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广东省河源市龙川县登云中学2024年中考一模数学试题
1．（2024·龙川模拟）如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示（　　）
A．收入2万元 B．支出万元 C．支出2万元 D．利润是2万元
2．（2024·龙川模拟）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·龙川模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a2＋a3＝a5 B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2
C．a8÷a4＝a4 D．（a＋b）2＝a2＋b2
4．（2024·龙川模拟）如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·龙川模拟）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·龙川模拟）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·龙川模拟）一组数据0，1，1，2，若添加一个数1后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2024·龙川模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·龙川模拟）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（　　）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
10．（2024·龙川模拟）下列关于等边三角形的说法不成立的是（　　）
A．等边三角形的三条边相等，三个角相等
B．等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴
C．角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形
D．有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形
11．（2024·龙川模拟）若一个正数的平方根是和，那么　 　．
12．（2024·龙川模拟）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为　 　.
13．（2024·龙川模拟）一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，除颜色外其余均相同，从布袋中任取一个球，取出黄球的概率为　 　．
14．（2024·龙川模拟）如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，则的度数为　 　．
15．（2024·龙川模拟）如图，量筒的液面呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为，则平视点C，点C的高度为　 　．
16．（2024·龙川模拟）先化简，再求值：，其中．
17．（2024·龙川模拟）已知关于x的方程，且方程的一个根为1，求a的值及方程的另一根．
18．（2024·龙川模拟）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，仅用无刻度的直尺作图：
（1）在上取点M，使四边形为平行四边形；
（2）在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
19．（2024·龙川模拟）为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
20．（2024·龙川模拟）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下：
　 A品牌 B品牌
进价（元/件） 150 120
售价（元/件） 200 150
销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件．
（1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式；
（2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？
21．（2024·龙川模拟）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
22．（2024·龙川模拟）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
（1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
23．（2024·龙川模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示支出2万元；
故答案为：C.
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量 即可求解.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；
C、a8÷a4＝a4，正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图所示：
在中，，
∴∠3+∠1=90°，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】首先得出∠3+∠1=90°，再结合，得出，再利用两直线平行，同位角相等即可得出.
5．【答案】C
【知识点】求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】解：中，，，，
∴，
，，．
观察四个选项，选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据锐角三角函数定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据的平均数==1，众数为1，中位数为（1+1）÷2=1，方差=(1+0+0+1)=；
新的数据的平均数==1，众数为1，中位数是1，方差=(1+0+0+1+0）=；
∵＞
∴两组数据的平均数、众数和中位数都不变，方差变小.
故答案为：D.
【分析】平均数是一组数据所有数之和除以数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有只，兔有只，
根据题意，可列方程组为，
故答案为：C．
【分析】设鸡有只，兔有只，根据“ 上有三十五头，下有九十四足 ”列出方程组即可.
9．【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：如图所示：
或 ，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义及判断方法分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：等边三角形的三条边相等，三个角相等，A不符合题意；
等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴，B不符合题意；
角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形或者等腰三角形，C符合题意；
有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定定理与性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是： ，
故答案为：8.
【分析】直接根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得出本题答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，除颜色外其余均相同，
设从布袋中任取一个球，取出黄球为事件A，
，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可求出答案.
14．【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，在弧上任取一点，连接、，
、是的切线，、为切点，
，
，
在四边形中，．
①若点在优弧上，则；
②若点在劣弧上，则，
故答案为：或．
【分析】首先连接、，在弧上任取一点，连接、，根据切线性质可得，再根据四边形内角和可得，分情况讨论：①若点在优弧上，②若点在劣弧上，根据圆周角定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；三角形的中位线定理
16．【答案】解：原式
当时，
原式
17．【答案】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴，
解得：，
把代入方程得：，
即，
解得：，，
∴方程的另一个根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】将方程的根代入方程得到a的方程，解关于a的方程即可得出a的值，将a的值代入原方程，得到x的方程，解方程即可得出另一个根．
18．【答案】（1）解：点M即为所求：
（2）解：如图，点F即为所求：
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长交于点M，则点M即为所求.
