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2025年江西省景德镇市高考数学第三次质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，为虚数单位则的最大值是( )
A. B. C. D.
3.函数为偶函数的充要条件是( )
A. B. C. D.
4.设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 存在一对异面直线，，，，，，则
5.双曲线的右焦点为，过右顶点向轴引垂线与的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为( )
A. B. C. D.
6.如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，斜率为的直线经过原点且与的图象相切，已知的值从大到小排列依次为，，，下列两个结论：；，则( )
A. 错误正确 B. 正确错误 C. 均正确 D. 均错误
8.动圆经过直线：与：的交点，，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 的展开式中所有项系数的和为，则
B. 已知，则
C. 已知向量，若，则的值为
D. 已知正数，满足，则
10.已知为抛物线：的焦点，是上位于第一象限的一点，，过点的直线与交于，两点在线段上，且，则( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线，斜率之和为
C. D.
11.表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是( )
A.
B. 为周期函数
C. 若，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则在区间上的值域为______．
13.已知三棱锥的各顶点均在半径为的球球面上，，，则三棱锥体积的最大值为______．
14.一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点第次落在顶点”，为的对立事件，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、分别是等差数列前项和公式：和等比数列的前项和，，，，．
求数列和的通项公式；
若为递增数列，，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，平面四边形为“箏型”，其中，，将平面沿着翻折得到三棱锥如图，为的中点．
证明：平面平面；
如图，若，，，求平面与平面的夹角的正弦值．
17.本小题分
年月下旬，的模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长单位：分钟，得到如图所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”．
估计该产品用户每日的平均使用时长同一组的数据用该组区间的中点值代替；
现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望．
用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，．
求的方程；
记的左顶点为，求面积的最大值；
设，直线，分别交于，两点，证明：直线过定点．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在上的单调区间；
若存在经过坐标原点的直线与的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标；
若在区间与上均存在零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为、分别是等差数列前项和公式：
和等比数列的前项和，
且，，，，
所以，所以，
又，解得．
又，
所以，所以，
解得，或，
所以或；
因为为递增数列，所以，
所以，，
所以，
所以，
所以．
16.解：证明：根据题意可知，，为的中点，所以，
又因为，为的中点，所以，，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
如图以为坐标原点，分别以，为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
取中点，连接，因为，所以，
由上问可知平面，所以，故平面，
因为，，所以，又，所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
同理可求得平面法向量，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值是．
17.解：由，解得．
；
由频率分布直方图可知，与的用户数之比为：，
所以用分层抽样抽取的人中，有人是忠实粉丝，从人中任取人，可取，，
，，
所以的分布列为
所以；
用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取人，他为忠实粉丝的概率为，
所以，
，
，
解得：，又，故时概率最大为．
18.解：设，
因为椭圆的离心率为，
所以，，
将代入椭圆方程中，
解得，
所以当垂直于轴时，，
又，，
解得，，，
则椭圆的方程为；
已知，，
显然与轴不重合，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
此时，
则面积，
因为，
当且仅当，
即时，等号成立，
则面积的最大值为；
证明：设，，，，直线，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
则，
即，
同理得，
根据对称性，直线过定点，
所以，
因为，，
所以，
即，
解得．
则直线过定点．
19.解：当时，，，
令，解得或．
当时，在区间上单调递增，
同理在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，的单调递增区间是和，
的单调递减区间是．
根据题目：存在经过坐标原点的直线与的导函数图象相切，
设，，
过点的切线方程为，
当切点为原点时，，此时切线方程为；
当切线经过原点时，
，
将原点代入，并整理得，，其中．
当为奇数时，，当为偶数时，，
即经过坐标原点与的导函数图象相切的直线方程为：
：，切点横坐标为；
：，切点横坐标为，，
：，切点横坐标为，．
由题：在区间与上均存在零点，
，，当时，
，即在区间上单调递增，
又，此时，在区间上无零点．
当时，令解得，假设，或．
当时，单调递增，
同理当时单调递减，当时单调递增．
，且在上单调递减，
要使得在区间上存在零点，则，解得．
在区间上单调递减，，
且在上单调递增，要使得在区间上存在零点，
则，解得．
综上所述，的取值范围是．
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