资源简介

2024 学年第二学期初三年级学业质量调研
数学试卷
（测试时间：100 分钟，满分：150 分）
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上
作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证
明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．3 倒数的是（ ▲ ）
1 1
（A）3； （B）－3； （C） ； （D）－ ．
3 3
2．下列计算正确的是（ ▲ ）
（A） a + a2 = a3； （B） a2 + b2 = (a + b)2 ；
（C） (2a2 )3 = 8a5； （D） (ab)2 = a2b2．
3．下列函数中，函数值 y 随 x 的增大而减小的是（ ▲ ）
3
（A） y = ； （B）y =－x+1； （C）y = x2； （D）y = 3x．
x
4．某校足球社团共有 30 名成员，他们的年龄在 12 岁至 16 岁之间，在统计全体社团成
员的年龄时，14 岁和 15 岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，
关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ▲ ）
年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16
人数（单位：名） 7 11 2
（A）平均数和中位数； （B）平均数和方差；
（C）众数和中位数； （D）众数和方差．
5．正多边形的一个外角的大小 y（度）随着它的边数 n 的变化而变化，下列说法正确的
是（ ▲ ）
（A）y 与 n 之间是正比例函数关系； （B）y 与 n 之间是反比例函数关系；
（C）y 与 n 之间是一次函数关系； （D）y 与 n 之间是二次函数关系．
6．如图，在等边三角形 ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，联结 BE、CD 交于 O，联
A
结 AO 交 DE 于点 G．有下列两个命题：
①如果 DE∥BC，那么 G 为 DE 中点； G
D E
②如果 AO⊥DE，那么 DE∥BC．
O
对于这两个命题判断正确的是（ ▲ ） B C
（第 6 题图）
第 1 页 共 5 页
（A）①②都是真命题； （B）①是真命题，②是假命题；
（C）①是假命题，②是真命题； （D）①②都是假命题．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
1
7．计算： 42 = ▲ ．
8．因式分解：ab2－4a = ▲ ．
9．根据电影发行方的数据，截至 2025 年 2 月 18 日 12 时电影《哪吒 2》以 120.9 亿
的票房高居春节档票房冠军，数据 120.9 亿元用科学记数法表示为 ▲ 元．
x
10．函数 y = 的定义域是 ▲ ．
x + 2
11．方程 12 + x = －x 的解是 ▲ ．
12．已知关于 x 的方程 x2－3x－m=0 有两个相等的实数根，那么m 的值是 ▲ ．
13．已知在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，AD=2，BC=5，那么梯
形 ABCD 的周长为 ▲ ．
14．为了了解学生每周在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图
所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有 1500 名学
生，估计该校平均每周做家务的时间不少于 2 小时的学生约有 ▲ 名．
15．已知：如图，在□ABCD 中，E 是边 AB 的中点，DE 与对角线 AC 相交于点 F．如
果 AB a ， AD b ，那么 EF = ▲ ．（用含 a 、b 的式子表示）．
16．一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共 8 个，其中红色小球 3
个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为 50%，只需往布袋里加入 ▲
个红球．
17. 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 8，它的外接圆⊙O 半径为 5，那么圆心 O 到
腰 AB 的距离为 ▲ ．
18．如图，在△ABC 中，AB=BC，点 M 是 AC 的中点，将线段 AM 绕点 M 逆时针旋转，
点 A 落在边 CB 延长线上的点 D 处，联结 MD，与边 AB 交于点 E，AE=3，DE=2，
那么 AC 的长为 ▲ ．
每周做家务时间的频数分布直方图
人数（人）
20
20
16
16
A
D C
12 10 M
8
4
4 F
C
0 B 1 2 3 4 小时 A B E
（第 14 题图） （第 15 题图） （第 18 题图）
第 2 页 共 5 页
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
1 x2 1
先化简: （1 ) ，再求当 x 2 时此代数式的值．
x 2 x2 4x 4
20．（本题满分 10 分）
2x 3 4(x 2)，
①
解不等式组 2x 1 x 2
2≤ ； ②
3 2
21．（本题共 2 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，满分 10 分）
如图，在△ABC 中，BE 为中线，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BE，分别交 BE、BC 于
3
点 H、D，EF⊥BE，交 BC 于点 F，AB=5，tan∠ABE= ．
4
（1）求 BE 的长； A
（2）求 tan∠EBC 的值．
E
H
B C D F
（第 21 题图）
22．（本题共 2 小题，第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，满分 10 分）
一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图像与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为
了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型Ⅰ：一条直线 y=kx+b（k、b 都不为 0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型Ⅱ：两条直线 l1：y1=k1x+b1和 l2：y2=k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2，且都不为零）与