（2）连接并延长交的延长线于点F，连接，则点F即为所求.
19．【答案】（1）100，
补全的条形统计图如下图所示：
（2）72
（3）解： （人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人，
∴D组的人数为：，
（2），
故答案为：；
【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图；
（2）用360度乘以B组人数所占的比例即可；
（3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果．
20．【答案】（1）由题意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900，
∴销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式y＝20x+900；
（2）当y＝1300，则1300＝20x+900，
解得x＝20，
答：应购进A品牌的儿童玩具20件．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据设A类为x件，则B类为（30-x）件，从而分别列出利润的式子求和即可；（2）令y=1300，代入（1）中的解析式求解即可．
21．【答案】（1）解：连接，如图：
，，
，，
，
，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图：
，
，
，
，
，
在中，，
设的半径为，则，
，
，
，
，
是的切线，
∴
∵点是以为直径的半圆上一点，
∴
∴
∵
∴
，
，
解得或（舍去），
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根正切定义可得，设的半径为，则，根据边之间的关系可得，代入等式可得，再根据切线性质可得，由圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：猜想，
证明如下：在中，，，，的中点分别为D，E，
∴，，
，则，
，，
，
，
，
将绕点A逆时针旋转，连接，，
根据旋转的性质可得：
，
，
，
，
.
（2）解：，分别取，的中点D，E，
，，
，
，
∴当所在直线经过点B时，，
，
在中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
，
解得：.
【知识点】勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
23．【答案】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．

【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB＝4，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，﹣3），则OC＝3，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），根据两点间距离可得PM＝﹣（n﹣）2+，结合二次函数性质即可求出答案.
1 / 1广东省河源市龙川县登云中学2024年中考一模数学试题
1．（2024·龙川模拟）如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示（　　）
A．收入2万元 B．支出万元 C．支出2万元 D．利润是2万元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入3万元，记作＋3万元，那么万元表示支出2万元；
故答案为：C.
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量 即可求解.
2．（2024·龙川模拟）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．（2024·龙川模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a2＋a3＝a5 B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2
C．a8÷a4＝a4 D．（a＋b）2＝a2＋b2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；
C、a8÷a4＝a4，正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024·龙川模拟）如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图所示：
在中，，
∴∠3+∠1=90°，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】首先得出∠3+∠1=90°，再结合，得出，再利用两直线平行，同位角相等即可得出.
5．（2024·龙川模拟）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】解：中，，，，
∴，
，，．
观察四个选项，选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据锐角三角函数定义即可求出答案.
6．（2024·龙川模拟）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．（2024·龙川模拟）一组数据0，1，1，2，若添加一个数1后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据的平均数==1，众数为1，中位数为（1+1）÷2=1，方差=(1+0+0+1)=；
新的数据的平均数==1，众数为1，中位数是1，方差=(1+0+0+1+0）=；
∵＞
∴两组数据的平均数、众数和中位数都不变，方差变小.
故答案为：D.
【分析】平均数是一组数据所有数之和除以数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．（2024·龙川模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有只，兔有只，
根据题意，可列方程组为，
故答案为：C．
【分析】设鸡有只，兔有只，根据“ 上有三十五头，下有九十四足 ”列出方程组即可.
9．（2024·龙川模拟）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（　　）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：如图所示：
或 ，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义及判断方法分析求解即可.
10．（2024·龙川模拟）下列关于等边三角形的说法不成立的是（　　）
A．等边三角形的三条边相等，三个角相等
B．等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴
C．角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形
D．有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：等边三角形的三条边相等，三个角相等，A不符合题意；
等边三角形三条高线所在的直线是它的三条对称轴，B不符合题意；
角的平分线与对边上的中线或高重合的三角形是等边三角形或者等腰三角形，C符合题意；
有两边相等且有一个角为60°的三角形是等边三角形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定定理与性质逐项进行判断即可求出答案.
