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广东省深圳市坪山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2024八下·坪山期末）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·坪山期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·坪山期末）若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·坪山期末）如图，沿着方向平移，得到，若，，那么（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2024八下·坪山期末）如图，在中，已知，平分交边于点E，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·坪山期末）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．45°
7．（2024八下·坪山期末）图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（　　）
A． B．70 C． D．80
8．（2024八下·坪山期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·坪山期末）如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·坪山期末）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2024八下·坪山期末）把多项式 分解因式的结果是　 　．
12．（2024八下·坪山期末）若关于x的分式方程，则该方程的解x的值为　 　．
13．（2024八下·坪山期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为　 　．
14．（2024八下·坪山期末）某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则七年级学生参加活动的人数至多是　 　名
15．（2024八下·坪山期末）如图，在中，，过点作，延长到点，使得，连接，，若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7题，共55分．）
16．（2024八下·坪山期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
17．（2024八下·坪山期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八下·坪山期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为、、．
（1）将沿水平方向向左平移个单位得，请画出；
（2）画出关于原点成中心对称的，此时的坐标为 ．
19．（2024八下·坪山期末）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
20．（2024八下·坪山期末）发现与探索规律：
（1）用“”“”或“”填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
（2）观察以上各式，请你用一个含有字母a，b的式子表示上述的规律 ．
21．（2024八下·坪山期末）【项目式学习】：根据以下素材，探索完成任务．
销售材料
素材1 某商场推出了两款运动鞋：运动鞋A和运动鞋B．一双运动鞋A的售价比一双运动鞋B的售价贵20元，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元．
素材2 商场销售A运动鞋共获利润1800元，B运动鞋共获利润2000元，其中一双A运动鞋的利润是一双B运动鞋的倍，A运动鞋比B运动鞋少卖10双．
问题解决
任务1 确定运动鞋的 一双A运动鞋售价是 元；一双B运动鞋的售价是 元．
任务2 确定运动鞋的进价 一双A运动鞋和一双B运动鞋的进价各是多少？（一双鞋利润＝一双鞋售价﹣一双鞋进价＝）
任务3 拟定最佳销售方案 该商场打听到某企业欲购买运动鞋500双，购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，该商场销售部如何配置运动鞋的数量，可以使得该笔交易获利最大？此时购买的金额为多少元？
22．（2024八下·坪山期末）问题背景：和都是等腰直角三角形，．
（1）问题探究：连接与，与交点为F．
①如图1，与的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），与的位置关系是 （填“平行”或“垂直”）；
②如图2，M、N分别是与的中点， ；
（2）问题拓展：当等腰直角旋转到如图3位置，连接，点H为中点，当B、C、D三点共线时，若，，请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，A不符合题意；
B．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，B不符合题意；
C．，由左边到右边的变形属于因式分解，C符合题意；
D．，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，D符合题意．
故答案为：C．
【分析】满足因为分解的条①对象为 一个多项式；②结果几个整式的积，即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，原说法错误，A不符合题意；
B、若，则，原说法正确B，符合题意；
C、若，则，原说法错误，C不符合题意；
D、若，则，原说法错误，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】不等式的基本性质，1.等式左右两边同时加或减一个数，不等式不变；2.等式左右两边同时乘或除一个正数，不等式不变；3.等式左右两边同时乘或除一个负数，不等式改变。根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
4．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质，
得平移的距离，
∴．
故答案为：C．
【分析】观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离CF，进而可得答案．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∵CD=BD，
∴∠B=∠BCD=30°.
∵∠B=30°，∠A=55°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=65°，
故答案为：A.
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由∠B=30°、∠A=55°知∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可．
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作于E，过B作于F，
点A与B之间的距离为，可以通过闸机的物体的最大宽度是，
，
在中，，
故答案为：B．
【分析】过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到双翼的边缘（）的长度．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程．
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故答案为：C．
【分析】从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合，即可以直接判断本题的答案．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故答案为：C．
【分析】判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
11．【答案】（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为（a+2）（a-2）．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
12．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以x，得，
移项并合并，得，
两边同时乘以，得，
检验：当时，最简公分母，
∴是原方程的解，
故答案为：1．
【分析】通过化分式方程为整式方程，再移项和合并同类项，再进行检验、求解．
13．【答案】
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形内角和，
所以每个内角度数，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，先根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数为120°，然后根据周角求出答案．
14．【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解： 设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x，根据题意，得 ： 20( 30- x ) +15x≥500，解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名.
故答案为：20.
【分析】设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x， 根据所收集的塑料瓶总数不少于500个，了列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得到结论.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点分别作于点，交的延长线于点，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【分析】过点分别作于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，可得，，再利用证明可求得，，再利用勾股定理可求解的长．
16．【答案】解：
由①得
x＜3；
由②得
x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x＜3；
此不等式组的解集在数轴上表示为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后将其解集在数轴上表示出来.
17．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；点的坐标是．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移方法，将△ABC的各个顶点向左平移4个单位，可得到对应点A1，B1，C1，然后画出△A1B1C1.
