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第六章 平行四边形
6.2.2平行四边形的判定2
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1 探索并证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；
2 应用平行四边形的判定定理解决问题.
情景导入
判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
核心知识点一：
平行四边形的判定定理3
小明将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD，小明高兴地说：‘’这的确是个平行四边形！”
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形
你能证明他的猜想吗？
探索新知
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知),
OB=OD (已知),
∠AOB=∠COD (对顶角相等),
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴ ∠BAO=∠OCD ，∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
C
B
O
D
探索新知
归纳总结
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC,OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
文字语言
符号语言
图形语言
平行四边形的判定定理3
探索新知
例:已知,如图,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．求证:四边形BFDE是平行四边形吗？
证明: 如图,连接BD，交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC,OB=OD.
又∵AE=CF
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
　（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
探索新知
核心知识点二：
平行四边形的判定定理4
思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
探索新知
已知：如图，在四边形ABCD中∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A =∠C，∠B =∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°.
∴AD∥CB，
同理可得：AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
探索新知
平行四边形的判定定理四
A
B
C
D
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵ ∠A=∠C,∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结
文字语言
符号语言
图形语言
探索新知
从边来判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
探索新知
当堂检测
1.在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是( ) .
D
A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等
2.已知点 ，点 ，点 ，以点 ， ， 三点为顶点
画平行四边形，则第四个顶点不可能在( ) .
C
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
当堂检测
3.如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列条件中能判
定这个四边形是平行四边形的是( ) .
C
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4.下列说法不正确的是( ) .
D
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角相等，邻角互补
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对角互补的四边形是平行四边形
当堂检测
5.如图， 四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，
E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则四边形ABCD 的周长
为（ ）.
A.32　　　 B.16 C.8 D.4
6.如图，在平行四边形 中， ， 平分
交 于点 ， 交 于点 ，则 ( ) .
B
A． B． C． D．
B
当堂检测
C
7．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )．
A．AB∥DC，AB＝DC　
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
当堂检测
8．下列命题中所有真命题的序号是( )．
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
A．①② B．①③
C．②③④ D．①②③④
B
当堂检测
C
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在下列条件中：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD.
能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有( )．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
当堂检测
10.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( )．
A．一组对边平行且相等的四边形
B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形
D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
D
当堂检测
D
11.学行四边形的相关知识后，小明采用下列方法钉制了一个平行四边形框架．如图，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，然后用木条将AB，BC，CD，DA分别钉起来．此时四边形ABCD即为平行四边形，这样做的依据是( )．
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
当堂检测
12.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，交AB，CD于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC. 又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC 的平分线，∴∠ABF＝∠CDE. ∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF.∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．
当堂检测
(2)若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．
(2)解：∵∠A＝60°，AB∥CD，∴∠ADC＝120°.
∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，∴AE＝AD.∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，∵AE＝2EB，∴EB＝2，
在Rt△DGE中，∵∠DEG＝60°，∴∠GDE＝30°，
∴GE＝DE＝×4＝2，∴BG＝GE＋BE＝2＋2＝4，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°， ∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB·DG＝6×2＝12.
当堂检测
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC.
(1)若△ABE的周长为10 cm，求平行四边形ABCD的周长；
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵OE⊥AC，∴AE＝CE.
故△ABE的周长为AB＋BC＝10 cm，根据平行四边形的对边相等，得 ABCD的周长为2×10＝20(cm)．
当堂检测
(2)若∠ABC＝78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数．
(2)∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠ABC＝78°，AE 平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴3∠ACE＋78°＝180°，∴∠ACE＝34°.
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠EAC＝∠ECA＝34°.
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
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