坐标轴所围成的三角形的面积、直线 l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线 l2与两
条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解
决；而第二类的问题需要根据两个函数 k 和 b 符号的不同情况，分别进行研究，才能得
出相应的结论．
（1）如图 1，请你帮助小组求出△ABO 的面积 S（用含 k 和 b 的式子表示）．
第 3 页 共 5 页
（2）将直线 l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为 S1，直线 l2与两条坐标轴所围成
的三角形面积记为 S2，直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形面积记为 Sx，它们和 y 轴所围
成的三角形面积记为 Sy．
ⅰ）在图 2 中已经画出了直线 l1和 l2 大致图像的一种情况，那么关于这两个一次函数的
k 和 b 符号选项正确的是 ▲ ．
（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0； （B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；
（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0； （D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．
此时 S1、S2、Sx和 Sy之间的关系式是 ▲ ．
ⅱ）如图 3，保持直线 l1不变，改变直线 l2中 k2和 b2的符号（不考虑 k2 和 b2 的大小），
请在图中画出直线 l2的大致图像，此时 S1、S2、Sx和 Sy之间的关系式是 ▲ ．
y
l2 y y l1 l1
B
A O x O x
O x
（第 22 题图 1） （第 22 题图 2） （第 22 题图 3）
23．（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分）
已知，如图：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O ，点 E 是边 BC
延长线上一点，联结 AE，交 BD 于点 F，交 CD 于点 G．
（1）求证： AF 2 = FG FE；
（2）联结 CF，如果∠DAE=∠FCD，求证：四边形 ABCD 是菱形．
A D
F
G
O
B
C E
（第 23 题图）
第 4 页 共 5 页
y
1
-1 O 1 x
-1
24．（本题共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）
2
定义：如果一条抛物线 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标满足条件（t， at ），那么
称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线 y 2x2 4x 4 的顶点坐标为（1，2），
此时由于 t=1，a=2，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
（1）如果抛物线 C1：y=x2+4x+m 是“优雅”抛物线，求 m 的值．
（2）如图，把（1）中的抛物线 C1向下平移得到抛物线 C2，抛物线 C2与 y 轴负半轴交
于点 B，顶点为点 C，对称轴与 x 轴交于点 A．
①点 E 在 CB 延长线上，点 D 是 x 轴上一点，且四边形 ABDE 是矩形，求点 E 的坐
标．
②如果抛物线 C3：y=2x2+px+q 为“优雅”抛物线，它的顶点 G 在 x 轴上，抛物线
C2 与 C3交于点 M，且 AM∥BC ，求抛物线 C2的解析式．
y
A
O x
B
C
（第 24 题图）
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 5 分）
如图，在⊙O 中，直径 AB 长为4 5 ，弦 BC 的长为 8，点 D 是 BC 上一点，过点
D 作 OD 的垂线交直线 AB 于点 E．
（1）求∠CBO 的正切值．
（2）当△BOD 与△BDE 相似时，求 BD 的长．
（3）以点 E 为圆心，ED 长为半径画⊙E，试根据线段 BD 的长度情况探究⊙E 和⊙O
的位置关系．
C D C
E A O B A O B
（第 25 题图） （第 2 5 题备用图）
第 5 页 共 5 页2024 学年第二学期九年级质量调研数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．C； 2．D； 3．B； 4．C； 5．B； 6．A．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
9
7．2； 8．a（b+2）（b－2）； 9．1.209×1010； 10．x≠－2； 11．x=－3； 12．m=－ ；
4
1 1
13．7+ 3 3 ； 14．780； 15． b － a ； 16．2； 17．2 5 或 5 ； 18． 19 + 3．
3 6
三、解答题（本大题共 8 题，满分 78 分）
19.（本题满分 10 分）
x 1 (x 1)(x 1)
解：原式= ……………………………………………（2 分）
x 2 (x 2)2
(x 1) (x 2)2
= ……………………………………………（1 分）
x 2 (x 1)(x 1)
x 2
= …………………………………………………………（2 分）
x 1
2 2
当 x 2 时，原式= …………………………………………………（1 分）
2 1
( 2 2) ( 2 1)
= …………………………………（2 分）
( 2 1) ( 2 1)
=3 2 4 …………………………………………（2 分）
20.（本题满分 10 分）
11
解：由①得： x ， ………………………………………………………（4 分）
2
由②得： x≤8， ………………………………………………………（4 分）
11
∴原不等式组的解集是 x . ……………………………………………（2 分）
2
21. （本题共 2 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，满分 10 分）
解：（1）∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAH=∠EAH.
