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难题突破专题八　类比、拓展探究问题
类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．
例题1：模型探究问题
（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．
例题2：作图探究问题：
（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（3）结合图形有，，即可得，问题随之得解；
（4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）∵在菱形中，，，
∴，
故答案为：4；
（3）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，
猜想：，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（4）根据尺规作图可知：，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴根据（3）的结论有：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
例题3：剪切拼接问题
（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
【答案】（1）；（2），；的长为或．
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．
（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；
（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．
【详解】解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性质可得：，
∴，，为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，，
∵正方形的边长为，
∴对角线的长，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵为等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，
∴，
综上：的长为或．
例4：旋转变化问题探究
（2024 牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝　10或18　．
【分析】（1）在AB边上截取AM＝EF，连接DM，根据题意证明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后证明出△BMD是等边三角形，得到BD＝BM＝DM，进而求解即可；
（2）图②：在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，首先证明出△ABH是等边三角形，得到∠BAH＝60°，然后求出∠BAH＝∠DAE，然后证明出△FAE≌△GAD（SAS），得到EF＝DG，∠AFE＝∠G，然后证明出△DHG是等边三角形，得到DH＝DG＝EF，进而求解即可；
图③：在EF上取点H使AH＝AF，同理证明出△EAH≌△ADB（AAS），得到BD＝AH，AB＝EH，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含30°角直角三角形的性质求出BC＝6，AB＝12，然后结合CD＝2BD，分别（1）（2）的条件下求出BD的长度，进而求解即可．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．在AB边上截取AM＝EF，连接DM．如图1，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠B＝60°．
又∵∠EAD＝60°，
∴∠EFB＝∠EAD．
又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，
∴∠BAD＝∠AEF．
又∵AD＝AE，AM＝EF，
∴△DAM≌△AEF（SAS）．
∴AF＝DM．
∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．
∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．
∵∠B＝60°，
∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．
∴△BMD是等边三角形．
∴BD＝BM＝DM，
∵AB＝AM+BM，
∴AB＝EF+BD；
（2）解：图②：AB＝BD﹣EF，证明如下：
如图2.1所示，在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠BAH＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAH＝∠DAE，
∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，
又∵AG＝AF，
∴△FAE≌△GAD（SAS），
∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，
∵BD∥EF，
∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，
∵∠DHG＝∠AHB＝60°，
∴△DHG是等边三角形，
∴DH＝DG＝EF，
∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；
图③：AB＝EF﹣BD，证明如下：
如图2.2所示，在EF上取点H使AH＝AF，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠ABC＝60°，
∵AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴∠AHF＝∠HAF＝60°，
∴∠AHE＝120°，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，
∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠EAH，
∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，
又∵AD＝AE，
∴△EAH≌△ADB（AAS），
∴BD＝AH，AB＝EH，
∵AH＝FH，
∴BD＝HF，
∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；
（3）解：如图3.1所示，
∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，
∴，
∴BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，
∴，
由（1）可知，BD+EF＝AB，
∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；
如图3.2所示，当点D在线段BC的延长线上时，
∵CD＜BD，与CD＝2BD矛盾，
∴不符合题意；
如图3.3所示，当点D在线段CB的延长线上时，
∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，
∴BD＝BC＝6，
由（2）可知，AB＝EF﹣BD，
∵AB＝2BC＝12，
∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．
综上所述，EF＝10或18，
故答案为：10或18．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
专 题 训 练
1. （2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可；
（2）先证明，根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可．
【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
2. （2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（____①____）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②________
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③________ ④________
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
【答案】（1）①中位线定理
（2）证明见解析
（3）②矩形
（4）证明见解析
（5）补图见解析；③且；④正方形
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识
（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；
（2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；
（3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；
（4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；
（5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.
