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26.1.2 反比例函数的图像和性质复习题
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】
1.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于轴成轴对称 D．当时，
2.对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ）
A．图像位于第二，四象限
B．图像关于y轴对称
C．当时，y随x的增大而增大
D．若点在图像上，则点也一定在图像上
3.已知反比例函数表达式为，则下列说法正确的是（　　）
A．函数图象位于第一、三象限 B．点在该函数图象
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
4.关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个．
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】
1.已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2.已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第 象限．
3.反比例函数的图像过点与点，若、同号，则此图像在第 象限，用含、的式子表示 ．
4.已知五个函数①，②，③，④，⑤，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，随的增大而增大，则同时满足这两个条件的函数是 （只填序号）．
【题型3 判断反比例函数的增减性】
1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　）
A． B． C． D．
2.反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
3.若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”）
4.已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是 ．
【题型4 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】
1.已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ．
2.已知反比例函数（），点，都在反比例函数的图象上，当时，，则该反比例函数的表达式可以为 ．
3.已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
4.已知反比例函数，当时，的最大值与最小值之差是4，则 ．
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】
1.若反比例函数的图像经过第二、四象限，则 ．
2.若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ．
3.若反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是
4.已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ．
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】
1.已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2.若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ）
A．x13.若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ．
4.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ．
【题型7 反比例函数中的几何变换问题】
1.阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的空格．
问题：将函数的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
(2)灵活应用
如图，已知反比例函数的图像C与正比例函数的图像l相交于点和点B．将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和．已知图像经过点．
①求出平移后的图像对应的函数表达式；
②直接写出不等式解集．
2.如图，在平面直角坐标系 中，的直角边在轴上，．点的坐标为，点的坐标为，是边的中点，函数 的图象经过点．
（1）求的值；
（2）将绕某个点旋转后得到（点 ，， 的对应点分别为点，，），且 在轴上，点在函数的图象上，求直线的表达式．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，．
(1)求的值；
(2)点在线段上（不与端点重合），若，求的面积；
(3)将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值．
4.如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)如图1，当点A坐标为时，
①求直线的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值．
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】
1.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（　　）
A．①或④ B．②或③
C．①或③ D．②或④
3.定义新运算：例如 ，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4.变量y与x、变量z与y之间的函数关系分别如图①，②所示，则表示变量z与x之间的函数关系的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】
1.如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)直接写出当时，关于x的不等式的解集．
2.如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D．
(1)若点，点．
①一次函数解析式是 ；
②直接写出线段的长，你有什么发现？
(2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由．
(3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题：
如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点．

(1)求，的值；
(2) 已知点是直线上位于第三象限的点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，．反比例函数的函数图象经过点，点是反比例函数上一动点，直线的解析式为：．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果把四边形的面积分成两部分，直接写出直线的解析式；
(3)对于一次函数，当随的增大而增大时，直接写出点的横坐标的取值范围．
【题型10 反比例函数的实际应用】
1.小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？
2.某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）

A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
3.如图1，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下相关数据：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10

