资源简介

2024 学年度学生学习能力诊断练习
初三数学评分参考建议
2025.4
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准
相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果解
答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部
分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位．
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
9
7．4a2 8．2 9． 10．-4≤x＜3
4
2 1 1
11． y 12． y (x 1)2 3 13． 14．a b
x 6 2
32 16
15． 3 16． 13 2 17．2 5 18． 2 或 2
25 9
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：原式=1 3 2 2 （ 2） 8
14 2 2
20．解：由②得， 3x y 2或3x y 2
将它们与 方程①分别组成方程组，得：
3x y 4, 3x y 4 ,

3x y 2； 3x y 2 .
x1 1,
1
x ,
分别解这两个方程组，得原方程组的解为 2 3
y1 1;
y2 3.
1
x1 1, x2 ,
∴原方程组的解为 3
y1 1;
y2 3.
（代入消元法参照给分）
21．解：联结 AD，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F
∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵点 D 为边 BC 的中点 ∴AD⊥BC
5 5
∵tanC=2，∴cosC ∴cos B
5 5
在 Rt△ABD 中， BD AB cos B 5
∵AB=AC ∴BC=2BD=10
1
在 Rt△FBD 中， BF BD cos B 5
∵D 为圆心且 DF⊥AB ∴BE=2BF= 2 5
22．解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 y kx b(k 0)
把（50,1.9）和（100,1.8）代入
1
1.9 50k b, k ,
得 解得 500
1.8 100k b
b 2.
1
∴y 与 x 的函数解析式为 y x 2
500
8 15 10 25 12 5 14 5
（2） 10（万元/吨）
15 25 5 5
答：样本中蓝莓蜜饯的平均销售价为 10 万元/吨．
（3）该工厂一年能恰好获得 780 万元的利润
设需要采购蓝莓的重量为 m 吨
1
10 m(1 50%) ( m 2)m m 780
500
整理得m2 1000m 390000 0
解得m 300,m 1300（舍） 1 2
∵工厂一年最多能生产 200 吨蓝莓蜜饯，即最多需要 400 吨蓝莓
∴300 吨符合题意
答：该工厂一年能恰好获得 780 万元的利润，需要采购蓝莓的重量为 300 吨．
23．证明：（1）在 Rt△BDC 中，∠EDC+∠BDE=90°，∠ECD+∠DBE=90°
∵∠EDC=∠ECD ∴∠BDE=∠DBE
∴ED=EB
∵∠EDC=∠ECD ∴ED=EC
∴EB=EC
又∵FH=CH ∴AB∥ED
∵AD∥BC
∴四边形 ABED 为平行四边形
又∵ED=EB
∴四边形 ABED 为菱形
（2）∵∠BDE =∠DFC ∠BDE=∠DBC
∴∠DFC=∠DBC
∵∠FGB=∠DFC+∠FDB =∠DBC+∠GCB,
∴∠FDB=∠GCB
∵四边形 ABED 为菱形 ∴∠FBD=∠GBC
∴△FBD∽△GBC
BF BD
∴ . 即BF BC BG BD
BG BC
∵FH =CH EC=EB ∴BF=2EH
∵EB=EC ∴BC=2BE
∴4EH BE BG BD
2
24．解：（1）由题可得 C（0，-3）
设直线 AC 的表达式为 y=kx+b(k≠0)
将 A（-1，0），C（0，-3）代入得
0 k b, k 3,
解得
3 b b 3
∴直线 AC 的表达式为 y=-3x-3
将 A（-1，0）代入 y=mx2+2nx-3，
得 0=m-2n-3，解得 m=2n+3
∴抛物线的表达式是 y=（2n+3）x2+2nx-3
n
∴抛物线的对称轴为直线 x .
2n 3
（2）把 x=-4 代入 y=-3x-3 得 y=9，
∴E（-4，9）
把 x=-4 代入 y=（2n+3）x2+2nx-3，得 y=24n+45，
∴D（-4，24n+45）
由题意可得 DE= 24n 45 9 12
解得 n=-1 或-2,
当 n=-1 时，m=1（舍）
当 n=-2 时，m=-1
∴抛物线的表达式为 y=-x2-4x-3.
（3）不能求点 P 的坐标.
n
∵对称轴为直线 x=1 ∴ x 1 ∴n 1
2n 3
∴抛物线的表达式为 y=x2-2x-3.
