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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（二）
一、单选题
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由及，得，
由，得，
在中，，
令椭圆的焦距为，在中，，
则，，
所以的离心率.
故选：D
3．（2025·广东广州·一模）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则，
由，
得，
又因为函数在上单调递减，且，
则函数在上单调递增，
则时，，当时，，
则当时，，
当时，，
所以的解集为，的解集为，
由于不等式的解集为，
当时，不等式为，
此时解集为，不符合题意；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
要使不等式的解集为，
则，即；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
此时不等式的解集不为；
综上所述，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为.
故选：C
4．（2025·广东广州·一模）已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设曲线与相邻的三个交点为，
，
解得，
不妨取，则，
所以，
则，
由题意得为直角三角形，
所以，即，解得，
故选：A．
5．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数的最小正周期满足，即所以.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.
故选：B.
6．（2025·广东·一模）设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，取，则，，故错误；
对于B，取，，，
所以，故错误；
对于C，取，则，，
所以，故错误；
对于D，令，其中为整数，，
若，则，
，此时成立，
若，，
，此时成立，
综上，D正确；
故选：D
7．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接，
因为，且以为直径的圆恰好过点，
所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形.
设，则，，，
因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知，
，，
所以，，
所以在直角，中，由勾股定理可得，
，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：C
8．（2025·河南濮阳·模拟预测）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，因为的周期为，所以，
，
所以折成直二面角时，，
解得，所以，
所以，，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故选：D.
9．（2025·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于，又，则，即.
由于
则
故选：B
10．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设是线段的中点，则，
由勾股定理，
球心到距离为，
当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，
被球截得的弦长为，
此时圆的半径就是，面积为.
故选：A.
11．（2025·广东江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等，
因为，设，则，
由可得，
可得，
在中，由余弦定理可得
，故，
由正弦定理可得，所以，，
易知为锐角，则，
所以，.
故选：A.
12．（2025·广东江门·一模）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知，，三角形的面积为
设点P到平面的高为h，
又，
要使三棱锥体积的最大，则需h最大，根据图形可得，
当，且时，h最大，最大为1，
.
故选：B
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【解析】由正弦函数的图象可知，，
则.
已知，设，根据两点间距离公式，因为，
所以，即，
解得（由图象可知点纵坐标为负）.
因为在的图象上，所以，
即，
又因为，所以，则.
因为在的图象上，所以，
即，，，，.
由图象可知，（为函数周期），，又，所以，，
当时，满足条件，所以.
因为的最大值为，最小值为，
已知，所以，一个为，一个为.
不妨设，，则，，解得；，，解得.
所以.
将代入得：
.
故选：C.
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，
因为，，所以两边取对数整理可得，，所以
又，，，
且，即，
所以，，所以.
故选：D.
15．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A．与B相互独立 B． C． D．
【答案】C
【解析】AC选项，由题意得，，
，，
，，
故，C正确；
由于，故，
故与B不互相独立，A错误；
B选项，由条件概率得，B错误；
D选项，，D错误；
故选：C
16．（2025·广东湛江·一模）已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由得，
即，则点P轨迹为的圆心为，半径为的圆.
当直线与圆D相切时，最大，则．
又，，所以．
又，所以．
故选：D．
17．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，，
所以当时，，，当时，，
令，即，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
若，则函数在上单调递增，
又，所以，
即恒成立，故满足题意，排除选项A；
若，则，函数在上不单调，图象如图所示，
又，即，
可理解为函数的图象在函数的图象下方，
所以由图象可得，即，
令，
则，，
.
故选：D
18．（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
若球心在三棱锥内，设为底面的外接圆的圆心.
球的半径为，则.
因为，所以，解得.
.
若球心在三棱锥外，则，
同理由解得，此时，不符合题意.
故选：A.
19．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，解得，则双曲线方程为.
故选：B.
二、多选题
20．（2025·河北衡水·模拟预测）半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（ ）
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥的内切球半径为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球半径为3
【答案】BCD
【解析】对于A，设的中心为，
由正弦定理可得，
由球的截面性质可得平面，
所以，
所以三棱锥的体积为，故A错误；
对于B，设三棱锥的内切球半径为，
由等体积法可得，解得，故B正确；
对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
此时棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为，故C正确；
对于D，三棱锥的外接球即为球，所以半径为3，故D正确.
故选：BCD
21．（2025·河北衡水·模拟预测）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（ ）（设均为非零实数）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，存在正常数，取，对任意，，
因此是的复杂函数，A是；
对于B，存在正常数，取，对任意，令，
求导得，令，
求导得，函数在上递增，
，函数在上递增，
，则，
因此，是的复杂函数，B是；
对于C，，函数在R上单调递增，值域为，
因此不存在正常数，使得成立，而，即不存在正常数，使得成立，
不是的复杂函数，C不是；
对于D，存在常数，取常数，对任意，
，
因此是的复杂函数，D是.
故选：ABD
22．（2025·广东广州·一模）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当且时，
【答案】ACD
【解析】由，则，
则函数的定义域为，
则，，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，即，
此时，
则，
令，得或；
令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确；
由上述可知函数在上单调递减，
当时，，则，故B错误；
由，
则，
，
所以，故C正确；
