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2025 年甘肃省白银市靖远一中高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ( ) = 2(1 ), < 1.若 2 , ≥ 1 ，则 (2) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 1 .已知 sin( 4 + ) = 3，则 cos( 4 )的值为( )
A. 1 2 2 1 2 23 B. 3 C. 3 D. 3
3.已知一组从小到大排列的数据：1，3， ，17，19.若其极差等于平均数的 2 倍，则 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
4.已知 ：“0 < < 1”是“ 2 < 1”的必要不充分条件， ： 是虚数单位， ∈ ，(1 + ) = 4，则( )
A. 和 都是真命题 B.￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D.￢ 和￢ 都是真命题
5.一个圆台的母线长为 5，上、下底面的半径分别为 2，5，则圆台的体积为( )
A. 64 B. 56 C. 48 D. 52
6.已知向量 和 满足| | = 2，| | = 1，| + | = 7，则向量 + 在向量 上的投影向量为( )
A. 34 B.
3
4 C.
5
4 D.
5
4
7.如图，在半径为 2 的圆中， ( , )是阴影部分内(包括边界)的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，
2 2
为双曲线
2 3 = 1( > 0)的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是 2，设直线 的斜率为 ，
则 的最小值为( )
A. 34
B. 43
C. 23
D. 32
8.若 2 2 20为方程 + 2 = 0 的根，则 0 + 0 =( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = | + |，则下列结论正确的有( )
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A.对任意 ∈ ，函数 ( )的最大值与最小值的差为 2
B.存在 ∈ ，使得对任意 ∈ ， ( ) + ( ) = 2
C.当 ≠ 0 时，存在非零实数 ，使得 ( + 2 ) = (

2 )
D.当 = 0 时，存在 ∈ (0, )， 0 ∈ ，使得对任意 ∈ ，都有 ( 0) = ( 0 + )
10.已知 为数列{ }的前 项和，且满足 = ( 1) 2 ，则下列结论正确的有( )
A. 11 = 4 B.当
1
为偶数时， = 2
C.当 为奇数时， =
1 1
2 +1 D. 5 + 6 = 32
11.如图所示，这是曲线 ：( 2 + 2)3 = 8 2 2，设 ( 0, 0)和 ( 1, 1)为曲线
上的任意两点，且满足 ∈ {( 0, 0)| 0 ∈ 或 0 ∈ }，则下列结论正确的有( )
A. 2 + 21 1 ≤ 2
B.满足 0 ∈ 且 0 ∈ 的点 ( 0, 0)共有 4 个
C.曲线 关于直线 =± 对称
D.任取一点 ( 0, )
5
0 ，该点满足 0 ∈ 且 0 ∈ 的概率为13
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
2 2
12 .椭圆 6 + 4 = 1 的离心率为______．
13.已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，且 = 2， = = 1，则三棱锥 的
外接球的半径为______；若 为线段 的中点，则过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面面积的
最小值为______．
14
2 2
.若正实数 ， 满足 + = 1，则 +1+ +2的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的角平分线交 于点 ，且 = 2， = 2 3．
(1)求角 ．
(2)已知 = 3 ．
(ⅰ)求 ， 的值；
(ⅱ)求 的值．
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16.(本小题 13 分)
如图， ， 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上异于顶点的两个动点，直线 过抛物线 的焦点 ，且焦点 到
准线的距离为 2．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若| | = 6，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = = 1 = 2， 是 中点．
(1)求证： 1 //平面 1；
(2)求平面 1与平面 1 1所成锐二面角的余弦值；
(3)求点 1到平面 1的距离．
18.(本小题 17 分)
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有 4 名男教师，2 名女教师报名，
本周随机选取 2 人参加．
(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
(2)记参加活动的女教师人数为 ，求 的分布列及期望 ( )；
(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1
1
项或 2 项的可能性均为2，每名男教师至少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为
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1
2，每人每参加 1 项活动可获得“体育明星”积分 3 分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两
人得分之和为 ，求 的期望 ( )．
19.(本小题 17 分)
定义： = 1 = 1 2 ，其中 ∈ ．
(1)求证：当 > 0 时， ≤ 1(当且仅当 = 1 时取等号)．
(2) 1对于任意正整数 ，是否存在正整数 ，使得不等式 = 1(1 + 2 ) < 恒成立？若存在，请求出 的最小
值；若不存在，请说明理由．
2 2
(3)若正项数列{ }满足 2 2 2 +1 = + ，0 < < ， ∈ ，求证：
+
1 =1 =1(2 +1 +1)
< 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 33
13. 6 2 4
14.14
15.解：(1) ∵ = 2，由正弦定理得 =