11．（2024·龙川模拟）若一个正数的平方根是和，那么　 　．
【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2024·龙川模拟）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为　 　.
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是： ，
故答案为：8.
【分析】直接根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得出本题答案.
13．（2024·龙川模拟）一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，除颜色外其余均相同，从布袋中任取一个球，取出黄球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋中放有4个黑球和6个黄球，除颜色外其余均相同，
设从布袋中任取一个球，取出黄球为事件A，
，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可求出答案.
14．（2024·龙川模拟）如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，在弧上任取一点，连接、，
、是的切线，、为切点，
，
，
在四边形中，．
①若点在优弧上，则；
②若点在劣弧上，则，
故答案为：或．
【分析】首先连接、，在弧上任取一点，连接、，根据切线性质可得，再根据四边形内角和可得，分情况讨论：①若点在优弧上，②若点在劣弧上，根据圆周角定理即可求出答案.
15．（2024·龙川模拟）如图，量筒的液面呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为，则平视点C，点C的高度为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；三角形的中位线定理
16．（2024·龙川模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，
原式
17．（2024·龙川模拟）已知关于x的方程，且方程的一个根为1，求a的值及方程的另一根．
【答案】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴，
解得：，
把代入方程得：，
即，
解得：，，
∴方程的另一个根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】将方程的根代入方程得到a的方程，解关于a的方程即可得出a的值，将a的值代入原方程，得到x的方程，解方程即可得出另一个根．
18．（2024·龙川模拟）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，仅用无刻度的直尺作图：
（1）在上取点M，使四边形为平行四边形；
（2）在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：点M即为所求：
（2）解：如图，点F即为所求：
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长交于点M，则点M即为所求.
（2）连接并延长交的延长线于点F，连接，则点F即为所求.
19．（2024·龙川模拟）为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，
补全的条形统计图如下图所示：
（2）72
（3）解： （人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人，
∴D组的人数为：，
（2），
故答案为：；
【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图；
（2）用360度乘以B组人数所占的比例即可；
（3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果．
20．（2024·龙川模拟）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下：
　 A品牌 B品牌
进价（元/件） 150 120
售价（元/件） 200 150
销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件．
（1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式；
（2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？
【答案】（1）由题意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900，
∴销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式y＝20x+900；
（2）当y＝1300，则1300＝20x+900，
解得x＝20，
答：应购进A品牌的儿童玩具20件．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据设A类为x件，则B类为（30-x）件，从而分别列出利润的式子求和即可；（2）令y=1300，代入（1）中的解析式求解即可．
21．（2024·龙川模拟）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：连接，如图：
，，
，，
，
，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图：
，
，
，
，
，
在中，，
设的半径为，则，
，
，
，
，
是的切线，
∴
∵点是以为直径的半圆上一点，
∴
∴
∵
∴
，
，
解得或（舍去），
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根正切定义可得，设的半径为，则，根据边之间的关系可得，代入等式可得，再根据切线性质可得，由圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值，解方程即可求出答案.
22．（2024·龙川模拟）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
（1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
【答案】（1）解：猜想，
证明如下：在中，，，，的中点分别为D，E，
∴，，
，则，
，，
，
，
，
将绕点A逆时针旋转，连接，，
根据旋转的性质可得：
，
，
，
，
.
（2）解：，分别取，的中点D，E，
，，
，
，
∴当所在直线经过点B时，，
，
在中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
，
解得：.
【知识点】勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
23．（2024·龙川模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
【答案】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．

【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB＝4，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，﹣3），则OC＝3，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设BC的解析式为y＝kx+t，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），根据两点间距离可得PM＝﹣（n﹣）2+，结合二次函数性质即可求出答案.
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