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26.2.2.5二次函数求最值
第26章　二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会通过配方法求二次函数的最值
2.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,建立函数模型
3.能运用二次函数解决相关实际问题,计算几何图形面积的最大值
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考： 二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数y=ax2+bx+c的最值由a及自变量的取值范围决定.
当x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c的最值如下：
当a＞0时，有 ，此时 .
当a＜0时，有 ，此时 .
当自变量x取值有限制时，二次函数的最值就要分情况来讨论.
例1.求下列函数的最大值与最小值.
(1)y=x2+4x-2（-3≤x≤1）
解：(1)y=x2+4x-2=(x+2)2-4-2
x=-3时，y=9-12-2=-5
=(x+2)2-6
∴二次函数的对称轴是x=-2
∵-3＜-2＜1，且a＞0
∴-3≤x＜-2时，y随x的增大而减小，-2＜x≤1时，y随x的增大而增大
∴x=-2时，ymin=4-8-2=-6
x=1时，y=1+4-2=3
∴x=1时，ymax=1+4-2=3
（2） （-3≤x≤1）
∴二次函数的对称轴是x=-5
∵-5＜-3，且a＜0
∴当-3≤x≤1时，y随x的增大而减小
∴x=-3时，ymax=
x=1时，ymin=
归纳总结
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c的最值确定步骤：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.判断，判断函数开口方向及x的取值范围与对称轴的位置关系.
3.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值；
然后根据x的值，求出函数的最值.
例2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，
这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x m，则
(0＜x≤18）
当x=30，S取得最大值，但是由于x取值范围的限制，x取不到30.
因为二次项系数a＜0，当x＜30时，S随x的增大而增大.
故当x=18时，S有最大值是378.
1．[2024深圳期中]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，顶点坐标为(－3，2)，那么该抛物线有(　　)
A．最小值－3
B．最大值－3　
C．最小值2
D．最大值2
返回
【点拨】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是
公式法.
【答案】 D



2. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成的矩形ABCD的最大面积是(　　)
A．50 m2
B．49 m2
C．46 m2
D．48 m2
B
[变式] 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
B
返回
返回
C
3. 已知二次函数y＝－(x＋1)2＋3，若－3≤x≤2，则函数y的最小值和最大值分别是(　　)
A．－1，3 B．0，3
C．－6，3 D．－6，－1
4．若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax有最______值，最值为______(用含a的字母表示)．
大
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5．如图，已知 ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm.
(1) ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为____________，自变量x的取值范围为________；
0返回
(2)当x取________时，y的值最大，最大值为________．
2
2
6．[2024湖北]学校要建一个矩形花圃(如图)，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42 m，篱笆长80 m．设垂直于墙的边AB长x m，平行于墙的边BC长y m，围成的矩形面积为S m2.
(1)求y与x，S与x的关系式．
【解】由题意，得2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80.
由题意，得0＜－2x＋80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40.由题意，得S＝AB·BC＝x(－2x＋80)，
∴S＝－2x2＋80x(19≤x＜40)．
(2)围成的矩形花圃的面积能否为750m2，若能，求出x的值．
【解】能．假设围成的矩形花圃的面积为750 m2.由题意，令S＝－2x2＋80x＝750，解得x＝15(舍去)或x＝25.
∴当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750 m2.
返回
(3)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
【解】存在最大值．由(1)知，S＝－2x2＋80x＝
－2(x－20)2＋800.∵－2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取得最大值，最大值为800.∴围成的矩形花圃的最大面积为800 m2，此时x的值为20.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
谢谢观看！

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