∵对称轴为直线 x=1，点 A（-1，0） ∴B（3，0）
过点 F 作 FM⊥y 轴于 M，过点 P 作 PN⊥MF 于 N，
NP 交 x 轴于 G，则 PG⊥x 轴．
设点 P（a, a 2-2a-3）
OE AO OE 1
∵OE∥PG ∴ ∴
a2PG AG 2a 3 a 1
∴OE a 3 ∴CE=a
∵MN=a ∴CE=MN
∵OB＝OC，可得 CM＝MF ∴EM＝FN
可得△EMF≌△FNP
∴EF＝FP
∵∠PFE=90° ∴△PEF 为等腰直角三角形
1 1
EF 2 PE2 ∴S△PEF=
2 4
PE
∵S△PEF =4AE2 ∴ PE2 16AE2 ∴ 4
AE
PE OG a
∵OE∥PG ∴ 即 4 ∴a=4
AE AO 1
∴OE=1 ∵OA=1 可得∠EAO=45°
又∠PEF=45°，可得 EF∥AB
∴点 F 在线段 CB 的延长线上，即点 F 不在线段 BC 上，
∴点 P 不存在即不能求点 P 的坐标.
3
25．解：（1）①联结 AC、BC、OC
∵OC=AO=OB ∴∠ACB =90°
∴∠ACE +∠ECB=90°
∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEA =90°，∠EBC+∠ECB=90°
∴∠ACE=∠EBC ∴△ACE∽△CBE
CE AE
∴ ∴CE2 AE BE
BE CE
②联结 OC、OM，过点 M 作 MN⊥AB 于点 N，过点 C 作 CF⊥MN 于点 F
∵CE2 AE BE，BE=1，CE=3
∴AE=9 ∴AB=10
在 Rt△OCE 中，OE OC2 CE2 4
∵点 M 为 CD 的中点 ∴OM⊥CD
在 △ 中， 2 5Rt OCM MO MC OC 2
2 2
可得△OMN≌△CFM，∴ON=MF ，MN=CF
设 ON=m，则 NE=CF=4-m
在 △ 中，CM 2 MF 2Rt CMF CF 2
5
即（ 2）2 m2 (4 m)2
2
1 7
解得m ，m （舍） 1 2
2 2
∴在 Rt△ MN 2CMF 中，sin MCF
CM 10
∴直线 2CD 与直线 AB 夹角的正弦为
10
（2）联结 OC、OM，过点 M 作 MN⊥AB 于 N，
①点 P 在点 Q 的左侧
∵AP：PQ：BQ＝7：4：9，
∴设 AP＝7k，PQ=4k，BQ=9k，则 AB＝20k， ∴OA=OB=OC =10k
∵PQ 为⊙M 的一条弦，且 MN⊥AB，
1
∴PN= PQ＝2k， ∴ON＝k，OQ＝k
2
由题意知，M 是 CD 的中点，且 CD 为⊙M 的直径，
1
∴CM＝PM= CD= 3 2 OM⊥CD；
2
在 Rt△OCM 中， OM2＝OC2﹣CM2=100k2﹣18，
在 Rt△OMN 中， MN2＝OM2﹣ON2＝99k2﹣18
在 Rt△PMN 中， MN2＝PM2﹣PN2＝18﹣4k2，
∴99k2﹣18=18﹣4k2，
6
∴ k 103 （负舍），
103
120
∴AB＝20k＝ 103 ．
103
②点 P 在点 Q 的右侧
2
同理可得 k＝ 39 ．
13
24
∴AB=12k= 39
13
120 24
综合①②，⊙O 的半径为 103 或 39
103 13
42024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习
数学 答题纸 2025.4
姓 名
学 校
班 级2024 学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习
数学 练习卷
（满分 150 分，时间 100 分钟） 2025.4
注意：
1．本练习卷含三个大题，共 25 题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题
纸的相应位置上】
1．下列根式中，最简二次根式是
A． 8 ； B． 6 ； C． 0.5； D． 3 3 ．
2．如果单项式2xn yz2的次数是 8，那么 n 的值是
A．2； B．3； C．4； D．5．
3．下列函数中，y 的值随 x 的增大而减小的是
1
A． y 2x 1； B． y 2x 1； C． y x2 ； D． y ．
x
4．小明对学校戏剧社 20 名成员进行年龄调查，结果如表 1 所示，其中有部分数据被墨迹遮
挡，那么关于这 20 名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是
A．平均数； B．众数； C．中位数； D．方差．
表 1 M
A F N
E
年龄（岁） 11 12 13 14 C 1 E
人数（名） 6 5 P Q
B D
图 1
5．已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件中，不．能．判定四
边形 ABCD 是矩形的是
A．AC=BD； B．OA=OB； C．∠DAC=∠BAC； D．∠ABC=∠BAD．
6．如图 1，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B，MN 与 PQ 之间的距离
为 48，sin∠MAB= ．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以任意长为
5
半径作弧交 1AB 于点 C，交 BQ 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于 CD 的长为半径
2
作弧，两弧在∠ABQ 内交于点 E；③作射线 BE 交 MN 于点 F．那么 AF 的长是
A．6； B．6.4； C．8； D．10．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．计算： ( 2a)2 = ▲ .
