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2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版2024八年级下册1-5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在某次以足篮排三大球为主题的运动会中，甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，方差分别是，，，．如果要从中选择更高更整齐的啦啦队进行表演，你认为最应该派去参加比赛的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
4．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，，若的周长是，则的周长是（　　）．
A．5 B．6 C．8 D．9
7．如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法计算
8．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
9．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式无意义，则实数的取值范围是 ．
12．如果一个正多边形的外角为，那么这个正多边形的边数是 ．
13．已知m，n是方程的两根，则的值为 ．
14．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ．
15．如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）．
16．如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）解方程
(1)
(2)
19．（8分）今年的政府工作报告提出，着力抓好“三农”工作，深入推进乡村全面振兴．近年来，一批批年轻的“新农人”回到乡村，他们以信仰为笔、以大地为纸，用自身的努力和奋斗，为乡村振兴之路添砖加瓦．返乡大学生小李，带领乡亲种植了甲、乙两个新品种的爱媛橙．为了解甲、乙两种新品爱媛橙的品质（形状、色泽、口感等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种爱媛橙各7份样品，对爱媛橙的品质进行评分（单位：分，百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种爱媛橙得分的统计图表．
甲、乙两种爱媛橙得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种爱媛橙（分） 75 90 85 97 84 88 97
乙种爱媛橙（分） 87 90 88 90 93 90 92
甲、乙两种爱媛橙得分分析统计表
平均数/分 中位数/分 众数/分
甲种爱媛橙 88 b 97
乙种爱媛橙 a 90 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中b＝__________，c＝__________；
(2)计算乙种爱媛橙的平均得分；
(3)从折线统计图看，__________种爱媛橙的评分更稳定（填“甲”或“乙”）；
(4)小李认为乙种爱媛橙的品质较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写出一条即可）
20．（8分）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出向下平移个单位后的．
(2)画出关于点的中心对称图形．
(3)画出与的对称中心（黑点标记）．
21．（8分）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（10分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．

(1)请你利用图1验证勾股定理；
(2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值；
(3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积．
23．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．（12分）定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”．
(1)“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
(2)如图1，在准筝形中，，，，求的长；
(3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2024-2025学年八年级下学期第三次月考卷
18．（8 分） 20．（8 分）
数学·答题卡
姓 名：_________________________________________
准考证号：
注意事项
1． 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区
楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必
须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆
珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考
无效。 此栏考生禁填
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
标记
5． 正确填涂
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 19．（8 分） 21．（8 分）
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11.（3 分）________________ 12. （3 分）________________
13.（3 分）________________ 14. （3 分）________________
15.（3 分）________________ 16. （ 3 分）________________
三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（10 分） 23．（10 分） 24．（12 分）
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版八年级下册1-5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在某次以足篮排三大球为主题的运动会中，甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，方差分别是，，，．如果要从中选择更高更整齐的啦啦队进行表演，你认为最应该派去参加比赛的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
4．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，，若的周长是，则的周长是（　　）．
A．5 B．6 C．8 D．9
7．如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法计算
8．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
9．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式无意义，则实数的取值范围是 ．
12．如果一个正多边形的外角为，那么这个正多边形的边数是 ．
13．已知m，n是方程的两根，则的值为 ．
14．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ．
15．如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）．
16．如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）解方程
(1)
(2)
19．（8分）今年的政府工作报告提出，着力抓好“三农”工作，深入推进乡村全面振兴．近年来，一批批年轻的“新农人”回到乡村，他们以信仰为笔、以大地为纸，用自身的努力和奋斗，为乡村振兴之路添砖加瓦．返乡大学生小李，带领乡亲种植了甲、乙两个新品种的爱媛橙．为了解甲、乙两种新品爱媛橙的品质（形状、色泽、口感等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种爱媛橙各7份样品，对爱媛橙的品质进行评分（单位：分，百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种爱媛橙得分的统计图表．
甲、乙两种爱媛橙得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种爱媛橙（分） 75 90 85 97 84 88 97
乙种爱媛橙（分） 87 90 88 90 93 90 92
甲、乙两种爱媛橙得分分析统计表
平均数/分 中位数/分 众数/分
甲种爱媛橙 88 b 97
乙种爱媛橙 a 90 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中b＝__________，c＝__________；
(2)计算乙种爱媛橙的平均得分；
(3)从折线统计图看，__________种爱媛橙的评分更稳定（填“甲”或“乙”）；
(4)小李认为乙种爱媛橙的品质较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写出一条即可）
20．（8分）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出向下平移个单位后的．
(2)画出关于点的中心对称图形．
(3)画出与的对称中心（黑点标记）．
21．（8分）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（10分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．

(1)请你利用图1验证勾股定理；
(2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值；
