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2025年河北省省级联考高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知是等差数列，，与是方程的两根，则的前项和为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆锥体积的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部是 B. C. D.
10.已知函数，当时，恒成立，则( )
A. 在上单调递增 B. 有极大值
C. 的极小值点为 D. 只有一个零点
11.甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是：，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利比赛无平局，则( )
A. 甲获胜的概率为
B. 两人比赛局结束的概率为
C. 在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是
D. 在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与圆：交于，两点，过，分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是______．
13.已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：______．
14.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若以，为直径的圆分别与轴切于点，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，三个内角，，的对边分别为，，，，．
若，求；
若边上的高，求的周长．
16.本小题分
如图，在体积为的四棱台中，底面是菱形，，，，分别是四边形和四边形对角线的交点，且平面．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点，．
求的值；
设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于，两点，且直线，与直线交于，两点，证明：点在以为直径的圆上．
18.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
当时，恒成立，求实数的取值范围；
对任意，，，证明：．
19.本小题分
形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知数的系数，是常数，则称元有序数组为不定方程的解给出不定方程：，对于方程的一组正整数解，当，时，若，则称正整数解为方程的极值的一组解．
方程中有多少组极值的解；
求的最小值；
在的前提下，求时方程的极值的概率．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以由余弦定理得：，
得，
因为，
由解得舍或，
由正弦定理得，得，
解得；
因为，边上的高，
所以，
所以，
所以．
由余弦定理得：，得，
所以，，
所以的周长为．
16.解：证明：由已知得．
设，上底面的面积，下底面的面积，
，
解得，
，
，
即，
平面，平面，
，
又，，平面，平面，
，
，平面，且，
平面．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由知，
．
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，
，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点，．
设，直线与圆切于点，所以，
则
．
证明：由知点的轨迹为椭圆，
设该椭圆方程为，则，，
所以曲线的方程为．
当直线轴时，不妨令，，
则，直线的方程为，，，
同理，所以，
所以点在以为直径的圆上；
当直线不垂直于轴时，设，，直线的方程为，
代入：中，整理得，
所以，，
直线的方程为，即，
所以，同理，
又，
所以，
所以，所以点在以为直径的圆上．
综上所述，点在以为直径的圆上．
18.解：当时，函数，
导函数恒成立，
所以函数在上单调递增，又，
所以的解集为．
导函数，
根据，得，
如果根的判别式，解得，此时恒成立，
所以函数在上单调递增，所以；
如果根的判别式，解得或，
因为，所以当时，导函数，函数在上单调递增，
所以；
当时，根据，解得，
所以函数在上单调递减，
所以，不恒成立．
所以当时，恒成立，．
证明：取，根据第一问知，
当时，函数，
所以，所以．
因此只需证明，
设函数，
所以导函数
，
因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，
所以，所以成立，
即成立．
19.解：已知形如的方程叫不定方程，
其中是方程中未知数的系数，是常数，
则称元有序数组为不定方程的解．
若，则称正整数解为方程的极值的一组解，
，
是极值时，，，，中有三个和三个，
即有组极值的解．
，
的方差，
，
为常数，
当方差最小时最小．
当时，即是方程的极值的一组解时，方差最小，即最小，
当时，不是整数舍去，
此时．
考虑是方程的极值的一组解时的一种情况，
由知有组，
若化为极值，只需将个位中的一个减去，加到另一个上，或是将个位中的一个减去一个上，
即个位化为，，，，，或是，，，，，，
则方程的极值的个数为．
极值是极值中的个个位减去，加到个上；
或是一个减去，另两个各加；
或是两个各减加到另一个上，
其个位形式为，，，，，或是，，，，，或是，，，，，
或是，，，，，或是，，，，，．
其个数为，
在的前提下，时方程的极值的概率．
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