2x 2
8．计算： = ▲ ．
x 1 x 1
初三数学 本卷共 4 页 第 1 页
9．如果关于 x 的方程 x2 3x m 0有两个相等的实数根，那么 m 的值是 ▲ ．
x 3 0,
10．不等式组 的解集是 ▲ ．
2(x 2) x
11．已知反比例函数的图像经过点 A（2，m）和点 B（n，-1），如果点 A 与 B 关于原点对称，
那么该反比例函数的解析式是 ▲ ．
12．如果将抛物线 y (x 4)2 先向下平移 3 个单位，再向左平移 5 个单位，那么所得新抛物
线的表达式是 ▲ ．
13．某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学
生有 4 名，七年级学生有 6 名，八年级学生有 5 名，九年级学生有 3 名．如果随机选
取参加该小品表演的 1 位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是 ▲ ．
14．如图 2，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，点 E 是边 BC 的中点，联结 AE、BD 交
于点 F，设 AD a，DC ＝b ，那么用向量a、b 表示向量BF 是 ▲ ．
15．如图 3，由六块相同的含 30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的
正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为 2，那么小正六边形的边心距是 ▲ ．
A y
A D
O C
F
B C
E C B O A B x
图 2 E 图 3 图E 4 图 5
16．如图 4，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，如果以点 B 为圆心的⊙B 与以边 AC
为直径的⊙O 外切，那么⊙B 的半径长是 ▲ ．
17．如图 5，已知点 A（2，0）、B（6，0）和 C（4，2），平移△ABC 得到△A'B'C'，顶点 A、
1
B、C 分别与顶点 A'、B'、C' 对应．如果点 A'、B' 都在抛物线 y x2 上，那么点 C 到点
2
C' 的距离是 ▲ ． A
18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．
1
如图 6，在△ABC 中，AB=AC=3，cosB= ，点 M、N 分别在边 AC、
3
BC 上．如果四边形 ABNM 是“邻补四边形”，那么四边形 ABNM 的
面积是 ▲ ．
B C
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 图 6 E
19．（本题满分 10 分）
3
1
计算：（ 3.14）0 （3 2 2） 1 3 8 （ ） 2 ．
4
20．（本题满分 10 分）
3x y 4, ①
解方程组： 2
9x 6xy y
2 4. ②
初三数学 本卷共 4 页 第 2 页
21．（本题满分 10 分）
如图 7，在△ABC 中，AB=AC= 5 5 ，tanC=2，点 D 为边 BC 的中点，以 D 为圆心，以
DB 为半径作弧交边 AB 于点 E，求 BC 和 BE 的长．
C
D
A E B
图 7
22．（本题满分 10 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 4 分）
某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产 200 吨蓝莓蜜饯．
已知蓝莓的采购成本价 y（万元/吨）与蓝莓的采购量 x（吨）成一次函数关系，其中的几
组数据如表 2 所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为 1 万元，减重率为50%．蓝莓蜜饯销售
价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制
了条形统计图（如图 8）．
（1）求 y 与 x 的函数解析式（不写定义域）；
（2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价；
（3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得 780 万元的利润？如
果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由．
（备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，
原始重量 最终重量
其计算公式：减重率 100%）
原始重量
重量（吨）
30
25 25 表 2 20
15 x（吨） 50 100 150 200 15
10
5 5
y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 5
0 8 10 12 14
平均销售价
图 8 （万元/吨）
23．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
如图 9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，联结 BD，∠BDC=90°，点 E 在 BC 上，联结 DE，
使得∠EDC=∠ECD，点 F 在边 AB 上，联结 CF，分别交 BD、ED 于点 G、H，且 FH=CH，
联结 DF．
（1）求证：四边形 ABED 为菱形；
D
（2）如果∠BDE=∠DFC，求证：4EH BE BG BD ． A
F
G H
B E C
图 9
初三数学 本卷共 4 页 第 3 页
24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）
如图 10，已知抛物线 y mx2 2nx 3交 x 轴于点 A（-1，0）和点 B，交 y 轴于点 C．
（1）求直线 AC 的表达式，并用含 n 的代数式表示该抛物线的对称轴；
（2）已知直线 x 4 与抛物线交于点 D，与直线 AC 交于点 E，如果 m<0 且 DE=12，求
抛物线的表达式；
（3）已知抛物线的对称轴为直线 x=1，点 P 在抛物线上且位于第一象限，联结 AP、BC，