【详解】（1）①证明依据是：中位线定理；
（2）证明：∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中点四边形是菱形．
（3）②矩形；
故答案为：矩形
（4）证明∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，，
∴．
同理可得：．
∵
∴，
∴
∴中点四边形是矩形．
（5）证明：如图4，∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，
∴．
同理可得：．
∵
∴
∴中点四边形是菱形．
∵
由（4）可知
∴菱形是正方形．
故答案为：③且；④正方形

3. （2024 成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）证明△ADE≌△ABC（SAS），求出AC＝AE＝5，可得∠DAE＝∠BAC，故∠CAE＝∠BAD，又＝＝1，可得ΔADB∽△AEC，从而＝＝；
（2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，由ΔADB∽△AEC，得∠ABD＝∠ACE，求出BM＝AM＝CM＝AC＝，证明AB∥CE，即可得△BAM≌△QCM（AAS），BM＝QM，从而四边形ABCQ矩形，有AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，得EQ＝＝3，可得PQ是△CEN的中位线，PQ＝CN，设PQ＝x，证明△EQP≌△ADP（AAS），得EP＝AP＝4﹣x，故（4﹣x）2＝x2+32，x＝，AP＝，CN＝，由△APF∽ΔCNF，得＝，可得＝，CF＝；
（3）分四种情况分别画出图形解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE＝＝5，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD，
∵＝＝1，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
∵AB＝3，AC＝5，
∴＝；
（2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图：
同（1）得△ADB∽△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BM是中线，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵∠ABD+∠MBC＝90°，
∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM，
又AM＝CM，
∴△BAM≌△QCM（AAS），
∴BM＝QM，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∵∠ABC＝90°
∴四边形ABCQ矩形，
∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，
∴EQ＝＝＝3，
∴EQ＝CQ，
∴PQ是△CEN的中位线，
∴PQ＝CN，
设PQ＝x，则CN＝2x，AP＝4﹣x，
∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，
∴△EQP≌△ADP（AAS），
∴EP＝AP＝4﹣x，
∵EP2＝PQ2+EQ2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x＝，
∴AP＝4﹣x＝，CN＝2x＝，
∵PQ∥CN，
∴△APF∽△CNF，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝5，
∴＝，
∴CF＝；
方法2：
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴AM＝BM＝CM＝AC＝，
∴∠ABM＝∠BAM，
∵AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADB，
∴∠BAM＝∠ADB，
∵∠ABM＝∠DBA，
∴△ABM∽△DBA，
∴＝，即＝，
∴BD＝，
∴DM＝BD﹣BM＝﹣＝，
∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB，
∴DM∥AE，
∴△FDM∽△FEA，
∴＝，即＝，
解得FM＝，
∴CF＝CM﹣FM＝﹣＝；
（3）C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下：
①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE＝CD DE＝×（5﹣3）×4＝4；
②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE＝CD DE＝×（5+3）×4＝16；
③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图，
∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，
∴四边形ADEQ是矩形，
∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4，
∵AE＝AC＝5，
∴EQ＝CQ＝CE，
∴CE＝3，
∴CE＝6，
∴S△CDE＝AQ CE＝×4×6＝12；
④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC＝AE，AQ⊥EC，
∴EQ＝CQ，
∴NQ是△CDE的中位线，
∴ND＝NE＝DE＝2，CD＝2NQ，
∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，
∴∠DAN＝∠QEN，
∴tan∠DAN＝tan∠QEN，
∴＝，
∴＝，
∴NQ＝EQ，
∵NQ2+EQ2＝NE2，
∴（EQ）2+EQ2＝22，
解得EQ＝，
∴CE＝2EQ＝，NQ＝EQ＝，
∴CD＝2NQ＝，
∴S△CDE＝CD CE＝××＝．
综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或．
【点评】本题考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
4. （2024 贵州）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 　90　度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON＝2PA；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值．
【分析】（1）依题意画出图形，证四边形OAPC是矩形即可求解；
（2）过P作PC⊥OB于点C，证矩形OAPC是正方形，得出OA＝AP＝PC＝OC，再证△APM≌△CPN（ASA），得出AM＝CN，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分M在线段AO上和AO的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°，
故答案为：90．
（2）证明：如图，过P作PC⊥OB于点C．
由（!）知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∠MAP＝∠CNP＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN（ASA），
∴AM＝CN，
∴OM+ON＝OM+AC+CN＝OM+AM+OC＝OA+OC＝2AP，
∴OM+ON＝2PA．
（3）①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知OM+ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO﹣OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG（ASA），
∴AG＝ON＝3x，
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴＝，
∴，
∴；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO，
∵PN⊥PM，
∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON﹣OM＝OC+CN﹣OM＝AO+AM﹣OM＝2AO，
∵ON＝3OM＝x，
∴AO＝x，CN＝AM＝2x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴，即，
∴CG＝，
∵PC∥AO，
∴△OMF∽△PGF，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝；
综上，的值为或．
【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
5. （2024 绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 　2+或2﹣　（结果保留根号）．
【分析】（1）证明△AFH∽△BGF，可得AH BG＝AF BF，求出，可得，故，＝2，从而y与x的函数关系式为；