因为，，则，
又函数在上单调递增，则，
所以，
又，
则，故D正确.
故选：ACD
23．（2025·广东广州·一模）如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
【答案】BCD
【解析】设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
如图，连接，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故选：BCD.
24．（2025·广东·一模）已知正四面体的棱长为6，点分别是的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体的有（ ）
A．底面在平面上，且底面半径为，高为的圆锥
B．底面在平面上，且底面半径为，高为1的圆柱
C．轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥
D．轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱
【答案】ACD
【解析】对于A，
正四面体，作平面，交平面于，
连接，且为正三角形的中心，又棱长为6，则的内切圆半径为，，
正四面体的高，
则底面半径为，且，且高，则可以放到正四面体内，故A正确；
对于B，
如图所示，平面平面，当时，设内切圆半径为，
则，则，
故底面半径为，高为1的圆柱，无法放到正四面体内，故B错误；
对于C，轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥,
因，
在线段上取点使得，，
则，
，即，则，
则轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥, 可以放到正四面体内，故C正确；
对于D，采用选项C中的图，此时条件变为，在线段上取点使得，
则，即得，若圆柱可以放入则其轴中点必然为线段的中点，
而，故轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱，可以放到正四面体内，故D正确.
故选：ACD
25．（2025·广东·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
【答案】ABC
【解析】A.当时，由得，，解得或，
∴有2个零点，A正确.
B. 当时，，由得，解得，
∴的解集为，B正确.
C.当时，由得或.
当时，，当时，.
当，即时，的大致图象为图1，由图象可得函数在上有极小值，无极大值.
当，即时，的大致图象为图2，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图3，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图4，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图5，由图象可得函数在上有极小值.
综上得，在上有极小值，C正确.
D.由图1可得，当时，在上无极大值，D错误.
故选：ABC.
26．（2025·广东佛山·二模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值为
D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2
【答案】ABD
【解析】将方程，整理为，从而可解得.
讨论自变量 的取值要使 为实数且，需.
结合 并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为.
故 A 正确；
由可见，当给定 时，实数满足.
为判断成立，只需验证足成立，
当时两边都是0，显然成立；
当时平方并利用化简得，这显然成立.
故 B正确；
当 时求的最大值，必然在区间之间存在最大值.
设，
，
令，得，
时，单调递增；时，单调递减.
，
因此，函数 的最大值为，
这实际上是 y 的最大值，故最大 y 应为，
而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误；
对于选项D
首先，我们分析曲线的对称性.
曲线方程为：，
注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于 轴对称.
接下来，我们找到曲线与 轴的交点。
令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 。
在 轴左侧，我们取以下几个关键点：
，代入方程解得，得.
取，代入方程求得，得 和
取，代入方程求得，得 和 .
如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积.
计算这个四边形的面积：
所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2，
故选项 D 正确.
故选：ABD.
27．（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条切线
【答案】ACD
【解析】由，可得，
所以，所以的图象关于点对称，A正确；
由，可得：，
显然不恒成立，B错误；
，
，
因为，则，
此时，所以，
所以在上单调递减，C正确；
令，解得其中一个解为，
，此时切线方程为：，
即，D正确；
故选：ACD
28．（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，把函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．函数的图像关于直线对称
C．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则的取值范围为
D．函数的图像关于点对称
【答案】BCD
【解析】对于A：由于，则，
令，又，得，选项A错误；
对于B：函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数，
令，则函数图像关于直线对称，，选项B正确；
对于C：要使函数在区间上恰有4个不同零点，
由于，则的取值范围为，选项C正确；
对于D:
，令，
得，函数的图像关于点对称，选项D正确.
故选：BCD.
29．（2025·广东·模拟预测）已知数列满足，数列满足为数列的前项的积，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最大值为12
【答案】AC
【解析】由于，则，得，
因为，所以，
所以，即，
依次类推，得到.
对于选项A：
方法1：，将上述不等式累乘得：.
方法2：由得，即成立.
故选项A正确.
对于选项B：由于，则，
整理得，故选项B错误.
对于选项C：由于，
则，
则，得，故选项C正确.
对于选项D：由，则，
，
，将以上式子累加得：，①
另外，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式得：，解得，
显然符合题意，此时，综上所述，的最大值为8，故D错误.
故选：AC
30．（2025·广东江门·一模）已知曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
【答案】AD
【解析】对于A，令是曲线上的任意一点，即，
则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确；
当时，，即，是以为圆心，
2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，，
即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分，
对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误；
对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为
，C错误；
对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的，
观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大，
设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确.
故选：AD
31．（2025·广东江门·一模）已知函数，其中，则（ ）
A．函数是周期函数
B．当时，函数的值域为
C．当时，是函数图象的对称轴
D．当时，函数在上有零点
【答案】ABD
【解析】对于A，依题意，，由，
，得，
因此函数是周期函数，A正确；
对于B，，而，
则当时，，当时，，B正确；
对于C，，当时，
，则函数图象关于点成中心对称，关于不对称，C错误；
对于D，，，
，又函数在R上的图象连续不断，因此函数在上有零点，D正确.
故选：ABD
32．（2025·广东广州·模拟预测）某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了200名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这200名学生中，成绩位于的学生成绩方差为13.75，成绩位于的学生成绩方差为7.75.则（ ）