∵AD⊥BE， ∴∠AHB=∠AHE=90°.
在△ABH 和△AEH 中，
BAH EAH

AH AH

AHB AHE
∴△ABH≌△AEH. …………………………………………………（1 分）
∴BH=EH.
3 4
∵ Rt△ABH中，tan ABE ,∴ cos ABE .
4 5
4
∴ BH AB cos ABE 5 4. …………………………………（2 分）
5
∴EH=4.
∴BE=4+4=8. ………………………………………………………（1 分）
（2）设 BH x.
∵ EF BE, AH BE，∴ FEB 90 , DHB 90 .
∴ FEB DHB.
∴ DH∥EF. ………………………………………………（1 分）
DH BH 1
∴ .………………………………………………（1 分）
EF BE 2
∴ EF 2DH 2x.
EF CE
同理： AD∥EF.∴ . ………………………………（1 分）
AD AC
∵BE 为中线，∴ AC 2CE.
EF 1 2x 1
∴ .∴ .………………………………………（1 分）
AD 2 3 x 2
∴ x 1.∴ DH 1. …………………………………………（1 分）
DH 1
∴在 Rt△BDH中， BDH 90 , tan EBC .………（1 分）
BH 4
1
∴ tan EBC的值是 .（其他方法酌情给分）
4
22. （本题共 2 小题，第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，满分 10 分）
解：（1）设 x=0，y=b，点 B 的坐标为（0，b），∴OB=b.…………………（1 分）
b b b
设 y=0，x=－ ，点 A 的坐标为（－ ，0），∴OA= .……………（1 分）
k k k
1 b2
∴S= OA OB = ．……………………………………………………（1 分）
2 2k
（2）ⅰ）D．………………………………………………………………（2 分）
Sx－S1=S2－Sy．…………………………………………………（2 分）
ⅱ)画图略．…………………………………………………………（1 分）
Sx－S1=Sy－S2．…………………………………………………（2 分）
23.（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分）
（1）证明：∵平行四边形 ABCD，
∴ AB∥CD，AD∥BC.………………………………………（1 分）
AF BF FE BF
∴ , .……………………………………（2 分）
FG FD AF FD
AF FE
∴ . ………………………………………（1 分）
FG AF
∴ AF 2 FG FE. ………………………………………（1 分）
（2）证明：∵ AD∥BC ，
∴ DAE E.
∵ DAE FCD ,
∴ FCD E . ………………………………………（1 分）
∵ CFG CFE ,
∴△FCG∽△FEC. ………………………………………（1 分）
FC FG
∴ .
FE FC
∴ FC 2 FG FE. ………………………………………（1 分）
∵ AF 2 FG FE ,
∴ AF 2 FC 2 .
∴ AF FC . ………………………………………（2 分）
∵平行四边形 ABCD，
∴ AO CO .
∴OF AC，即：BD AC .……………………………（1 分）
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形. ………………………………（1 分）
（其他方法酌情给分）
24.（本题共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）
b
解：（1）抛物线顶点的横坐标是－ =－2…………………………………………（1 分）
2a
∵抛物线是“优雅”抛物线，且 a=1，………………………………………（2 分）
∴顶点的纵坐标是 4．
将（－2，4）代入抛物线得：m=8．………………………………………（1 分）
（2）①设C 22 : y x 4x c ，
∵四边形 ABDE 为矩形，
∴ AD BE.
设点 P 为对角线 AD、BE 交点，
∵AD 在 x轴上，
1 1
∴点 P 在 x轴上，且 AP AD,BP BE.
2 2
∴ AP BP .………………………………………………………………（1 分）
∵ A( 2,0)、B(0,c)、顶点C（ 2,c 4).
∴直线 BC : y 2x c ………………………………………（1 分）
c
∴ P( ,0) .
2
2 c c∴ AP (2 )2 , BP2 ( )2 c2. .
2 2
c
∴ (2 )2
c
( )2 c2
2 2
∴ c2 2c 4 0，解得 c 1 5 （正舍）……………………………………（1 分）
1 5
∴ B(0, 1 5)、P( ,0) .
