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四川省成都市2025届高三第三次诊断性检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.在中，，的角平分线交于点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某地社交媒体用户的日活跃时长单位：小时服从正态分布，则( )
A. ，
B. 若，则
C.
D.
10.对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关则( )
A. 若，，，则，，线性相关
B. 若，，，则，，线性无关
C. 若，，线性无关，则，，线性相关
D. 对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关
11.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音已知纯音的数学模型是函数复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等即我们听到的声音的函数是则( )
A. 的图像关于对称
B. 在上有个极大值点，个极小值点
C.
D. 在上恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的离心率为__________．
13.若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
14.如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到个开关全部闭合，则最先亮起的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至下图为年年末常住人口城镇化率的折线图．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系请建立关于的回归方程
从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，．
16.本小题分
已知正项数列的前项的和为，且．
求，
证明：是等差数列
求数列的前项的和．
17.本小题分
如图，在矩形中，，，为中点，将沿翻折至，使得．
证明：平面平面
线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数
讨论的单调性
若有两个零点，为的导函数．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)记较小的一个零点为证明：．
19.本小题分
如图，在直角坐标系中，已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且满足．
求的值
已知点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，直线交轴于点，交直线于点抛物线在，处的切线交于点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，．
(ⅰ)求证：点为定点
(ⅱ)记，的面积分别为，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设年份代码的平均数为，则，
设常住人口城镇化率的平均数为，
则，
因为，
，
所以，
所以．
所以关于的回归方程为．
由题意可知，的取值可能为，，，
因为
．
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
16.解：由，
令，有，因为，所以．
令，有，即，
由，解得．
所以，．
当时，由，
代入，
化简得，
即，
所以是首项为，公差为的等差数列．
由可知．
因为是正项数列，
所以，从而．
由，
所以．
所以数列的前项的和．
17.解：如图，设线段的中点为，线段的中点为，
连接，，．
因为为中点，所以．
又因为是等腰底边上的中线，所以．
同理可得．
因为是矩形，所以，．
因为，是中点，所以是梯形的中位线．
所以，从而．
因为平面，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，平面，和相交
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
易得由可知平面，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，
设，则．
可得．
由平面，得平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则，，
化简得，解得或舍．
所以当时，直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：函数的定义域为，
，
当时，，函数在单调递减
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增．
综上所述，当时，函数在单调递减
当时，函数在上单调递减，在单调递增．
若，由知，至多有一个零点
若，由知，当时，取得最小值，
最小值为
因为当时，
当时，，
所以函数有两个零点当且仅当．
设，函数在单调递增．
因为，的解集为．
综上所述，的取值范围是．
因为，
由，结合知，
要证，即证，
即，
当时，因为，，不等式恒成立
当时，由，得．
即证．
即证
．
即证．
设，，
由，
所以在单调递增．
所以，
故原不等式成立所以．
19.解：由题意，直线斜率必存在，
设，，，
联立得，
所以，．
由．
解得或舍，
所以．
直线斜率必存在，设，，，
联立得，所以．
同理．
又因为，所以．
直线斜率必存在，设，
联立得，
所以，解得，
所以直线过定点．
即的坐标为．
由，且，，
得．
所以直线的方程为．
由直线与直线相交，可得
联立，解得．
因为抛物线方程为，所以．
抛物线在点处切线方程为．
所以，同理．
又，
所以的中点为．
联立得，
由及，所以．
过作平行于轴的直线交于点，则．
所以
，
当且仅当时，即直线方程为或时等号成立．

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