线段 AP 与 y 轴相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，联结 PF、EF，如果∠PFE=90°，且 S△PEF=4AE2，
试判断能否求点 P 的坐标，并说明理由． y
A O x
图 10
25．（本题满分 14 分，第（1）①小题 4 分，第（1）②小题 5 分，第（2）小题 5 分）
阅读材料：
我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条
定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三
角形”也是真命题．
C
如图 11，在△ABC 中，CD 为 AB 上的中线，如果
1
CD= AB，那么∠ACB=90°．也可以说，在△ABC 中，
2 A B
如果 D CD=AD=BD，那么∠ACB =90°．
图 11
根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）
如图 12，AB 为半圆 O 的直径，CD 是半圆 O 上的弦，以 CD 为直径作⊙M．
（1）如图 12①，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E．
①求证：CE2 AE BE；
②已知 BE=1，CE=3，如果⊙M 经过点 O（如图 12②），求直线 CD 与直线 AB 夹角的
正弦值；
（2）已知⊙M 与线段 AB 相交于点 P、Q，CD= 6 2 ，如果 AP：PQ：BQ=7：4：9，
求 AB 的长．
D D
D
M C M C M C
A
O B
A
O E B
A
O E B
图 12 图 12① 图 12②
初三数学 本卷共 4 页 第 4 页
初三数学 本卷共 4 页 第 4 页2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习
数学 练习卷
（满分150分，时间100分钟） 2025.4
注意：
1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列根式中，最简二次根式是
A．； B．； C．； D．．
2．如果单项式的次数是8，那么n的值是
A．2； B．3； C．4； D．5．
3．下列函数中，y的值随x的增大而减小的是
A．； B．； C．； D．．
4．小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表1所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是
A．平均数； B．众数； C．中位数； D．方差．
5．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是
A．AC=BD； B．OA=OB； C．∠DAC=∠BAC； D．∠ABC=∠BAD．
6．如图1，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN、PQ相交于点A、B，MN与PQ之间的距离为8，sin∠MAB=．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧交AB于点C，交BQ于点D；②分别以C、D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠ABQ内交于点E；③作射线BE交MN于点F．那么AF的长是
A．6； B．6.4； C．8； D．10．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．计算：= ▲ .
8．计算：= ▲ ．
9．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值是 ▲ ．
10．不等式组的解集是 ▲ ．
11．已知反比例函数的图像经过点A（2，m）和点B（n，-1），如果点A与B关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是 ▲ ．
12．如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ▲ ．
13．某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是 ▲ ．
14．如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是边BC的中点，联结AE、BD交于点F，设，＝，那么用向量、表示向量是 ▲ ．
15．如图3，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是 ▲ ．
16．如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，如果以点B为圆心的⊙B与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙B的半径长是 ▲ ．
17．如图5，已知点A（2，0）、B（6，0）和C（4，2），平移△ABC得到△A'B'C'，顶点A、B、C分别与顶点A'、B'、C' 对应．如果点A'、B' 都在抛物线上，那么点C到点C' 的距离是 ▲ ．
18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．
如图6，在△ABC中，AB=AC=3，cosB=，点M、N分别在边AC、
BC上．如果四边形ABNM是“邻补四边形”，那么四边形ABNM的
面积是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
解方程组：
21．（本题满分10分）
如图7，在△ABC中，AB=AC=，tanC=2，点D为边BC的中点，以D为圆心，以
DB为半径作弧交边AB于点E，求BC和BE的长．
22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）
某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯．
已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为．蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图8）．
（1）求y与x的函数解析式（不写定义域）；