（2）求出CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，可得＝＝＝，将xy＝2代入得＝，而1＜x＜2，1＜y＜2，知x+y＞2，故GH＝x+y﹣2，可得△CHG 的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；
（3）分两种情况：①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，求出∠AHF＝75°，可得∠NMH＝30°，设NH＝k，则MH＝MF＝2k，从而FN＝MF+MN＝（2+）k，；②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，同理可得GN＝GM+MN＝（2+）k，．
【解答】解：（1）如图：
∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且 AC＝BC＝DF＝DE＝2cm，
∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，
∴∠AFH+∠BFG＝∠BFG+∠FGB＝135°，
∴∠AFH＝∠FGB，
∴△AFH∽△BGF，
∴，
∴AH BG＝AF BF，
在 Rt△ACB 中，AC＝BC＝2，
∴，
∵O是AB的中点，点O与点F重合，
∴，
∴，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
（2）△CGH的周长定值为2，理由如下：
∵AC＝BC＝2，AH＝x，BG＝y，
∴CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，
在Rt△HCG 中，
∴＝＝＝，
将（1）中xy＝2代入得：＝，
∵1＜x＜2，y＝，
∴1＜y＜2，
∴x+y＞2，
∴GH＝x+y﹣2，
∴△CHG 的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；
（3）①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，如图：
∵∠AFE＝60°，∠A＝45°，
∴∠AHF＝75°，
∴FM＝MH，
∵∠FNH＝90°，
∴∠NFH＝15°，
∵FM＝MH，
∴∠NFH＝∠MHF＝15°，
∴∠NMH＝30°，
在 Rt△MNH中，设NH＝k，
∴MH＝MF＝2k，
∴MN＝＝k，
∴FN＝MF+MN＝（2+）k，
在Rt△FNH中，
；
②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，
∴∠FGB＝∠AFE﹣∠B＝15°，
∵GM＝MF，
∴∠FGB＝∠GFM＝15°，
∴∠FMB＝30°，
在 Rt△FNM中，设FN＝k，
∴GM＝MF＝2k，
由勾股定理得MN＝＝k，
∴GN＝GM+MN＝（2+）k，
在 Rt△FNG 中，
，
综上所述，tan 或 ，
故答案为：2+或2﹣．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
6. （2024 江西）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，＝m．
特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　AD⊥BE　，数量关系是 　AD＝BE　．
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
【分析】（1）由＝1，得到CE＝CD，CB＝CA，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，根据垂直的定义得到AD⊥BE；
（2）根据相似三角形的判定定理得到△ADC∽△BEC，求得＝m，∠CBE＝∠A，得到BE＝mAD，根据垂直的定义得到AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，求得AB＝6，得到BD＝6﹣x，根据勾股定理得到DE2＝BD2+BE2＝（6﹣x）2+x2，根据线段垂直平分线的性质得到CE＝EF，CD＝DF，推出四边形CDFE是正方形，根据正方形的面积公式即可得到y＝DE2＝[（6﹣x）2+x2]，根据二次函数的性质即可得到结论；
②过D作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形 到现在得到AH＝DH＝AD＝x，求得CH＝6﹣x，连接OB，推出OB＝，得到∠CBF＝90°，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由：∵＝1，
∴CE＝CD，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
故答案为：AD⊥BE，AD＝BE；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BAE，
∵＝m，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝m，∠CBE＝∠A，
∴BE＝mAD，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，
由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
∴BD＝6﹣x，
∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2＝（6﹣x）2+x2，
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE＝EF，CD＝DF，
∵CD＝CE，
∴CD＝DF＝EF＝CE，
∵∠DCE＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，
∴y＝DE2＝[（6﹣x）2+x2]，
∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣6+36（0＜x≤6），
∵y＝x2﹣6+36＝（x﹣3）2+18，
∴y的最小值为18；
②过D作DH⊥AC于H，
则△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝AD＝x，
∴CH＝6﹣x，
连接OB，
∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF，
∴OB＝，
∴∠CBF＝90°，
∵BC＝6，BF＝2，
∴CF＝＝2
∴CD＝CF＝2，
∵CH2+DH2＝CD2，
∴（6﹣x）2+（x）2＝（2）2，
解得x＝4或x＝2，
∴AD＝4或2．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
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难题突破专题八　类比、拓展探究问题
类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．
例题1：模型探究问题
（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
例题2：作图探究问题：
（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
例题3：剪切拼接问题
（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
例4：旋转变化问题探究
（2024 牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝　 　．
专 题 训 练
1. （2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
2. （2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（____①____）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②________
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③________ ④________
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
3. （2024 成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
4. （2024 贵州）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 　90　度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON＝2PA；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值．
5. （2024 绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 　2+或2﹣　（结果保留根号）．
6. （2024 江西）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，＝m．
特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　AD⊥BE　，数量关系是 　AD＝BE　．
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
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