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第四章　数列
章末整合提升
知识体系构建
核心知识归纳
1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用．
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用．
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题．
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．
2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
要点专项突破
[答案]　A
要点一
求数列的通项公式
2.等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解析]　(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
要点二
等差、等比数列的基本量运算
要点三
等差(等比)数列的判定或证明
4.已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
要点四
等差、等比数列的性质
5.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( )
A．30 B．45
C．90 D．186
[答案]　C
要点五
数列求和
7.设数列{an}为1，2x，3x2，4x3，…，nxn－1，…(x≠0)，求此数列前n项的和．
[分析]　这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法．
要点六
归纳—猜想—证明
1．(2023·广西河池市高二期末(文))已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－an－2，则S101＝( )
A．－97 B．－98
C．－99 D．－100
[答案]　C
[解析]　由an＋1＝－an－2，有an＋an＋1＝－2，则S101＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a100＋a101)＝1－2×50＝－99.故选C.
即|时|巩|固
[答案]　C
[答案]　B
[解析]　(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2，
所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，
所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.
6．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
(2)依题意及(1)知，b1＝0，当2n≤m<2n＋1时，bm＝n，又26＝64<100,27＝128>100，故bm≤6.
当21≤m<22时，bm＝1，即b2＝b3＝1；当22≤m<23时，bm＝2，即b4＝b5＝b6＝b7＝2；当23≤m<24时，bm＝3，即b8＝b9＝…＝b15＝3；…；当26≤m<27时，bm＝6，即b64＝b65＝…＝b100＝6.
故S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)
＝1×0＋2×1＋22×2＋23×3＋24×4＋25×5＋(100－64＋1)×6
＝480.
所以S100＝1×0＋1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.
7．(2024·天津卷)已知数列{an}是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn.若a1＝1，S2＝a3－1.
(1)求数列{an}前n项和Sn；
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q>0，
因为a1＝1，S2＝a3－1，即a1＋a2＝a3－1，
可得1＋q＝q2－1，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
bn－1＝bak＋(ak＋1－ak－1)·2k＝k＋2k(2k－1－1)＝k(2k－1)，
可得bn－1－ak·bn＝k(2k－1)－(k＋1)2k－1＝(k－1)2k－1－k≥2(k－1)－k＝k－2≥0，
当且仅当k＝2时，等号成立，所以bn－1≥ak·bn；
(ⅱ)由(1)可知：Sn＝2n－1＝an＋1－1，
若n＝1，则S1＝1，b1＝1；
若n≥2，则ak＋1－ak＝2k－1，
当2k－1考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( D )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[答案]　D
[解析]　因为S3＝＝＝6，所以a1＝4，所以2d＝－4，d＝－2.
2．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－，则a2 023的值为( C )
A．5 B．
C．－ D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　∵a1＝－，an＝1－，
∴a2＝1－＝5，
a3＝1－＝，
a4＝1－＝－＝a1，
∴数列{an}是以3为周期的数列，
∴a2 023＝a1＝－，
故选C.
3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝( B )
A．2 B．4
C． D．2
[答案]　B
[解析]　由已知得：a1q2＝1，a1q＋a1q3＝，
∴＝，q2－q＋1＝0，∴q＝或q＝2(舍)，
∴a1＝4.
4．大衍数列0,2,4,8,12,18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为an＝则a100－a101＝( B )
A．－101 B．－100
C．100 D．101
[答案]　B
[解析]　an＝故a100－a101＝－＝－100.
故选B.
5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为( C )
A．11小时 B．14小时
C．17小时 D．20小时
[答案]　C
[解析]　检测第n次时，给药时间为bn，则{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，则bn＝b1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
设当给药时间为3n－1小时的时候，患者的血药浓度为an，血药浓度峰值为a，则数列{an}是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以an＝a×0.4n－1，
令an＝0.010 24a，即0.4n－1＝0.45，解得n＝6，
所以当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为b6＝3×6－1＝17.
故选C.
6．(2023·天津卷)已知为等比数列，Sn为数列的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( C )
A．3 B．18
C．54 D．152
[答案]　C
[解析]　由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，　　①
当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，　　　　②
联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54.
故选C.
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( B )
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
[答案]　B
[解析]　依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则由题意可知，
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，
则a－2d＝a－2×＝a＝.故选B.