2
∵点 P 为对角线 AD、BE 交点，
∴点 P 为 BE 的中点，由对称性可得 E(1 5,1 5）.……………………………（1 分）
p P
②抛物线C 的对称轴是直线 x ，则顶点G( ,0) 3
4 4
p
∵C3 : y 2(x )
2 为“优雅”抛物线，
4
p
∴ 2 ( )2 0，解得 p 0.
4
∴C : y 2x2 .…………………………………………………………………………（1 分） 3
∵直线 BC : y 2x c 且 AM∥BC ，
∴ k AM kBC 2.
∵直线 AM 经过点 A( 2,0) ，
∴直线 AM：y 2x 4. ………………………………………………………………（1 分）
y 2x 4 x1 2 x2 1∴ ，解得： , .
y 2x2

y1 8 y2 2
∴M (2,8)或M ( 1,2). ………………………………………………………………（1 分）
∵点M在C2 : y x
2 4x c上，
∴ c 4或c 5 （0 舍）.
∴抛物线C2 : y x
2 4x 4.…………………………………………………………（1 分）
（其他方法酌情给分）
25.（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 5 分）
解：（1）过 O 作 OH⊥BC 于 H.
∵OH BC,OH过圆心，
1
∴ BH BC 4.
2
1
∵OB AB 2 5 ,……………………………（1 分）
2
∴OH OB2 BH 2 (2 5)2 42 2 .……（1 分）
OH 2 1
∴在 Rt△OBH中，tan CBO .… （1 分）
BH 4 2
（2）设 BD x,则DH | x 4 |.
在 Rt△ODH中,.OD DH 2 OH 2 (x 4)2 22 x2 8x 20 ……（1 分）
∵△BOD∽△BDE，
BD OB
∴ ， BDO DEO .
BE BD
∴ BD2 OB BE .
∵ BDO DEO, DHO EDO,
∴△DHO∽△EDO. ……………………………………………………………（1 分）
OH OD
∴ .
OD OE
OD2 x2 8x 20
∴OE .
OH 2
（i）当点 E 在 BO 延长线上时， BE OB OE .
∵ BD2 OB BE ，
x2 8x 20
∴ x2 2 5 (2 5 ).……………………………………………（1 分）
2
∴ x1 x2 5 5.
∴ BD 5 5 . ………………………………………………………………（1 分）
（ii）当点 E 在线段 BO 上时， BE OB OE .
∵ BD2 OB BE ，
2 x
2 8x 20
∴ x 2 5 (2 5 ) .……………………………………………（1 分）
2
∴ x1 x2 5 5.
∴ BD 5 5 .…………………………………………………………………（1 分）
综上所述， BD 5 5 或 BD 5 5 .
（3）当 0 BD 3时，两圆内含； ………………………………………………（1 分）
当 BD 3 时，两圆内切；……………………………………………………（2 分）
当3 BD≤8且BD 5时，两圆相交. ………………………………………（2 分）
（其他方法酌情给分）2024学年第二学期初三年级学业质量调研
数学试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分）
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．3倒数的是（ ▲ ）
（A）3； （B）－3； （C）； （D）－．
2．下列计算正确的是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ▲ ）
（A）； （B）y =－x+1； （C）y = x2； （D）y = 3x．
4．某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ▲ ）
年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16
人数（单位：名） 7 11 2
（A）平均数和中位数； （B）平均数和方差；
（C）众数和中位数； （D）众数和方差．
5．正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（ ▲ ）
（A）y与n之间是正比例函数关系； （B）y与n之间是反比例函数关系；
（C）y与n之间是一次函数关系； （D）y与n之间是二次函数关系．
6．如图，在等边三角形ABC中，D、E 分别在AB、AC上，联结BE、CD交于O，联结AO交DE于点G．有下列两个命题：
①如果DE∥BC，那么G为DE中点；
②如果AO⊥DE，那么DE∥BC．
对于这两个命题判断正确的是（ ▲ ）
（A）①②都是真命题； （B）①是真命题，②是假命题；
（C）①是假命题，②是真命题； （D）①②都是假命题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：= ▲ ．
8．因式分解：ab2－4a = ▲ ．
9．根据电影发行方的数据，截至2025年2月18日12时电影《哪吒2》以120.9亿
的票房高居春节档票房冠军，数据120.9亿元用科学记数法表示为 ▲ 元．
10．函数的定义域是 ▲ ．
11．方程－x的解是 ▲ ．
12．已知关于x的方程x2－3x－m=0有两个相等的实数根，那么的值是 ▲ ．
13．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，AD=2，BC=5，那么梯形ABCD的周长为 ▲ ．
14．为了了解学生每周在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生约有 ▲ 名．
15．已知：如图，在□ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，，那么= ▲ ．（用含、的式子表示）．
16．一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为50%，只需往布袋里加入 ▲
个红球．
17. 已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆⊙O半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为 ▲ ．
18．如图，在△ABC中，AB=BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB延长线上的点D处，联结MD，与边AB交于点E，AE=3，DE=2，那么AC的长为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简: ，再求当时此代数式的值．
20．（本题满分10分）
解不等式组
21．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB=5，tan∠ABE=．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠EBC的值．
22．（本题共2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分）
一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图像与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型Ⅰ：一条直线y=kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型Ⅱ：两条直线l1：y1=k1x+b1和l2：y2=k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．
