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2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初三数学　试卷 　 　 2025.4
　　
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．下列运算中，计算正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后所得抛物线的表达式是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
3．已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，
如果点的坐标是，那么点的坐标是
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．下列调查中，最适宜采用普查方式的是
（A）对全国初中学生视力状况的调查；（B）对某科学通讯卫星上一种零部件的调查；
（C）对一批节能灯管使用寿命的调查；（D）对动画电影《哪咤2》的观影情况的调查．
5．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然
后再沿北偏西方向走了米到达目的地处（如图所示），那么、两地的距
离是
（A）米； （B）米；
（C）米； （D）米．
6．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距千米，返回时由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是
（A）千米/小时； （B）千米/小时； （C）千米/小时； （D）千米/小时．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．方程的根是___▲___．
8．函数的定义域是___▲___．
9．方程组的解是____▲____．
10．如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是▲．
11．若抛物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是▲．
12．如果抛物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐
标是▲．
13．已知三张外观完全相同的卡片正面分别标有数字、、，从反面朝上的三种卡片中随机抽出两张，那么这两张卡片上的数字恰好都小于的概率是__▲__．
14．如图，甲、乙两楼的楼间距为米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高▲米（结果保留根号）．
15．如图，正六边形中，，，那么_▲_（用含、的式
子表示）．
16．如图，梯形中，，，，，那么 的值是_▲_．
17．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是_▲__．
18．如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，
恰好落在对角线上，联结，如果与边相交，且，
那么的长是_▲_．
三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简，再求值：，其中．
20．（本题满分10分）
解不等式组：并在数轴上把解集表示出来．
21．（本题满分10分）
某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．
（1）根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量；
（2）求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整；
（3）该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表：
A型 B型 C型
进价（单位：元/个） 50 30 20
22．（本题满分10分）
“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直．
小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别联结、．那么四边形就是所求作的四边形．
（1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；
（2）如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）．
23．（本题满分12分）
如图，是正方形的对角线，点、分别在边、上，，延长到，且，联结、．
（1）求证：；
（2）延长交于点，联结，
求证：．
24．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离；
（3）设直线与轴交于点，已知点、在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，，求点、的坐标．
25．（本题满分14分）
如图，在□中， ，，，点是边上的动点，以点为圆心、为半径的圆交边于点．设．
（1）当点是边的中点时，求的值；
（2）已知点是线段的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作⊙．
① 当⊙与边有公共点时，求的取值范围；
② 如果⊙经过边的中点，求此时⊙与⊙的公共弦长．
（第5题图）
B
A
S
C
北
东
N
（第18题图）
B
A
C
D
（第16题图）
B
D
A
C
B
A
C
D
E
F
（第15题图）
（第17题图）
A
B
C
D
E
O
（第14题图）
B
D
A
C
甲
乙
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
（第21题图1）
销售量/个
40
20
60
80
0
100
120
A型
B型
C型
其它型
型号
60
90
30
各型号计算器销售量条形统计图
40℅
B型
A型
C型
其它型
20℅
各型号计算器销售量扇形统计图
（第21题图2）
（第22题图1）
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
N
（第22题图2）
（第23题图）
F
E
G
A
B
C
D
O
（第24题图）
A
B
C
x
y
（第25题图）
E
B
A
C
D
（备用图）
B
A
C
D
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徐汇区2024学年第二学期初三数学 本卷共4页 第 2 页2024学年第二学期徐汇区初三年级数学学科
期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．C； 3．A； 4．B； 5．D； 6．B．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．或； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．
三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19. 解：原式
当时， 原式．
20．解：由不等式①得 ；解得；
由不等式②得 ；解得；
所以，原不等式组的解集是．
图略．
21．解：（1）℅（个）；
（2）℅（个）；图略；
（3）； 即 ．
22．解：（1）小杰的作法正确．
∵，，
∴四边形是平行四边形；∴；
∵四边形是矩形，∴，，；
∴，；
∴四边形是平行四边形；∴；
设与交于点，又，∴；
∴．
∴四边形就是所求的四边形．
（2）问题：如图，点是菱形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四
边分别等于、、、，并且两条对角线相等．
解：作法1、过点作并截取；
2、分别联结、．
∴四边形就是所求作的四边形．
23．证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，；
∵，∴；∴；
又，∴；
又，∴；
∴；∴．
（2）由（1），∴；
又，
∴；
又，∴；
在和中，，，
∴∽；
∴；即；
又，∴．
24．解：（1）由题意，得，；∴、；
由题意，得，解得；
∴抛物线的表达式为．
（2）设与轴的交点为．可得；
∵点在轴上，以点、、、为顶点的四边形是矩形；
当点在直线的下方时，以点、、、为顶点的四边形不是矩形，不合题意；
当点在直线的上方时，由题意，可得；∴；
过点作于，过点作于．
由题意，得，∴，，；
在中，，∴；
在中，，；
∴； ∴点到直线 的距离是．
（3）过点作，并截取，作交轴于．
由题意，得点，∴，；∴；
易得；∴可得点；∴；
作线段的垂直平分线交直线于点，可知点的横坐标为；
又可得直线的表达式为：；
∴点的纵坐标为；∴点；
过点作交直线于．易得四边形是平行四边形；
∴，，又，∴；
过点作交线段的垂直平分线于．
可知；∴可得点．
25．解：（1）∵，∴；
∴；
过点作于点．∴；
∴；∴；∵点是的中点，；
又，∴； ∴，解得．
（2）① ⅰ） 当点与点重合时，点是的中点，此时⊙的半径为；
又点到的距离为，∴圆与直线相交；
又，∴圆与边必有公共点；
ⅱ） 当点与点不重合时，作于．可得；
∴；∴点在⊙内；又；
；∴点在⊙外；
∴圆与边必有公共点； ∴．
②∵四边形是平行四边形，∴；
过的中点作于．可得；∴点是边的中点；
∴在中，；由①；
又⊙经过边的中点，∴；
即，解得（负值舍去）；
∴点是边的中点；此时点与点重合；⊙和⊙的半径都是；
设⊙和⊙的交点分别为点、（点在左），
∵，,∴；
∴四边形是菱形；
又，∴；
设菱形对角线交于点，∴，，
在中，；
∴．即⊙与⊙的公共弦长．
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