8．在公比不为1的等比数列{an}中，对任意n∈N*，，，成等差数列，a1＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝( B )
A．－ B．
C．2－ D．3－
[答案]　B
[解析]　由已知得＝＋，
即＝＋，
消去2an＋an＋1，得＝3＋，即3q2－4q＋1＝0，
解得q＝或q＝1(舍去)，
∴Sn＝＝，
故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知数列{an}是等差数列，若a1＝3，a2，a5－3，a6＋6成等比数列，则数列{an}的公差为( 　 )
A．－3 B．3
C．2 D．－
[答案]　BD
[解析]　依题意设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝3，a2，a5－3，a6＋6成等比数列，
所以(a5－3)2＝a2×(a6＋6)，
即(3＋4d－3)2＝(3＋d)(3＋5d＋6)，
所以11d2－24d－27＝0，
即(11d＋9)(d－3)＝0，
所以d＝3或－.
10．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值为( 　 )
A．1 B．－
C． D．－1
[答案]　AC
[解析]　因为数列{an}是等差数列，
所以设数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，
则a2n＝a1＋(2n－1)d，
所以＝，
因为是一个与n无关的常数，
所以a1－d＝0或d＝0，
所以可能是或1.
11．已知数列{an}，{bn}满足i＝2n＋1－2，bn＝log2a2n＋1，则以下结论正确的是( 　 )
A．数列{abn}为等比数列
B．数列{ban}为等差数列
C．用xn表示集合{m}中元素个数，则xn＝2n＋1－2n
D．把数列{an}，{bn}中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第2 023项为4 025
[答案]　ACD
[解析]　an＝i－i＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，n≥2，当a1＝22－2＝2，满足通项公式，
故an＝2n，从而得bn＝log2a2n＋1＝log222n＋1＝2n＋1，
对选项A：令cn＝abn＝22n＋1，得＝4，正确；
对选项B：令dn＝ban＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，dn＋1－dn＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，数列{ban}不为等差数列，错误；
对选项C：xn＝2n＋1－2n－1＋1＝2n＋1－2n，正确；
对选项D：211<4 025<212，组成的新数列含有数列{an}的项为2,22,23，…，210,211共11项，所以新数列含有数列{bn}的项为b1，b2，…，b2 012，故所求新数列的第2 023项为b2 012＝4 025，正确．
故选ACD.
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，将数列{an}和{bn}中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{cn}，则下列结论正确的是( 　 )
A．c12＝16
B．数列{cn}中bn与bn＋1之间共有2n－1项
C．b2n＝a2n
D．bn＝c2n－1＋n－1
[答案]　AB
[解析]　由题意可知：数列{an}的前n项和Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；经检验，当n＝1时也满足，所以an＝2n－1；
又因为数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，所以bn＝2n.
则数列{cn}为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23，…，
所以c12＝16，故选项A正确；
数列{an}是由连续奇数组成的数列，bn，bn＋1都是偶数，所以bn与bn＋1之间包含的奇数个数为＝2n－1，故选项B正确；
因为bn＝2n，则b2n＝22n为偶数，但a2n＝2×2n－1＝2n＋1－1为奇数，所以b2n≠a2n，故选项C错误；
因为bn＝2n，前面相邻的一个奇数为2n－1，令ak＝2n－1＝2k－1，解得k＝2n－1，
所以数列{cn}从1到2n共有项，也即c2n－1＋n＝2n＝bn，故选项D错误，
故选AB.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________.
[答案]　3
[解析]　在等比数列{an}中，
因为a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，
所以a4－a3＝2S3＋1－(2S2＋1)
＝2(S3－S2)＝2a3，
所以a4＝3a3，所以q＝＝3.
14．在4×4的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是________.
* 13
13
13
39
[答案]　5
[解析]　
* A 13
13
13 B C
39
如图，设*号的空格上填的实数为x，第一行第三列所填数为A，
第三行第二列、第三列所填数分别为B，C，则A＝，B＝26－x.
进而有第三列的公差为d＝＝，从而C＝A＋2d＝.
又13，B，C成等差数列，得2(26－x)＝13＋，
解得x＝5.
15．数列{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.
[答案]　
[解析]　依题意，得＝＝＝.
16．如图一垛正方体，若共有n层，其总个数是________.
[答案]　2n2－n
[解析]　设自上而下每一层的正方体个数为a1，a2，…，an，
则有a1＝1，a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋4，…，an＝an－1＋4，
所以{an}为等差数列，首项为1，公差d＝4，
所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3，
所以其总个数是Sn＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
[解析]　设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
18．(本小题满分12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n.