（1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）．
（2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy．
ⅰ）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图像的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是 ▲ ．
（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0； （B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；
（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0； （D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．
此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是 ▲ ．
ⅱ）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线l2的大致图像，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是 ▲ ．
23．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．
（1）求证：；
（2）联结CF，如果∠DAE=∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）
定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件（t，），那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为（1，2），此时由于t=1，a=2，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
（1）如果抛物线C1：y=x2+4x+m是“优雅”抛物线，求m的值．
（2）如图，把（1）中的抛物线C1向下平移得到抛物线C2，抛物线C2与轴负半轴交于点B，顶点为点C，对称轴与x轴交于点A．
①点E在CB延长线上，点D是x轴上一点，且四边形ABDE是矩形，求点E的坐标．
②如果抛物线C3：y=2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，抛物线C2与C3交于点M，且，求抛物线C2的解析式．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）
如图，在⊙O中，直径AB长为，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D作OD的垂线交直线AB于点E．
（1）求∠CBO的正切值．
（2）当△BOD与△BDE相似时，求BD的长．
（3）以点E为圆心，ED长为半径画⊙E，试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系．
A
B
C
D
E
O
G
（第6题图）
（第14题图）
小时
人数（人）
4
8
12
4
16
20
每周做家务时间的频数分布直方图
20
16
10
0
1
2
3
4
（第18题图）
A
B
C
M
（第15题图）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
H
（第21题图）
F
O
x
y
（第22题图3）
l1
O
x
y
（第22题图2）
l1
l2
O
x
y
A
B
（第22题图1）
A
B
C
D
E
G
O
（第23题图）
F
（第24题图）
x
y
A
B
C
O
O
1
x
y
1
-1
-1
（第25题图）
A
B
O
D
C
E
A
B
O
C
（第25题备用图）
（第25题（3）图）
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第 5 页 共 5 页2024 学年第二学期初三学业质量调研
数学 答题纸 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
（时长：100 分钟 总分：150 分） 20． （2）ⅰ）在图 2中已经画出了两个函数大致图像的一种情况，那么关
于两个函数的 k和 b符号的选项正确的是 ．此时 S1、S2、Sx和
注 意 事 项 姓 名
Sy之间的关系式是 ．
班 级
1．答题前，考生先将自己的姓名、 ⅱ）如图 3，保持直线 l1不变，改变直线 l2中 k2和 b2的符号（不
学校、考生号填写清楚，并正确填 学 号
涂考生号． 考虑 k2 和 b2 的大小），请在图中画出直线 l2 的大致图像，此时 S1、
2．选择题部分必须使用 2B铅笔填 准考证号:
涂；非选择题部分使用黑色字迹的 S2、Sx和 Sy之间的关系式是 ．
钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体
工整、笔迹清楚． l2 y y
3．请按照题号顺序在各题目的答题 l1 l1
区域内作答，超出答题区域书写的 条码粘贴处
答案无效；在草稿纸、试题卷上答
题无效．
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损． O x O x
A
一、选择题 21． （第 22 题图 2）
E （第 22 题图 3）1 2 3
4 H 5 6
B C 23．
D F
二、填空题
（第 21 题图）
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
y
22．（1）
三、解答题 B
19．
A O x
（第 22 题图 1）
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
25．
24． 不
y C D
许 E A O B
A
O x
（第 25 题图）
B 折
C
C
（第 24 题图） 叠 A O B
请
在
（第 25 题备用图）
各
题
目
的
答
题
区
域
内
作
答
，
超
出
黑
色
矩
形
边
框
限
定
区
域
的
答
案
无
效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2024学年第二学期九年级质量调研数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C； 2．D； 3．B； 4．C； 5．B； 6．A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．2； 8．a（b+2）（b－2）； 9．1.209×1010； 10．x≠－2； 11．x=－3； 12．m=－； 13．7+； 14．780； 15．－； 16．2； 17．或； 18．．
三、解答题（本大题共8题，满分78分）
19.（本题满分10分）
解：原式= ……………………………………………（2分）
= ……………………………………………（1分）
= …………………………………………………………（2分）
当时，原式= …………………………………………………（1分）
=…………………………………（2分）
= …………………………………………（2分）
20.（本题满分10分）
解：由①得：， ………………………………………………………（4分）
由②得：， ………………………………………………………（4分）
∴原不等式组的解集是. ……………………………………………（2分）
（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAH=∠EAH.
