资源简介

2024学年第二学期期中考试九年级数学试卷
考生注意：
1．本试卷共25题．
2．试卷满分150分．考试时间100分钟．
3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列实数中，无理数是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2. 下列运算正确的是（ ▲ ）
（A）3a2 -2a2 =1 ； （B）（a + 1）2 = a2 + 1； （C）（2a）3 = 6a3；（D）（a3）2 = a6 ．
3. “任意画一个三角形，它的内角和为360°”属于（ ▲ ）
（A）必然事件； （B）随机事件； （C）不可能事件； （D）以上都不是．
4. 如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形的中心角度数是（ ▲ ）
（A）10； （B）12； （C）18； （D）30．
5.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺 如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
6．如图1，已知△ABC，∠C=90°，，BC =12，M、N是BC边上的点，CM=BN，如果以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，且以MN为直径的圆与边AB有公共点，那么CM的值可以是（ ▲ ）
（A）1； （B）； （C）； （D）．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. -2的相反数是 ▲ .
8. 计算： = ▲ .
9. 因式分解：= ▲ .
10. 分式方程的解是 ▲ .
11. 如果是一元二次方程的解，那么 ▲ .
12. 从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是 ▲ .
13. 已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ▲ .（写出一个符合题意的k的值即可）
14．为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩
如表1所示.已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是 ▲ .
成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100
人数 1 1 4 5 6 5
15. 如图2，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为α（0< α < 90°），
那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ▲ .(结果用含α的三角比的代数式表示）
16. 如图3，点D是△ABC的重心，联结BD，如果，，那么 ▲ .
17．如图4，梯形ABCD中， AD∥BC，E、F分别是边BC、AD上的点，且， FG∥AC，交BC的延长线于点G，EF与AC交于点H，如果AC－AB = a，那么四边形CGFH与四边形ABEH周长的差是 ▲ .（结果用含a的代数式表示）
18．如图5，平行四边形ABCD，AB=2BC，对角线AC⊥BC，将△ABC绕点B旋转，使得点A落在直线CD上的点A' 处，那么S△A’BC:S△ABC的值是 ▲ .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）计算：．
20.（本题满分10分）解方程组：
21.（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）
在平面直角坐标系xOy中（如图6），反比例函数（k是常数，且k≠0）的图像经过点A（k -4，1-k）.
（1）求k的值；
（2）点B在该反比例函数图像上（点B与点A在不同的象限内），联结AB，与x轴交于点P，且BP =3AP，求∠BPO的正切值.
22.（本题满分10分）
【问题】如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是边AB上的点，联结CD，，求CD的长.
【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法：
解：如图8，以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy.
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F，
由DE平行x轴，可得，
，，，
同理可得，，于是点D坐标是，
.
【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题：
如图9，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，点D、E分别在边AC、BC上，CD = 3，CE = 4，联结DE，点M、N分别在线段AB、DE上，，联结MN，求MN的长.
23.（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）
如图10，已知平行四边形ABCD，E是BC延长线上一点，BD =DE，且.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果CE=2BC，求证：CD⊥DE .
24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题①满分4分，第(2)小题②满分4分）
在平面直角坐标系xOy中（如图11），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将该抛物线沿射线CB方向平移，点A、B的对应点分别是点A’、B’，且△A’BB’
的面积比△ABC的面积大3.
① 求新抛物线的对称轴方程；
② P是新抛物线上一点，如果∠PB’B＝∠ACB，求点P的坐标．
25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）
如图12，已知梯形ABCD，AD∥BC，，以点A为圆心、AB为半径画弧，与BC、CD分别交于点E、F，且∠BAF = 90°.
（1）如果设，，求AB的长；
（2）求的值；
（3）如果E是弧的中点，求的值.
2024学年第二学期期中考试九年级数学试卷 第6页 共6页2024学年第二学期期中考试九年级数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A； 2．D； 3．C； 4．D； 5．B； 6．C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．；8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．
三、解答题（本大题共8题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解：原式=
=．
（本题满分10分）
解：
方程可变形为
得
21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
解：（1）把代入，得，
，
所以，k的值为2.
（2）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、N，
由AM∥BN，可得，
由BP =3AP，，
，则，
于是，
所以，在Rt△BPN中，.
22．（本题满分10分）
解：如图，以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy,
过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，
由GN平行x轴，可得，
，，，
同理可得，，
于是点N坐标是，
同理可得，点M坐标是，
.