A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
C．估计该年级在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级在80分及以上的学生成绩的方差为31
【答案】ACD
【解析】对于A选项，在频率分布直方图中，各长方形的面积之和为1，
则，解得，故A正确；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
设该年级学生成绩的中位数为，则，
根据中位数的定义可得，解得，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，故B错误；
对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分，故C正确；
对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
故选：ACD.
33．（2025·广东广州·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ）
A．满足平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度小于
C．存在点P满足
D．存在点P满足
【答案】AC
【解析】对A：如图：
取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面，
故平面时，点的轨迹为线段.
因为正方体棱长为2，所以，故A正确；
对B：如图：
因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点，
所以，故劣弧的长度大于，故B错误；
对C：如图：
当为正方形中心时，，，，
所以，所以，故C正确；
对D：如图：
做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接，
则，且.故D错误.
故选：AC
34．（2025·广东汕头·一模）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABD
【解析】根据向量知识可得：分别为的中点，分别为靠近的三等分点，由与相交知，错误；
因为，平面，平面，则平面，
同理可得：平面，又 ，且 平面，
则平面平面，若平面平面，则平面平面，这与它们相交矛盾，错误；

因为分别为的中点，则，因为，且，平面，平面，

所以平面，正确；
连接，则，又，且，平面，
则平面，则，同理可得：，又，
则平面，若平面平面，注意到平面，
则平面，又平面，所以平面平面，这和与相交矛盾，错误．

故选：.
35．（2025·广东汕头·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．在区间上单调递增
D．当时，方程的所有解的和为
【答案】AC
【解析】由知，的图象关于直线对称，A正确；
所以；B错误
奇函数在上递增，且，所以在上递增，
由知，是周期为4的函数，
所以在区间上单调递增，C正确；
由曲线关于直线对称知，及，且在上单调递增，
方程在上有一根，再结合对称性可得：在有一根，即一个周期内有两根，且和为2，
故在上所有根的和为，D错误．
故选：AC
36．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：ABD．
37．（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由得．
又，所以，即，
所以关于对称，．
又因为是奇函数，故是偶函数，所以满足条件．
对于选项A，因为，所以，
所以，选项A正确；
，选项B正确；
因为，所以，
所以，选项C正确；
对于选项D，，但不一定为0，选项D错误．
故选：ABC．
38．（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
【答案】ABD
【解析】