(1)求Sn；
(2)在数列{an}的每相邻两项ak，ak＋1之间依次插入a1，a2，…，ak，得到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…，求{bn}的前20项和T20.
[解析]　(1)对任意的n∈N*，因为S－S＝8n，当n≥2时，S＝(S－S)＋…＋(S－S)＋S
＝8(n－1)＋…＋8×1＋1
＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1
＝8×＋1
＝(2n－1)2，
因为an>0，所以Sn>0，故Sn＝2n－1.
当n＝1时，S1＝a1＝1适合Sn＝2n－1，
所以Sn＝2n－1，n∈N*.
(2)因为Sn＝2n－1，n∈N*，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2.
所以an＝
所以，数列{bn}的前20项分别为：1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2，
所以{bn}的前20项是由6个1与14个2组成，所以T20＝6×1＋14×2＝34.
19．(本小题满分12分)某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为an万元．
(1)写出数列{an}的前三项a1，a2，a3，并猜想写出通项an(不要求证明)；
(2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．
[解析]　(1)依题意a1＝103×－100＝1 150，
a2＝a1×－100＝103×2－100×＝1 337.5，
a3＝a2×－100＝103×3－100×＝1 571.875.
猜想an＝103×n－100×
＝103×n－100×＝600×n＋400.
(2)由an≥2 000，得600×n＋400≥2 000，
∴n≥.
∵y＝x在(－∞，＋∞)上单调递增，4<，5>，∴n≥5.
答：经过5年后，该项目的资金超过2千万元．
20．(本小题满分12分)(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列，的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
[解析]　(1)设等差数列的公差为d，而bn＝k∈N*，
则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，
于是解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，
所以数列的通项公式是an＝2n＋3.
(2)证明：方法一：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，
当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
Tn＝·＝n2＋n，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn，
当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn，
所以当n>5时，Tn>Sn.
方法二：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，
当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn，
当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·
＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn，
所以当n>5时，Tn>Sn.
21．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S5＝25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)等比数列{bn}的首项为1，公比为q，在下列三个条件中选择一个，使得{bn}的每一项都是{an}中的项．若bk＝am，求m.(用含k的式子表示)
条件①：q＝－1；条件②：q＝2；条件③：q＝3.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分．
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵S5＝＝5a3＝25，解得a3＝5，∴d＝a3－a2＝2，
∴an＝a2＋d＝3＋2＝2n－1.
(2)若选条件①，bn＝n－1，∴bk＝k－1，又am＝2m－1，
由bk＝am得2m－1＝k－1，∴m＝；
当k为偶数时，m＝＝0，不符合m∈N*，则不能选择条件①；
若选条件②，bn＝2n－1，∴bk＝2k－1，又am＝2m－1，
由bk＝am得2m－1＝2k－1，∴m＝；
当k>1且k∈N*时，2k－1＋1为奇数，则m N*，不合题意，则不能选择条件②；
若选条件③，bn＝3n－1，∴bk＝3k－1，又am＝2m－1，
由bk＝am得2m－1＝3k－1，∴m＝；
当k∈N*时，3k－1＋1为偶数，∴m∈N*，满足题意；
综上所述m＝.
22．(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝.
(1)求b1，b2，b3，b4；
(2)猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；
(3)若Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，且4aSn[解析]　(1)bn＋1＝＝＝＝.
因为a1＝，b1＝，所以b2＝，b3＝，b4＝.
(2)由(1)猜想bn＝.
①当n＝1时，b1＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即bk＝，则当n＝k＋1时，bk＋1＝＝＝＝，猜想成立．
综上所述，bn＝对任意正整数都成立．
(3)因为an＝1－bn＝.
故Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝，4aSn－bn＝－
＝，
若4aSn则只需满足(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0恒成立即可．
当a＝1时，－3n－8<0恒成立，满足题意；
当a>1时，显然不可能成立；
当a<1时，设f(n)＝(a－1)n2＋(3a－6)n－8，其图象对称轴方程为n＝－·＝－.
又－<0，故f(n)在[1，＋∞)上单调递减，
故f(n)max＝f(1)＝(a－1)＋(3a－6)－8＝4a－15<0，
解得a<.
又a<1，故当a<1时满足题意．
综上所述，当a∈(－∞，1]时，4aSn21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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