∵AD⊥BE， ∴∠AHB=∠AHE=90°.
在△ABH和△AEH中，
∴△ABH≌△AEH. …………………………………………………（1分）
∴BH=EH.
∵∴
∴…………………………………（2分）
∴EH=4.
∴BE=4+4=8. ………………………………………………………（1分）
（2）设
∵∴
∴
∴ ………………………………………………（1分）
∴………………………………………………（1分）
∴
同理：∴ ………………………………（1分）
∵BE为中线，∴
∴∴………………………………………（1分）
∴∴ …………………………………………（1分）
∴在………（1分）
∴（其他方法酌情给分）
（本题共2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分）
解：（1）设x=0，y=b，点B的坐标为（0，b），∴OB=b.…………………（1分）
设y=0，x=－，点A的坐标为（－，0），∴OA=.……………（1分）
∴S==．……………………………………………………（1分）
ⅰ）D．………………………………………………………………（2分）
Sx－S1=S2－Sy．…………………………………………………（2分）
ⅱ)画图略．…………………………………………………………（1分）
Sx－S1=Sy－S2．…………………………………………………（2分）
23.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴………………………………………（1分）
∴……………………………………（2分）
∴ ………………………………………（1分）
∴ ………………………………………（1分）
（2）证明：∵，
∴
∵,
∴. ………………………………………（1分）
∵,
∴△FCG∽△FEC. ………………………………………（1分）
∴
∴ ………………………………………（1分）
∵,
∴.
∴. ………………………………………（2分）
∵平行四边形ABCD，
∴.
∴.……………………………（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形. ………………………………（1分）
（其他方法酌情给分）
24.（本题共3小题，每小题4分，满分12分）
解：（1）抛物线顶点的横坐标是－=－2…………………………………………（1分）
∵抛物线是“优雅”抛物线，且a=1，………………………………………（2分）
∴顶点的纵坐标是4．
将（－2，4）代入抛物线得：m=8．………………………………………（1分）
（2）①设，
∵四边形ABDE为矩形，
∴
设点P为对角线AD、BE交点，
∵AD在轴上，
∴点P在轴上，且
∴.………………………………………………………………（1分）
∵.
∴直线 ………………………………………（1分）
∴.
∴.
∴
∴，解得（正舍）……………………………………（1分）
∴.
∵点P为对角线AD、BE交点，
∴点P为BE的中点，由对称性可得……………………………（1分）
②抛物线的对称轴是直线，则顶点
∵为“优雅”抛物线，
∴，解得
∴.…………………………………………………………………………（1分）
∵直线且，
∴
∵直线AM经过点，
∴直线AM：………………………………………………………………（1分）
∴，解得：
∴ ………………………………………………………………（1分）
∵点
∴
∴抛物线…………………………………………………………（1分）
（其他方法酌情给分）
25.（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）
解：（1）过O作OH⊥BC于H.
∵，
∴
∵,……………………………（1分）
∴.……（1分）
∴在… （1分）
（2）设.
在 ……（1分）
∵△BOD∽△BDE，
∴，.
∴.
∵,
∴△DHO∽△EDO. ……………………………………………………………（1分）
∴.
∴.
（i）当点E在BO延长线上时，.
∵，
∴.……………………………………………（1分）
∴
∴. ………………………………………………………………（1分）
（ii）当点E在线段BO上时，.
∵，
∴.……………………………………………（1分）
∴
∴.…………………………………………………………………（1分）
综上所述，或.
（3）当时，两圆内含； ………………………………………………（1分）
当时，两圆内切；……………………………………………………（2分）
当时，两圆相交. ………………………………………（2分）
（其他方法酌情给分）

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