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湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程单位：公里如下表所示，则小丽月份每个月的跑步里程的分位数为( )
月份 月 月 月 月 月 月
跑步里程
A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
4.定义：，其中为向量，的夹角若，，则( )
A. B. C. D.
5.给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列若数列的一阶差数列的通项公式为，，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点若，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数与其导函数的部分图象如图所示设函数，则( )
A. B.
C. 在上单调递减 D. 在处取得极大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数
B. 是增函数
C. 不等式的解集为，
D. 若函数恰有两个零点，则的取值范围为
10.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰，，，拼成，其中线段，，的中点均为点，且若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则( )
A. 的体积为
B. 的表面积为
C. 经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为
D. 经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆
11.设正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是关于的方程的一个根，则 ．
13.如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域、区域、区域、区域、区域、区域共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案．
14.双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且B.
求的值
若，，，，求的长．
16.本小题分
某兴趣小组调查了某校名学生米短跑成绩的情况，其中有名学生的短跑成绩合格这名学生中有名学生每周的锻炼时间超过小时，名短跑成绩合格的学生中有名学生每周的锻炼时间超过小时．
根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过小时有关
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过小时
每周的锻炼时间不超过小时
合计
正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取名学生记为甲进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率．
参考公式与数据：，其中．
17.本小题分
已知椭圆过点，，为椭圆的左顶点，为坐标原点．
求椭圆的标准方程
设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间
当时，求在上的最小值
当时，讨论的零点个数．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成其中，，，均为常数，，为该平面的一个法向量已知球的半径为，点，，均在球的球面上，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆为线段的中点．
求点的坐标．
若平面，证明：平面平面．
已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点．
用表示点的坐标
若，求点到平面距离的最大值
若，，，当直线与平面所成的角最小时，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据正弦定理可得，
得B.
因为，所以，则，
因为，所以，所以．
由题意得，解得负根已舍去
因为，，所以，，
所以
16.解：表格如下：
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过小时
每周的锻炼时间不超过小时
合计
零假设为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，
根据表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过小时有关．
设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过小时，短跑成绩不合格”，“学生甲每周的锻炼时间不超过小时，短跑成绩不合格”，
则，，，，
所以，所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取名学生记为甲进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为．
17.解：由题意得．
将点及代入椭圆的方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
由相似三角形可得，所以．
因为，所以，即，
即，所以
，解得或．
当时，，
当时，，．
故或
18.解：当时，，定义域为，
则，，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，，，
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，；
令，得，即，所以．
令，，则，即，
当时，由，得，在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程的解的个数即为的零点个数．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，且当时，．
因为，所以
当，即时，方程有两个不同的解，的零点个数为
当或，即或时，方程只有个解，的零点个数为
当，即时，方程无解，的零点个数为．
综上，当时，的零点个数为
当或时，的零点个数为当时，的零点个数为．
19.解：连接，过作，交于点根据题意易得为等边三角形，
所以，则，，所以．
证明：连接，根据球的性质可得平面，则即为平面的一个法向量．
因为，所以，．
易得平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面．
解：当时，过点作交于，过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，
则，，，，，，，，
则，同理可得当时，
因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为．
易得平面的一个法向量为
因为，，所以．
设直线与平面所成的角为，则，，
令，则，
则
，
当，，即时，最小，即直线与平面所成的角最小．

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