(1)根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用反比例函数近似地表示与的函数关系．请直接写与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？
4.研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题：
(1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式；
(2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值．
参考答案
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】
1.D
【分析】根据反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，反比例函数图象上的点，横纵坐标之积=k进行解答．
【详解】A、必经过点（1，1），说法错误；
B、两个分支分布在第一、三象限，说法错误；
C、两个分支关于原点成中心对称，说法错误；
D、当时，，说法正确；
故选：D．
2.B
【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，对称性和图像过点问题，正确理解性质，是解题的关键．
【详解】反比例函数，
A. 图像位于第二，四象限，正确，不符合题意；
B. 图像关于原点对称，错误，符合题意；
C. 当时，y随x的增大而增大；正确，不符合题意；
D. 若点在图像上，则，故点也一定在图像上，正确，不符合题意；
故选B．
3.C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．,根据反比例函数的图象与性质判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴函数图象位于第二、四象限，A错误，故不符合要求；
当时，，
∴点不在该函数图象，B错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大, C正确，故符合要求；
当时，，D错误，故不符合要求；
故选：C．
4.
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．根据反比例函数的图像与性质逐一判断．
【详解】解：在反比例函数中，；图像不与坐标轴相交，
，
图像位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，；
正确的说法有个，
故答案为：．
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】
1.D
【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象是解题的关键．
由正比例函数不经过第三象限，可得，由一次函数经过点，可知一次函数经过第二、三、四象限，即，进而可判断反比例函数的图象位于第二、四象限．
【详解】解：∵正比例函数不经过第三象限，
∴，
又∵一次函数经过点，
∴一次函数经过第二、三、四象限，
∴，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，
故选：D．
2.一、三
【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键．
根据在第一或第三象限，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，在第一或第三象限，
∴反比例函数的图像位于第一、三象限，
故答案为：一、三．
3. 一、三
【分析】设反比例函数解析式为，可得>0，故反比例函数的图像在第一、三象限；由反比例函数的图像过点与点可得，于是.
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图像过点，
∴，
∵、同号，
∴，
∴反比例函数的图像在第一、三象限；
∵反比例函数的图像过点与点
∴，
∴.
故答案是：一、三；.
4.⑤
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键．画出相应的函数图象，根据一次函数图象和反比例函数图象的性质逐一判断即可．
【详解】解：依次画出这五个函数的图象，如图所示，
①
由图象可知，经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
②
由函数图象可知，第二象限没有它的图象，经过第一、三、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故②不符合题意；
③
由函数图象可知，经过第一、二、四象限，在每个象限内，随的增大而减小，故③不符合题意；
④
由函数图象可知，第二、第四象限内没有它的图象，经过第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故④不符合题意；
⑤
由函数图象可知，经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，故⑤符合题意；
综上所述，⑤符合题意；
故答案为：⑤．
【题型3 判断反比例函数的增减性】
1.A
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得．
【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意；
B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意；
C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意；
D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意；
故选：A．
2.减小
【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：反比例函数，，
反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小，
在第三象限，y随x增大而减小，
故答案为：减小．
3.减小
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数过第二象限，
∴，
∴，
∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小，
故答案为：减小．
4.
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，再根据反比例函数的性质，从而可以得到x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴该函数图象在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
∴当时，则，则，
当时，则，则
∴当时，，
故答案为：．
【题型4 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】
1.
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵，
∴异号，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
2.（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵当时，，
∴在每个象限内随的增大而增大，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，
∴，
∴该反比例函数的表达式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
3.D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．
【详解】解：∵，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
，
y1＞y2，
①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，
∵y1＞y2，
当在第一象限时，
∴，解得；
当在第三象限时，
∴，解得；
综上所述：或；
②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题的取值范围为或，
故选：D．
4.6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】
1.
【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，即，
∵函数图像经过第二、四象限，
∴，即，
∴．
故答案为．
2.
【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解．
【详解】解：反比例函数的图象不经过第一象限，
则经过二四象限，
∴．
解得：．
故答案为：．
3.m<0
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求解 ．
【详解】解：∵正比例函数y=7x中，7＞0，
∴正比例函数y=7x的图象过第一、三象限，
∵反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点，
∴反比例函数y=（m≠0）的图象过第二、四象限，
∴m＜0．
故答案为：m＜0．
4.2
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可．
【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：或，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
故答案为2．
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】
1.B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数增减性与k的关系进行解答即可．
【详解】解：，
反比例函数的图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，，
点在第一象限，点和点在第三象限，
，
，
．
故选：B．
2.C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题．
【详解】解：点、、都在反比例函数的图像上，
，，，
又反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，且，
，
∴x1故选：C．
3.
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质解题即可．
【详解】解：，
故反比例函数经过一、三象限，
所以每一象限y随x的增大而减小，
所以，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点A在第三象限，在第一象限，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【题型7 反比例函数中的几何变换问题】
1.（1）解：设变换后新的函数图像上任意点的坐标为，
将向右平移1个单位后，坐标为，
将代入得：，
∴平移后的图像对应的函数表达式为：．
故答案为：，；；
（2）解：①把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点关于原点对称，
∴点坐标为，
函数的图像和直线的图像向右平移个单位长度，得到的图像的解析式为，图像的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴图像的解析式为，的解析式为，
∴平移后的图像对应的函数表达式为：；
②由①得，函数的图像和直线同时向右平移2个单位长度，
∵平移之前，，
∴平移以后两个函数图像的解析式为：图像的解析式为，的解析式为；平移后的两个图像交点分别是，，直线与轴的交点为，
∵不等式，
又∵，
即：，
∴结合图像可知解集为：或，
∴不等式的解集为：或．
2.（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB=4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
∵函数的图像进过点M,
∴k=3×2=6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2．
∵点D在函数的图象上，
当x=2时，y=3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF=BC=4，
∴点F的坐标为（0，-1）．
设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，
得 解得 .
∴直线DF的表达式为y=2x-1．
3.（1）解：将代入直线得：，
解得：，
再将代入得：；
（2）解：由（1）得直线，双曲线，点坐标，
坐标，坐标，
过作于点，
，
为中点，
纵坐标为，
，
解的，（舍），
，
可得，，，
∴；
（3）解：将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点，
由直线可得直线解析式，
联立得：，
∴，
为中点，则，
设直线的解析式为：，
将及代入直线解析式可得：，
解得：，
∴直线解析式，
联立得，
解得：，
当时，将点沿直线翻折后的对应点会落在轴上，
．
4.（1）解：①∵在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，
则，
解得或，
∴，
，
如图，过P作分别交x轴、y轴于点M、N，过C作于Q，
设的距离为d，则，
解得，
∴的距离为，
∴，