（2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价；
（3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润？如
果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由．
（备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，联结BD，∠BDC=90°，点E在BC上，联结DE，使得∠EDC=∠ECD，点F在边AB上，联结CF，分别交BD、ED于点G、H，且FH=CH，联结DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）如果∠BDE=∠DFC，求证：．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图10，已知抛物线交x轴于点A（-1，0）和点B，交y轴于点C．
（1）求直线AC的表达式，并用含n的代数式表示该抛物线的对称轴；
（2）已知直线与抛物线交于点D，与直线AC交于点E，如果m<0且DE=12，求
抛物线的表达式；
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=1，点P在抛物线上且位于第一象限，联结AP、BC，
线段AP与y轴相交于点E，点F在线段BC上，联结PF、EF，如果∠PFE=90°，且S△PEF=4AE2，试判断能否求点P的坐标，并说明理由．
25．（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）
阅读材料：
我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条
定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题．
如图11，在△ABC中，CD为AB上的中线，如果
CD=AB，那么∠ACB=90°．也可以说，在△ABC中，
如果CD=AD=BD，那么∠ACB =90°．
根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）
如图12，AB为半圆O的直径，CD是半圆O上的弦，以CD为直径作⊙M．
（1）如图12①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
①求证：；
②已知BE=1，CE=3，如果⊙M经过点O（如图12②），求直线CD与直线AB夹角的
正弦值；
（2）已知⊙M与线段AB相交于点P、Q，CD=，如果AP：PQ：BQ=7：4：9，
求AB的长．
A
B
Q
C
E
D
N1
FE
图1
M
P
年龄（岁） 11 12 13 14
人数（名） 6 5
表1
图5
O
y
x
A
B
C
B
图4
A
O
CE
B
图2
A
D
E
F
CE
图3
B
图6
A
CE
①
②
图7
C
A
B
E
D
图8
平均销售价
（万元/吨）
8
10
12
14
重量（吨）
5
10
20
25
0
15
15
25
5
5
30
表2
x（吨） 50 100 150 200
y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6
图9
A
B
D
E
F
G
H
C
图10
O
y
x
A
图11
A
C
B
D
C
D
M
A
O
B
E
图12②
C
D
M
A
O
B
E
图12①
C
D
M
A
O
B
图12
初三数学　本卷共4页　第4页
PAGE
初三数学　本卷共4页　第4页2024学年度学生学习能力诊断练习
初三数学评分参考建议
2025.4
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． 8．2 9． 10．-4≤x＜3
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17． 18．或
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式=
20．解：由②得， 或
将它们与方程①分别组成方程组，得：
分别解这两个方程组，得原方程组的解为
∴原方程组的解为
（代入消元法参照给分）
21．解：联结AD，过点D作DF⊥AB，垂足为F
∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵点D为边BC的中点 ∴AD⊥BC
∵tanC=2，∴ ∴
在Rt△ABD中，
∵AB=AC ∴BC=2BD=10
在Rt△FBD中，
∵D为圆心且DF⊥AB ∴BE=2BF=
22．解：（1）设y与x的函数解析式为
把（50,1.9）和（100,1.8）代入
得 解得
∴y与x的函数解析式为
（2）（万元/吨）
答：样本中蓝莓蜜饯的平均销售价为10万元/吨．
（3）该工厂一年能恰好获得780万元的利润
设需要采购蓝莓的重量为m吨
整理得
解得（舍）
∵工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯，即最多需要400吨蓝莓
∴300吨符合题意
答：该工厂一年能恰好获得780万元的利润，需要采购蓝莓的重量为300吨．
23．证明：（1）在Rt△BDC中，∠EDC+∠BDE=90°，∠ECD+∠DBE=90°
∵∠EDC=∠ECD ∴∠BDE=∠DBE
∴ED=EB
∵∠EDC=∠ECD ∴ED=EC
∴EB=EC
又∵FH=CH ∴AB∥ED
∵AD∥BC
∴四边形ABED为平行四边形
又∵ED=EB
∴四边形ABED为菱形
（2）∵∠BDE =∠DFC ∠BDE=∠DBC
∴∠DFC=∠DBC
∵∠FGB=∠DFC+∠FDB =∠DBC+∠GCB,
∴∠FDB=∠GCB
∵四边形ABED为菱形 ∴∠FBD=∠GBC
∴△FBD∽△GBC
∴. 即
∵FH =CH EC=EB ∴BF=2EH
∵EB=EC ∴BC=2BE
∴
24．解：（1）由题可得C（0，-3）
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)
将A（-1，0），C（0，-3）代入得
解得
∴直线AC的表达式为y=-3x-3
将A（-1，0）代入y=mx2+2nx-3，
得0=m-2n-3，解得m=2n+3
∴抛物线的表达式是y=（2n+3）x2+2nx-3
∴抛物线的对称轴为直线.