2，
又 ∈ (0, )，则 ≠ 0，
∴ = cos = 2 2 2 cos

2，
又 cos 2 ≠ 0，
∴ sin 2 =
1
2，
∵ 2 ∈ (0, 2 )，则 = 3．
(2)( ) ⅰ 由(1)知 = 3， 是角 的角平分线，
∵ △ = △ + △ ，
∴ 1 12 3 = 2
1
6 + 2 6，
又 = 2 3，
则得 = 2 + 2 ，又 = 3 ，
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∴ 3 2 = 8 8，解得 = 3，即 = 8．
(ⅱ) ∵ = 2 + 2 2 = 64 + 64 64 8 79 3 = 3 ，
∴ = = 21 14 ．
16.解：(1)因为 ， 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上异于顶点的两个动点，
直线 过抛物线 的焦点 ，且焦点 到准线的距离为 2，
所以 = 2，所以抛物线 的方程为 2 = 4 ；
(2)由(1)得 (1,0)，且直线 不垂直于 轴，
所以设直线 的方程为 = + 1，
= + 1
联立 2 = 4 ，得
2 4 4 = 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 = 16 2 + 16 > 0， 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
所以| | = 1 + 2| 1 2| = 1 + 2 16 2 + 16 = 4(1 + 2) = 6
1
，解得 2 = 2．
1 6
又点 到直线 的距离 = = ，
1+ 2 3
1 1 6
所以 △ = 2 | | = 2 × 6 × 3 = 6，
所以△ 的面积为 6．
17.解：(1)证明：连接 1，交 1于 点，连接 ，
直棱柱中， = 1 = 2，显然 是 1中点，
又因为 是 中点，所以 // 1，
因为 面 1， 1 面 1，则 1//面 1．
(2)由直三棱柱 1 1 1中∠ = 90°，故可构建如图所示空间直角坐标系，
所以平面 1 1的一个法向量为 = (0,1,0)，
又因为 (1,1,0)， 1(0,2,2)，
所以 = (1,1,0), 1 = (0,2,2)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ , 1 ⊥ ，
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= + = 0
所以 ，令 = 1，则 = (1, 1,1)， 1 = 2 + 2 = 0
所以平面 1与平面 1 1所成锐二面角的余弦值为：|cos < , > | = |
3
| ． || | | = 3
(3)因为 1(2,0,2)，所以 1 = (2,0,2)，
4
则点 11到平面 1的距离 = | | | | = 3 =
4 3
3 ．
18.解：(1)设“有女教师参加活动”为事件 ，“恰有一名女教师参加活动”为事件 ，
( ) =
1
4
1 1 1 2
则 22 =
8 4 2+ 2 3
6 15
， ( ) = = ，
26 5
8
( | ) = ( )所以 15 8 ( ) = 3 = 9．
5
2
(2) 依题意知 服从超几何分布，且 ( = ) = 2 42 ( = 0,1,2)， 6
2 1 1 2
( = 0) = 4 = 2 8 12 5， ( = 1) =
4 2
2 = 15， ( = 2) =
2
2 = ， 6 6 6 15
所以 的分布列为：
0 1 2
2 8 1
5 15 15
( ) = 0 × 2+ 1 × 8 + 2 × 1 = 25 15 15 3．
(3)设一名女教师参加活动可获得分数为 1，一名男教师参加活动可获得分数为 2，
则 1的所有可能取值为 3，6， 2的所有可能取值为 6，9，
( = 3) = ( = 6) = 1 ( ) = 3 × 1 + 6 × 1 = 91 1 2， 1 2 2 2，
( 2 = 6) = ( = 9) =
1 1 1 15
2 2， ( 2) = 6 × 2 + 9 × 2 = 2，
有 名女教师参加活动，则男教师有 2 名参加活动，
= 92 +
15
2 (2 ) = 15 3 ，
所以 ( ) = (15 3 ) = 15 3 ( ) = 15 3 × 23 = 13．
即两个教师得分之和的期望为(13 分)．
19.解：(1) 1 1 证明：设函数 ( ) = + 1，因为导函数 ′( ) = 1 = ，
当 ∈ (1, + ∞)时，导函数 ′( ) < 0，所以当 ∈ (0,1)时，导函数 ′( ) > 0，
所以函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，
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所以当 > 0 时， ≤ 1，当且仅当 = 1 时取等号．
(2)由(1)可得 ln( + 1) ≤ ，当且仅当 = 0 时取等号，
1
所以当 = ， ∈ 2 时，ln(1 +
1
2 ) <
1
2 ，
1 1 1
所以 =1 ln (1 + ) <

2 =1 ln 2 = 1 2 < 1，
ln = 1(1 + 1 ) = ln[(1 + 1 )(1 + 1 ) × × (1 + 1 )] = ln 2 2 22 2 = 1(1 +
1
2 )，
1 1
所以 ln = 1(1 + 2 ) < 1，所以 = 1(1 + 2 ) < ，
1 1 1 1 135
所以当 ≥ 3 时， = 1(1 + 2 ) ≥ (1 + 2 )(1 + 22 )(1 + 23 ) = 64 > 2，
所以当 ≥ 3 时， = 1(1 + 12 ) ∈ (2, )，
1
所以存在正整数 ，对于任意正整数 ，使得 = 1(1 + 2 ) < 恒成立，
所以实数 的最小值为 3．
(3)证明：因为 2 +1 = 2 + 2 ，
2 2 2 2 2
≥ 2 + = + = ( +
2+1) 1
所以当 时，有 =1(2 +1 +1) =1( 2+ 2+1) =1( 2 + 2+1)
= 1 1 1 =1( 2+ 2+1) =1( 2+ 2 ， +1)
2 + 2 2+ 2所以 =1 =1(2 +1 +1)
= =1 =1( 2 2 + +1)
21 + 2
1 1
= + [ ]
2 + 21 +1 1 = 1( 2 2 + +1) = 1( 2 2 + +1) =2
2 + 2 1 1
= 1 + [ ]
2 2 2 2 2 21 + +1 1 + +1 = 1( + +1)
= 1 1 =1( 2 2 < 1， + +1)

2+ 2
所以 =1 < 1． =1( 2 + 2+1)
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