对于A，若，则，则点在线段上，如上图.
因平面平面，且平面平面，平面平面，
故因平面，平面，故平面，同理可证平面，
因平面，平面，且，故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；

对于B，若，则（为的中点）如上图.
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；

对于C，若，则，所以.
，所以点在线段上（如上图）.假设，则，
即，化简得，
该方程无解，所以不存在，故C错误；

对于D，如上图，设为的中点，
当时，则，即，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
所以.
假设平面，则，
即，解得.故D正确.
故选： .
39．（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或
B．
C．存在实数，使得
D．
【答案】BD
【解析】易知，
令，则.
令，则.设，
由对勾函数的图象可知：
当时，与的图象有两个交点，
因为，故不成立，故A错误；
设，则①，
设为①式的两根，则，即②，
③.
由③式可知，所以，则，
故B正确；
解法1：由②式可知，
令，
则，
则在上单调递减，所以，
故，所以不存在实数使得，故C错误；
解法2：，，，
可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；
由③式可知，所以，
要证
，
仅需证明成立.
令，则.
则在上单调递增，所以，
故，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
40．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则 .
【答案】
【解析】由，得，令，
即，整理得，
即，解得或，
则或，或，
当时，，由函数在上有且仅有一个零点，
得，即，当时，，，
此时或，使得，不符合要求；
当时，或，
当时，，函数在上无零点，
当时，，当且仅当时，，符合要求，
因此，，
，，
，，
，，
而，所以.
故答案为：
41．（2025·广东广州·一模）在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：，
则，
可知，
因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心，
取的中点，则，，
设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和，
根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体，
则平面，平面，则，即，
同理可知：，
由长方体的性质可知：，
可得，即，
又因为平面，平面，
则，可得，
可知点在以点为圆心，半径的圆上，
因为，可知与圆相交，
设圆与交于两点，则，
可知为等边三角形，则，
结合对称性可知点运动路径的长度为.
故答案为：.
42．（2025·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为 ．
【答案】
【解析】
如图，由双曲线的对称性可知，故，
设直线的方程为，，
由得，
由题意，，
，
整理得，由得，
故直线的方程为，即，则，
由题意，点到直线的距离为，
则，
故答案为：
43．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ．
【答案】
【解析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，
由题知，，，
又，
所以，
又，
故答案为：.
44．（2025·广东·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为 .
【答案】3
【解析】设双曲线焦距为，则，
则.
故答案为：3.
45．（2025·广东·模拟预测）已知函数，且函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于
，当所以，故，
又，所以，故函数在区间上单调递增；
又，则为偶函数，
又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，
又，则问题转化为不等式对任意恒成立，
故不等式对任意恒成立，
构造函数，只要，得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
46．（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】依题意，，记用户第关抽到奖品为事件，当时，，
，，，
于是，则，
而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，数列是递减数列，，
所以的最大值为.
故答案为：
47．（2025·广东江门·一模）已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】因为是第三象限角，则，
曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，，
所以，双曲线的离心率为.
故答案为：.
48．（2025·广东广州·模拟预测）某校举办一年一度的田径运动会，其中田赛含跳高、跳远、三级跳远、标枪和铅球等5个项目，径赛含100米、110米栏、400米、1000米等4个项目.某班为选拔优秀运动员，在班内组织选拔赛，要求同学们积极报名参赛，每位同学田赛与径赛各至少报名1个项目，且每人至多报3个项目，则每位同学的报名方案共有 种.（用数字作答）
【答案】90
【解析】当只报两个项目，由题意：；
若报3个项目，由题意：；
所以共有90中，
故答案为：90
49．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由得，
设，，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
所以.
且当时，；当时，，
故的值域为；
设，，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以，
且当时，；当时，，
故的值域为；
依题意，的值域是的值域的子集.
显然，若，则的值域为，不合题意，舍去；
若，则的值域，
则需的值域，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
50．（2025·福建福州·二模）已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为 ．
【答案】11
【解析】方法一：，则，
设，依题意，
所以，
则，显然，则，
因为，所以的图象关于点中心对称，
所以点与点关于点对称，所以，则，
所以点的纵坐标为11.
方法二：，则，
因为，所以在上单调递增，
令，设其根为，则.
因为在点处的切线与在点处的切线平行，
所以存在两实根，其中一个为，设另一个为．
即两根为，由韦达定理得，则，
所以
，
所以点的纵坐标为11.
故答案为：11.
51．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
法一：因为，所以．
设，（不妨设），，
依题意有，，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
法二：因为，所以．
对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，
根据双曲线的性质可得，所以，
所以，整理可得．
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
故答案为：.
52．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
【答案】
【解析】设，由可知.
由知，，解得.
，①
，②
.
又，
，即，化简得，
将①②代入上式可得，解得或，满足.
当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述.
故答案为：.
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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（二）
一、单选题
