， = ，
所以 是线段 的中垂线，即 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
由 ∩ = 点， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)设 与 相交于点 ，取 的中点 ，连接 ．
因为 是线段 的中垂线，
所以 是 的中点，则 // 1，且 = 2 = 1．
由 ⊥平面 ， ， 平面 ，得 ⊥ ， ⊥ ，
所以 ⊥ ， ⊥ ．
由条件，可求得 = 2 2 = 3，
= 2 2 = 2 3，
以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
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易得 (0, 1,0)， ( 3, 0,0)， (0,1,0)， ( 2 3, 0,0)， (0, 1,2)．
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
= (0,0, 2)， = ( 3, 1, 2)，
1 = 2 由 1 = 0,
1 = 3 1 + 1 2 1 = 0,
取 1 = 1，则 1 = 3， 1 = 0，
所以平面 的一个法向量为 1 = (1, 3, 0)．
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
= (0,2, 2)， = ( 2 3, 1, 2)，
2 = 2 2 = 0,由 2 2
2 = 2 3 1 + 2 2 2 = 0,
取 2 = 2 3，则 2 = 1， 2 = 2 3，
所以平面 的一个法向量为 2 = ( 1,2 3, 2 3)，
|cos < , > | = | 1 2| 71 2 | | | | = 2×5 =
7
1 2 10
．
7
所以平面 与平面 夹角的余弦值为10．
18.解：(1)记甲代表队夺冠为事件 ，甲代表队以比分 2: 0 夺冠为事件 1，比分 2: 1 夺冠为事件 2，
( 1) = 0.6 × 0.6 = 0.36，
( 2) = 120.6 × 0.4 × 0.6 = 0.288，
( ) = ( 1) + ( 2) = 0.36 + 0.288 = 0.648，
所以甲代表队夺冠的概率为 0.648．
(2)比赛 2 局结束的概率为 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.4 = 0.52，
比赛 3 局结束的概率为 1 0.52 = 0.48，
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
( = 4) = 0.52 × 15 + 0.48 ×
1 1
5 × 5 = 0.1232，
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( = 2) = 0.48 × 45 ×
3
5 = 0.2304，
( = 3) = 0.52 × 4 4 25 + 0.48 × 5 × 5 + 0.48 ×
1
5 ×
4
5 = 0.6464，
故随机变量 的分布列为
( ) = 2 × 0.2304 + 3 × 0.6464 + 4 × 0.1232 = 2.8928．
19.解：(1) = {2,4,8,10,12}，| | = 5．
(2)“充分性”: 为等差数列： 1， 1 + ， 1 + 2 ， ， 1 + ( 1) ( ≠ 0)，
则 = = [ 1 + ( 1) ] [ 1 + ( 1) ] = ( ) (1 ≤ < ≤ )， 能取从 1 到 1 的每个
整数，故 = { , 2 , 3 , , ( 1) }，
因此| | = 1．
“必要性”:不妨设 为递增数列： 1， 2， ， ，
作运算并比较如下： 2 1 < 3 1 < 4 1 < < 1，共( 1)个互不相等的数，
同理 3 2 < 4 2 < 5 2 < < 2 < 1，共( 1)个互不相等的数．
4 3 < 5 3 < 6 3 < < 3 < 2 < 1，共( 1)个互不相等的数．
1 < 2 < 3 < < 2 < 1，共( 1)个互不相等的数，
由| | = 1 及 的有穷性，知 2 1 = 3 2 = 4 3 = = 1 即 为等差数列．
(3)因为数列 由 1，2，3，4， ， ，2 这( + 1)个数组成且项数为 2 + 1，
所以数列 中必有相等的项，
则任意两项的差值可能为 0，±1，±2，±3， ，± ，±( + 1)，±( + 2)， ，±(2 1)，其中，必有 0 ∈ ，
对于 = 1，2，3， ，2 1， 和 至少有一个属于 ，所以 2 ≤ | | ≤ 4 1．
①当数列 为：1，2，3， ， ，2 ，2 ， ，2 (2 有 + 1 个)，则 = |0，1，2， ，2 1}，| | = 2 ．
②当数列 为：1，2， ， ，2 ， ， 1， ，1，则 = {0, ± 1, ± 2, , ± (2 1)}，| | = 4 1．
③当数列 为：1，2， ， ， 1， 2， ，2 ，2 ， ，2 (2 有 + 1 个)，
则 = {0, ± 1, ± 2, , ± , + 1, + 2, , 2 1}．
| | = 1 + 2 + 2 1 = 2 + ，其中 = 1，2， ， 1，
故| | = 2 + 1，2 + 2， ，3 1．
④当数列 为：1，2， ， ， ， 1， ， + 1，2 ， ， 1， ，1，
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则 = |0，±1，±2， ，±( 1)， ， + 1， ，2 1，±(2 )，±(2 + 1)， ，±(2 1)，
| | = 1 + 2( 1) + + 2 = 3 1 + ，其中 = 1，2， ， 1，
故| | = 3 ，3 + 1， ，4 2．
综上| |可取[2 , 4 1]中所有整数，即| |个数为 2 ．
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