（2）把x=-4代入y=-3x-3得y=9，
∴E（-4，9）
把x=-4代入y=（2n+3）x2+2nx-3，得y=24n+45，
∴D（-4，24n+45）
由题意可得DE=
解得n=-1或-2,
当n=-1时，m=1（舍）
当n=-2时，m=-1
∴抛物线的表达式为y=-x2-4x-3.
（3）不能求点P的坐标.
∵对称轴为直线x=1 ∴ ∴
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
∵对称轴为直线x=1，点A（-1，0） ∴B（3，0）
过点F作FM⊥y轴于M，过点P作PN⊥MF于N，
NP交x轴于G，则PG⊥x轴．
设点P（a, a 2-2a-3）
∵OE∥PG ∴ ∴
∴ ∴CE=a
∵MN=a ∴CE=MN
∵OB＝OC，可得CM＝MF ∴EM＝FN
可得△EMF≌△FNP
∴EF＝FP
∵∠PFE=90° ∴△PEF为等腰直角三角形
∴S△PEF=
∵S△PEF =4AE2 ∴ ∴
∵OE∥PG ∴即 ∴a=4
∴OE=1 ∵OA=1 可得∠EAO=45°
又∠PEF=45°，可得EF∥AB
∴点F在线段CB的延长线上，即点F不在线段BC上，
∴点P不存在即不能求点P的坐标.
25．解：（1）①联结AC、BC、OC
∵OC=AO=OB ∴∠ACB =90°
∴∠ACE +∠ECB=90°
∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEA =90°，∠EBC+∠ECB=90°
∴∠ACE=∠EBC ∴△ACE∽△CBE
∴ ∴
②联结OC、OM，过点M作MN⊥AB于点N，过点C作CF⊥MN于点F
∵，BE=1，CE=3
∴AE=9 ∴AB=10
在Rt△OCE中，
∵点M为CD的中点 ∴OM⊥CD
在Rt△OCM中，
可得△OMN≌△CFM，∴ON=MF ，MN=CF
设ON=m，则NE=CF=4-m
在Rt△CMF中，
即
解得，（舍）
∴在Rt△CMF中，
∴直线CD与直线AB夹角的正弦为
（2）联结OC、OM，过点M作MN⊥AB于N，
①点P在点Q的左侧
∵AP：PQ：BQ＝7：4：9，
∴设AP＝7k，PQ=4k，BQ=9k，则AB＝20k， ∴OA=OB=OC10k
∵PQ为⊙M的一条弦，且MN⊥AB，
∴PNPQ＝2k， ∴ON＝k，OQ＝k
由题意知，M是CD的中点，且CD为⊙M的直径，
∴CM＝PMCD OM⊥CD；
在Rt△OCM中， OM2＝OC2﹣CM2=100k2﹣18，
在Rt△OMN中， MN2＝OM2﹣ON2＝99k2﹣18
在Rt△PMN中， MN2＝PM2﹣PN2＝18﹣4k2，
∴99k2﹣18=18﹣4k2，
∴（负舍），
∴AB＝20k＝．
②点P在点Q的右侧
同理可得k＝．
∴AB=12k=
综合①②，⊙O的半径为或
4请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2024 学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习 20．解： 22．解：（1）
数学 答题纸 2025.4
姓 名
条形码纸粘贴区
学 校
（2）
班 级
正确填涂 1.答题前，请先将自己的姓名、学校、班级填写清楚，并认真
填 注 核准条形码上的准考证号、姓名及科目。 ▅
涂 意 2.选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色错误填涂
字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
样 事 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 （3）
例 项 书写的答案无效；在草稿纸、练习卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、 选择题
1. 2. 3.
4. 5. 6.
21．解：
二、 填空题
23．证明：（1）
7． 8． 9．
10． 11． 12．
13． 14． 15．
16． 17． 18．
（2）
三、 解答题
19．解：
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
24．解：（1） 25．解：（1）①
（2） ②
（3）
（2）
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

展开更多......

收起↑