（2）利用关于原点对称点的坐标特点，分别作出点A、B、C关于原点对称的点A2，B2，C2，然后画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
19．【答案】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
20．【答案】（1）①；②；③；④；⑤
（2）
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）①，
②，
③，
④，
⑤；
故答案为：，，，，；
（2）观察以上各式，知：．
故答案为：．
【分析】（1）分别计算左边两数的平方和与右边两数乘积的2倍即可得；
（2）由（1）中计算结果知．
（1）解：①，
②，
③，
④，
⑤；
故答案为：，，，，；
（2）观察以上各式，知：．
故答案为：．
21．【答案】解： 任务1：【第1空】200；
【第2空】180；
任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程组的解，也符合题意，
∴一双A运动鞋进价是140元，一双B运动鞋进价是130元；
任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元，
∵购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，
∴，解得：，
而，
∵，
∴w随t的增大而增大，
∴当时，w取最大值，最大值为（元），
此时，
∵（元），
∴此时购买的金额为97500元，
∴商场销售部配置A运动鞋375双，B运动鞋125双，可以使得该笔交易获利最大，此时购买的金额为97500元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是元，
根据题意得：，解得：，
∴，
∴一双A运动鞋售价是200元，一双B运动鞋的售价是180元，
故答案为：200，180；
【分析】任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是元，根据，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元得：，即可解得答案；
任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元，根据题意得：，解方程组并检验即可解答；
任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元，由购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，得，故，而，再根据一次函数性质求解即可．
22．【答案】（1）①【第1空】相等； [第2空】垂直；②45.
（2）解：如图3，当C在上时，作于R，延长至W，使，
∴，
∵，
，
，
，
∵H是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，当点C在的延长线上时，作于R，
同理，
∴，
综上所述：的长为 2或4．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)①如图1，设与交于点O，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：相等，垂直；
②如图2，连接，
由①知，，
∵M、N分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：45；
【分析】（1）①可证得，从而，进一步得出结果；②连接，可证得，从而，进一步得出结果；
（2）当C在上时，作于R，延长至W，使，结合勾股定理可求得，再证四边形是平行四边形，可得，可得，可证得，从而，即可得出的值；当点C在的延长线上时，同样的方法得出的值．
（1）解：①如图1，设与交于点O，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：相等，垂直；
②如图2，连接，
由①知，，
∵M、N分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：45；
（2）解：如图3，当C在上时，作于R，延长至W，使，
∴，
∵，
，
，
，
∵H是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，当点C在的延长线上时，作于R，
同理，
∴，
综上所述：的长为 2或4．
1 / 1广东省深圳市坪山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2024八下·坪山期末）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
2．（2024八下·坪山期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，A不符合题意；
B．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，B不符合题意；
C．，由左边到右边的变形属于因式分解，C符合题意；
D．，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，D符合题意．
故答案为：C．
【分析】满足因为分解的条①对象为 一个多项式；②结果几个整式的积，即可得答案.
3．（2024八下·坪山期末）若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，原说法错误，A不符合题意；
B、若，则，原说法正确B，符合题意；
C、若，则，原说法错误，C不符合题意；
D、若，则，原说法错误，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】不等式的基本性质，1.等式左右两边同时加或减一个数，不等式不变；2.等式左右两边同时乘或除一个正数，不等式不变；3.等式左右两边同时乘或除一个负数，不等式改变。根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
4．（2024八下·坪山期末）如图，沿着方向平移，得到，若，，那么（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质，
得平移的距离，
∴．
故答案为：C．
【分析】观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离CF，进而可得答案．
5．（2024八下·坪山期末）如图，在中，已知，平分交边于点E，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
6．（2024八下·坪山期末）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∵CD=BD，
∴∠B=∠BCD=30°.
∵∠B=30°，∠A=55°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=65°，
故答案为：A.
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由∠B=30°、∠A=55°知∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可．
7．（2024八下·坪山期末）图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（　　）
A． B．70 C． D．80
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作于E，过B作于F，
点A与B之间的距离为，可以通过闸机的物体的最大宽度是，
，
在中，，
故答案为：B．
【分析】过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到双翼的边缘（）的长度．
8．（2024八下·坪山期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程．
9．（2024八下·坪山期末）如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故答案为：C．
【分析】从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合，即可以直接判断本题的答案．
10．（2024八下·坪山期末）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故答案为：C．
【分析】判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2024八下·坪山期末）把多项式 分解因式的结果是　 　．
【答案】（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为（a+2）（a-2）．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
12．（2024八下·坪山期末）若关于x的分式方程，则该方程的解x的值为　 　．
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以x，得，
移项并合并，得，
两边同时乘以，得，
检验：当时，最简公分母，
∴是原方程的解，
故答案为：1．
【分析】通过化分式方程为整式方程，再移项和合并同类项，再进行检验、求解．
13．（2024八下·坪山期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形内角和，
所以每个内角度数，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，先根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数为120°，然后根据周角求出答案．
14．（2024八下·坪山期末）某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则七年级学生参加活动的人数至多是　 　名
【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解： 设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x，根据题意，得 ： 20( 30- x ) +15x≥500，解得：x≤20，
∴x的最大值为20，
即七年级学生参加活动的人数至多是20名.
