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(共28张PPT)
27.2.3.2切线--切线长定理
及三角形的内接圆
第27章 圆
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理；
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
3.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
教学重点
圆的定义及圆的基本元素的概念，尤其是帮助学生区分相似概念，如弦与直径、优弧与劣弧等。
同圆或等圆中半径相等这一性质的理解和应用，通过多样化的例题让学生熟练掌握该性质在不同情境下的运用。
教学难点
对圆的集合定义的深入理解，通过具体的点的位置判断、动态演示等方式，让学生真正领会平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
灵活运用圆的基本元素的性质解决综合性相关问题，通过逐步引导和练习，提升学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学方法
讲授法：以清晰、准确且生动的语言，向学生系统讲解圆的定义、基本元素的概念及相关性质，确保学生扎实掌握基础知识。在讲解过程中，注重概念的引入和解释，让学生理解知识的来龙去脉。
直观演示法：充分利用多媒体课件、圆规、直尺等工具，通过动态演示、实物操作等方式，直观展示圆的形成过程、各基本元素的特征，帮助学生建立直观且深刻的认识。例如用动画展示圆的集合定义的形成过程。
小组合作探究法：精心组织学生进行小组讨论和合作探究活动，设置有启发性的问题，让学生在交流互动中深化对圆的基本元素的理解，培养学生的合作能力和探究精神。如让小组探究同圆中不同弦长与圆心距离的关系。
练习巩固法：设计针对性强、层次分明的练习题，从基础到提高再到拓展，让学生及时巩固所学知识，逐步提高学生运用知识解决问题的能力。同时，在练习过程中及时反馈和指导，帮助学生查漏补缺。
问题引导法：在教学过程中，适时提出有思考价值的问题，引导学生主动思考、积极探索，培养学生的思维能力。如在讲解圆的基本元素时，提问学生生活中哪些现象可以用这些元素来解释。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
运用多媒体展示生活中各种含有圆的精美图片，如车轮、摩天轮、圆形餐盘、奥运五环等，同时播放一些与圆相关的动态视频，如旋转的风扇、滚动的篮球等。
提问：同学们，在我们五彩斑斓的生活中，圆无处不在。大家仔细观察这些图片和视频，开动脑筋想一想，为什么车轮要做成圆形，而不是三角形、方形等其他形状呢？圆形的车轮在滚动过程中有什么独特的优势呢？
鼓励学生大胆发言，分享自己的想法，然后引导学生进行简单的讨论和交流，引发学生对圆的强烈好奇心和探究欲望，从而自然地引出本节课的课题 —— 圆的基本元素。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
回顾：
P
O
B
A
1.如图所示，直线AB和半径为r的圆O的位置关系是________，有_______个交点，点到圆心的距离OP=_____.
相切
1
r
2.同学们玩过悠悠球吗？悠悠球的旋转的那一瞬间，
你能从中抽象出什么样数学图形？
探究一：切线长定理及应用
问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
O.
P
A
B
P
O
A
可以做两条
过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
●
P
揭示概念：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
思考：切线长与切线的区别在哪里？
问题2：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上点与A重合的点为B.
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
通过上述操作，你发现了什么？请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
发现：PA = PB；∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论！
B
P
O
A
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
归纳总结：
探究二：三角形的内切圆与内心
问题3：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题 4 ：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
问题 5 ：如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
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1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠APB＝60°，则∠AOB的度数为(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
2. [教材P55练习T2]如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为(　　)
A．23
B．22
C．21
D．无法确定
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【点拨】∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AF＝AD＝13，CF＝CE，BD＝BE.
∵AC＝25，∴CF＝AC－AF＝25－13＝12.
∵BC＝35，∴BE＝BC－CE＝35－12＝23.
∴BD＝BE＝23.故选A.
【答案】 A
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D
4．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为________．
135°
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5．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.则
(1)∠BOC＝________；
C
【点拨】如图，连结OF，根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠OBF＋∠OCF＝90°.
∴∠BOC＝90°.
(2)BE＋CG＝________；
10 cm
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(3)⊙O的半径＝________.
4.8 cm
【点拨】连结OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2.
同理得∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，
AB＝AC，∴∠2＋∠3＋∠B＝180°.
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【答案】 B
归纳总结：
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆,☉I是△ABC的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心,点I是△ABC的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.△ABC是☉I的外切三角形.
B
A
C
I
三角形内心的性质：
三角形的内心在三角形的角平分线上，且到三角形三边距离相等.
谢谢观看！

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