23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2，
∵，
∴，
∴△ABD∽△BDE，
∴∠3=∠4，
∵BD=BE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB = AD，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵，CE=2BC，BD=BE，设AB=BC=CD=AD=a，
∴CE=2a，，
∴，，
∴ ，
∴∠CDE=90°，
∴CD⊥DE .
24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分）
解：（1）由，可得C（0，-4），
又OB＝OC，则B（4，0），
把B（4，0），代入，得，
所以，抛物线的表达式是.
（2）由，
可得抛物线的对称轴方程是x = 1，A（-2，0），
由A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），
可得，则，
根据题意AB=A’B’=6，则A’B’边上的高是5，B’(a，5)，
由B（4，0），C（-2，-1），可得，
把B’(a，5)代入，则B’(9，5)，
由B（4，0），B’(9，5)，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则A’(3，5)，
所以，新抛物线的表达式是，对称轴方程是x=6.
（3）在位于直线A’B’上方的新抛物线的图像上取一点Q，使得∠1=∠2，
在Rt△BOC中，CO=BO，则∠3 =∠4 = 45°，
根据题意可得AB∥A’B’，AA’∥BB’，则∠4 =∠5= 45°，
于是∠2+∠3 =∠1+∠5，即∠PB’B＝∠ACB，
过点P作x轴的垂线，与A’B’、x轴分别交于点E、F，
于是Rt△B’EQ∽Rt△AOC，可得∠1 =∠2，
则tan∠2 =tan∠1=，
设P，
则，B’E=9-a，
在Rt△BOC中，，解得a=2，
所以，点P的坐标是．
25．（本题满分14分，第(1)小题①满分4分，第(1)小题②满分4分，第(2)小题满分6分）
解：（1）过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为点G、H，
过点F作FP⊥AD，交AD的延长线于点P，
∴AG∥DH，AG=DH，∠AGB = ∠P=90°，
∵AD∥BC，∴四边形AGHD是平行四边形，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AD=GH，∠GAD = 90°，
∵∠BAF = 90°，
∴∠1=∠2，∵AB =AF，
∴△ABG≌△APF，
∴BG =FP，
∵AD∥BC，∠C=45°，
∴∠PDF=∠C=45°，
在Rt△DPF中，DF=2，∴FP=DF·sin∠PDF =，
同理DH =，
在Rt△ABG中，.
（2）由（1）设AG=DH=AP=a，BG=FP=b，则AD=GH=a-b，BH=a，
在Rt△DHC中，DH=a，∠C =45°，
∴CH=DH·tan∠C=a，
∴BC=BH+CH=2a，
∵点A为圆心，AG⊥BC，
∴BE=2BG=2b，
∴CE=BC-BE=2a-2b，
∴.
（3）联结EF，延长PF交BC于点Q,
∵AD∥BC，FP⊥AD，∴FQ⊥BC，
∵E是弧的中点，∴BE=EF，
由（2）可设FQ=a-b，BE=EF=2b，
在Rt△FQC中，FQ=a-b，∠C =45°，
∴，，
同理，
∴，
∴EQ=BC-BE-CQ=2a-2b-(a-b)=a-b，
∴EQ=CQ，
∵FQ⊥BC，
∴EF=FC，
∴，
∴，
∴.2024 学年第二学期期中考试
九年级 数学 答题纸 请在黑色矩形边框内答题，超出矩形边框的一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
20．解： 22．解：
注 意 事 项 姓 名：
学 校：
1．答题前，考生务必在答题卡上使用 0.5毫米黑色墨水签
字笔或钢笔填写清楚自己的姓名、学校、准考证号，并贴好
考 号：
条形码。
2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．将选择题方框用 2B铅笔正确填涂为：▅ ；修改时用橡 图 9
皮擦净后，重填选择框。
4．使用 0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔书写非选择题。
5．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题
一、选择题（共 6题，每题 4分，满分 24分） 21．解：
1． （1）A B C D 2． A B C D 3． A B C D
4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D
二、填空题（共 12题，每题 4分，满分 48分）
7． 8． 9．
（2）
10． 11． 12．
13． 14． 15．
16． 17． 18．
图 6
三、解答题（本大题共 7题，满分 78分）
19．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出矩形边框的一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 不 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
23．证明：（1） 许25．解：（1）
折
叠
图 10
图 12
（2） （图 8）
请
在 （2）
黑
色
矩
形
边
框
内
答
题
24．解：（1） ，
超
出
黑
色
矩
形
边
（2） 框 （3）
① 的
答
题
一
律
无
效
图 11
②
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效

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