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东广州·一模）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东广州·一模）已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2025·广东·一模）设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河南濮阳·模拟预测）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·广东江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·广东江门·一模）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ）
A． B．0 C． D．2
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A．与B相互独立 B． C． D．
16．（2025·广东湛江·一模）已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）．
A． B． C． D．
17．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
18．（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
20．（2025·河北衡水·模拟预测）半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（ ）
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥的内切球半径为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球半径为3
21．（2025·河北衡水·模拟预测）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（ ）（设均为非零实数）
A．， B．，
C．， D．，
22．（2025·广东广州·一模）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当且时，
23．（2025·广东广州·一模）如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
24．（2025·广东·一模）已知正四面体的棱长为6，点分别是的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体的有（ ）
A．底面在平面上，且底面半径为，高为的圆锥
B．底面在平面上，且底面半径为，高为1的圆柱
C．轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥
D．轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱
25．（2025·广东·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
26．（2025·广东佛山·二模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值为
D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2
27．（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条切线
28．（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，把函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．函数的图像关于直线对称
C．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则的取值范围为
D．函数的图像关于点对称
29．（2025·广东·模拟预测）已知数列满足，数列满足为数列的前项的积，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最大值为12
30．（2025·广东江门·一模）已知曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
31．（2025·广东江门·一模）已知函数，其中，则（ ）
A．函数是周期函数
B．当时，函数的值域为
C．当时，是函数图象的对称轴
D．当时，函数在上有零点
32．（2025·广东广州·模拟预测）某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了200名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这200名学生中，成绩位于的学生成绩方差为13.75，成绩位于的学生成绩方差为7.75.则（ ）

A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
C．估计该年级在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级在80分及以上的学生成绩的方差为31
33．（2025·广东广州·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ）
A．满足平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度小于
C．存在点P满足
D．存在点P满足
34．（2025·广东汕头·一模）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
35．（2025·广东汕头·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．在区间上单调递增
D．当时，方程的所有解的和为
36．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
37．（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）．
A． B．
C． D．
38．（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
39．（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或
B．
C．存在实数，使得
D．
三、填空题
40．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则 .
41．（2025·广东广州·一模）在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ．
42．（2025·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为 ．
43．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ．
44．（2025·广东·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为 .
45．（2025·广东·模拟预测）已知函数，且函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
46．（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ．
47．（2025·广东江门·一模）已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示）
48．（2025·广东广州·模拟预测）某校举办一年一度的田径运动会，其中田赛含跳高、跳远、三级跳远、标枪和铅球等5个项目，径赛含100米、110米栏、400米、1000米等4个项目.某班为选拔优秀运动员，在班内组织选拔赛，要求同学们积极报名参赛，每位同学田赛与径赛各至少报名1个项目，且每人至多报3个项目，则每位同学的报名方案共有 种.（用数字作答）
49．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 .
50．（2025·福建福州·二模）已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为 ．
51．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
52．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
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