∵，令，则，令，则，即
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移2个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
或；
（2）解：过点作于J，交于点，交于点，如图，

∴，
由题意可知直线的解析式为，
∴，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴I为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即I是的中点，
联立，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）．
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】
1.A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．
【详解】解：当时，∴反比例函数图象在一、三象限，函数的图象经过一、二、三象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
当时，∴反比例函数图象在二、四象限，函数的图象经过二、三、四象限，故C，D选项都不符合题意．
故选：A．
2.B
【分析】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当时，
一次函数经过一、三、四象限，
函数的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当时，
一次函数经过一、二、四象限，
函数的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
3.C
【分析】本题考查定义新运算，一次函数与反比例函数的图象，根据新运算的法则，列出关系式，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴当时，函数图象是过原点的向上的直线，当时，函数图象是过第三象限的双曲线；
故符合题意的是：C
4.A
【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质．由图①可得，由图②可得，所以，由可得答案．
【详解】解：设图①与的函数关系式为，
由图①得，解得，
，
设与之间的函数关系式为，
由图②得，
，
，
，
变量与之间的函数关系的图象可能是A．
故选：A．
【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】
1.（1）解：将代入，得，
∴反比例的解析式为；
把代入，
∴，
∴，
将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
（2）解：对于，
当时，
∴点D的坐标为，
∴点B的坐标为，，
∴的面积；
（3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
2.（1）解：①∵两点A、B是与的交点，
∴将点A代入，解得，再代入点，解得，
∴，
将两点A、B分别代入得：，解得，
故答案为：．
②由①知一次函数为，即，，
∴，，
j即．
（2）解：②中的结论是否仍然成立，理由如下：
把点，点代入一次函数中得：，解得：，
∴一次函数解析式为：；
当时，，
∴
当时，，
∴，
∴
∴，，
，仍然成立．
（3）解：∵四边形是矩形，点，，
∴，
如图2
延长交y轴于M，设直线得解析式为：，
则，解得：，
∴直线得解析式为：，
当时，，
∴，
∴的中点N的坐标为，
在②中对于任意两点，②中得结论都成立，
∴当反比例函数于矩形的对角线有交点N时，k有最大值，此时．
故答案为：4.5．
3.（1）解：∵函数的图象与直线交于点．
∴，
∴，
∴，
即k的值是3，m的值是．
（2）解：①；理由如下：
当时，又点是直线上，
∴，
把代入，得：
解得：，
∴，
∴，
把，代入得：，，，
∴．
②∵点是直线上位于第三象限的点，
∴，
∵过点P作平行于x轴的直线，交直线于点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，
∴，
当时，，
解得：或，
如图：，，

∴根据函数可知：当时，或．
4.（1）解：∵，，
∴轴，，
又∵四边形是平行四边形，，
∴，
又∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：①当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分，
由（1）可知中点坐标为，
设解析式为，
∴，
解得，
∴解析式为：，
②当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分，
线段的中点坐标为，
设解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：．
综上分析，直线的解析式为：或．
（3）解：如图，过作轴、轴的平行线，交双曲线于点，
，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，，
当点在之间的双曲线上时，直线，即直线，随的增大而增大，
∴点的横坐标的取值范围为 ．
【题型10 反比例函数的实际应用】
1.（1）解：设将、代入得
解得
水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即，
故，
当时，
解得：；
（3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，
到经历286分钟，，
当时，
答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．
2.B
【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间．
【详解】解：时，设线段的解析式为，
由于线段过点，则有，
解得：，
即线段解析式为；
当时，设，把点代入中，得，
即，
当时，，得；当时，，得；
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）；
故选：B．
3.（1）解：根据表格可得：，
∴与的函数关系式为：；
（2）解：当时，代入得，，
解得：，
当砝码质量为时，活动托盘与点的距离是；
（3）解：根据反比例函数的增减性，
，
在第一象限内，随的增大而减小，
故当活动托盘与点的距离不断减小时，即变小，此时变大，
应往托盘中添加砝码．
4.（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数．
设这个反比例函数表达式为，
∵图像经过点，
∴．
解得．
∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为；
当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为，
∵图像经过点和，
∴，
∴解得，
∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是；
综上所述，；
（2）解：∵，
∴，
当，即时，
∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，
∴，
解得：或（舍去）；
当，即时，
∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，
∴，
解得：（舍去）；
综上所述，．

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