故答案为：20.
【分析】设八年级有( 30 - x）名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为x， 根据所收集的塑料瓶总数不少于500个，了列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得到结论.
15．（2024八下·坪山期末）如图，在中，，过点作，延长到点，使得，连接，，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点分别作于点，交的延长线于点，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【分析】过点分别作于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，可得，，再利用证明可求得，，再利用勾股定理可求解的长．
三、解答题（本大题共7题，共55分．）
16．（2024八下·坪山期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】解：
由①得
x＜3；
由②得
x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x＜3；
此不等式组的解集在数轴上表示为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后将其解集在数轴上表示出来.
17．（2024八下·坪山期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
18．（2024八下·坪山期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为、、．
（1）将沿水平方向向左平移个单位得，请画出；
（2）画出关于原点成中心对称的，此时的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；点的坐标是．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移方法，将△ABC的各个顶点向左平移4个单位，可得到对应点A1，B1，C1，然后画出△A1B1C1.
（2）利用关于原点对称点的坐标特点，分别作出点A、B、C关于原点对称的点A2，B2，C2，然后画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
19．（2024八下·坪山期末）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
【答案】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
20．（2024八下·坪山期末）发现与探索规律：
（1）用“”“”或“”填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
（2）观察以上各式，请你用一个含有字母a，b的式子表示上述的规律 ．
【答案】（1）①；②；③；④；⑤
（2）
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）①，
②，
③，
④，
⑤；
故答案为：，，，，；
（2）观察以上各式，知：．
故答案为：．
【分析】（1）分别计算左边两数的平方和与右边两数乘积的2倍即可得；
（2）由（1）中计算结果知．
（1）解：①，
②，
③，
④，
⑤；
故答案为：，，，，；
（2）观察以上各式，知：．
故答案为：．
21．（2024八下·坪山期末）【项目式学习】：根据以下素材，探索完成任务．
销售材料
素材1 某商场推出了两款运动鞋：运动鞋A和运动鞋B．一双运动鞋A的售价比一双运动鞋B的售价贵20元，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元．
素材2 商场销售A运动鞋共获利润1800元，B运动鞋共获利润2000元，其中一双A运动鞋的利润是一双B运动鞋的倍，A运动鞋比B运动鞋少卖10双．
问题解决
任务1 确定运动鞋的 一双A运动鞋售价是 元；一双B运动鞋的售价是 元．
任务2 确定运动鞋的进价 一双A运动鞋和一双B运动鞋的进价各是多少？（一双鞋利润＝一双鞋售价﹣一双鞋进价＝）
任务3 拟定最佳销售方案 该商场打听到某企业欲购买运动鞋500双，购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，该商场销售部如何配置运动鞋的数量，可以使得该笔交易获利最大？此时购买的金额为多少元？
【答案】解： 任务1：【第1空】200；
【第2空】180；
任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程组的解，也符合题意，
∴一双A运动鞋进价是140元，一双B运动鞋进价是130元；
任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元，
∵购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，
∴，解得：，
而，
∵，
∴w随t的增大而增大，
∴当时，w取最大值，最大值为（元），
此时，
∵（元），
∴此时购买的金额为97500元，
∴商场销售部配置A运动鞋375双，B运动鞋125双，可以使得该笔交易获利最大，此时购买的金额为97500元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是元，
根据题意得：，解得：，
∴，
∴一双A运动鞋售价是200元，一双B运动鞋的售价是180元，
故答案为：200，180；
【分析】任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是元，根据，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元得：，即可解得答案；
任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元，根据题意得：，解方程组并检验即可解答；
任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元，由购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，得，故，而，再根据一次函数性质求解即可．
22．（2024八下·坪山期末）问题背景：和都是等腰直角三角形，．
（1）问题探究：连接与，与交点为F．
①如图1，与的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），与的位置关系是 （填“平行”或“垂直”）；
②如图2，M、N分别是与的中点， ；
（2）问题拓展：当等腰直角旋转到如图3位置，连接，点H为中点，当B、C、D三点共线时，若，，请求出线段的长．
【答案】（1）①【第1空】相等； [第2空】垂直；②45.
（2）解：如图3，当C在上时，作于R，延长至W，使，
∴，
∵，
，
，
，
∵H是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，当点C在的延长线上时，作于R，
同理，
∴，
综上所述：的长为 2或4．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)①如图1，设与交于点O，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：相等，垂直；
②如图2，连接，
由①知，，
∵M、N分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：45；
【分析】（1）①可证得，从而，进一步得出结果；②连接，可证得，从而，进一步得出结果；
（2）当C在上时，作于R，延长至W，使，结合勾股定理可求得，再证四边形是平行四边形，可得，可得，可证得，从而，即可得出的值；当点C在的延长线上时，同样的方法得出的值．
（1）解：①如图1，设与交于点O，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：相等，垂直；
②如图2，连接，
由①知，，
∵M、N分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：45；
（2）解：如图3，当C在上时，作于R，延长至W，使，
∴，
∵，
，
，
，
∵H是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，当点C在的延长线上时，作于R，
同理，
∴，
综上所述：的长为 2或4．
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