(3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积．
23．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．（12分）定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”．
(1)“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
(2)如图1，在准筝形中，，，，求的长；
(3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A C C B C C B C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．
12．12
13．
14．63
15．
16．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【解析】（1）解：
；（4分）
（2）解：
．（8分）
18．（8分）【解析】（1）解：
，
或，
；（4分）
（2）解：，
，
或，
（8分）
19．（8分）【解析】（1）甲组得分从小到大排列为：75，84，85，88，90，97，97，
∵排在中间的数是88，
∴．
∵乙组得分出现次数最多的是90，
∴．
故答案为：90；（2分）
（2）分，（4分）
（3）由折线统计图可知，乙种爱媛橙的评分更稳定．
故答案为：乙；（6分）
（4）乙种爱媛橙得分的平均数比甲种的高（答案不唯一）．（8分）
20．（8分）【解析】（1）解：如图，即为所作；
（2分）
（2）如图，即为所作；
（5分）
（3）如图，点即为所作．
（8分）
21．（8分）【解析】（1）证明：∵、分别是、的中点
∴
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴；（4分）
（2）解：∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．（8分）
22．（10分）【解析】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴
∴；（3分）
（2）解：由题意得，
∴，
，
∴，
∴，是方程的两根，
解得，
∵，
∴，；（6分）
（3）解：作于点，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
∴
．（10分）
23．（10分）【解析】（1）证明：如图，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是正方形对角线的一点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
即，（3分）
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；（5分）
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
∵矩形为正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，（7分）
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．（10分）
24．（12分）【解析】（1）解：如图，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题．
故答案为：真．（3分）
（2）∵，
∴，，
，，
∴，
∵，，，
∴，
∴或（舍去）．
∴的长为．（6分）
（3）∵点为线段的中点，，
∴，
又∵，
∴当时，四边形周长最小，
如图，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
∵，，，
∴在，，
∴，，
∴，
过点作轴，使，连接，
∴四边形为平行四边形，，
得出，
作点关于轴对称点，则，连接，
∴当，，三点共线时，，（8分）
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，（10分）
∴当时，，
解得：，
即，
∴．
∴的长度为．（12分）中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版八下第1章-第5章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；
B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；
C．不是二次根式，故不符合题意；
D．是二次根式，故符合题意．
故选D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
3．在某次以足篮排三大球为主题的运动会中，甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，方差分别是，，，．如果要从中选择更高更整齐的啦啦队进行表演，你认为最应该派去参加比赛的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
【答案】A
【详解】解：∵甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，
∴选择甲、乙两个啦啦队，
∵，
∴派去参加比赛的是甲队，
故选：．
4．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角
【答案】C
【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不是锐角”时第一步应假设：没有一个角是锐角．
故选C．
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
故选：C．
6．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，，若的周长是，则的周长是（　　）．
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点，
∴，
同理，，
．
故选B．
7．如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，，
，
．
故选：C．
8．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
【答案】C
【详解】解：设运动时间为t秒，则有，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选：D．
9．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作于M，作于N，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
故选B．
10．如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
【答案】C
【详解】解：
①，
，，
，
，
边长为4的正方形，为的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②如图，作 ，
，
又，
，
假设，则，
，
即，
解得，
，
；
，故②错误；
在中，由勾股定理得，
由①得，
是直角三角形，假设，
由勾股定理得，
即
解得
故③正确；
由以上可知，，，
又∵点为上靠近点的三等分点
，，在中，由勾股定理得，
又
∴为等腰直角三角形，故④正确；
由以上可知，与为直角三角形，且为公共角，
又
，故⑤正确；
综上分析可知正确的有①③④⑤．
故选：C．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式无意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵代数式无意义，
∴，解得：，
故答案为：．
12．如果一个正多边形的外角为，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】12
【详解】解：∵一个正多边形的外角为，
∴，
故这个正多边形的边数为12，
故答案为：12．
13．已知m，n是方程的两根，则的值为 ．
【答案】0
【详解】解：∵m，n是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
故答案为： 0．
14．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ．
【答案】63
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：63．
15．如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：如图，过点分别作正方形两边的垂线与，
∵点是正方形的中心，
∴，四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∴阴影部分的面积正方形的面积，
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为，
∴重叠部分的面积和．
故答案为：．
16．如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N，
∴，
∵H是中点，
∴，
∵四边形是边长为4的菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；（4分）
（2）解：
．（8分）
18．（8分）解方程
(1)
(2)
【详解】（1）解：
，
或，
；（4分）
（2）解：，
，
或，
（8分）
19．（8分）今年的政府工作报告提出，着力抓好“三农”工作，深入推进乡村全面振兴．近年来，一批批年轻的“新农人”回到乡村，他们以信仰为笔、以大地为纸，用自身的努力和奋斗，为乡村振兴之路添砖加瓦．返乡大学生小李，带领乡亲种植了甲、乙两个新品种的爱媛橙．为了解甲、乙两种新品爱媛橙的品质（形状、色泽、口感等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种爱媛橙各7份样品，对爱媛橙的品质进行评分（单位：分，百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种爱媛橙得分的统计图表．
甲、乙两种爱媛橙得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种爱媛橙（分） 75 90 85 97 84 88 97
乙种爱媛橙（分） 87 90 88 90 93 90 92
甲、乙两种爱媛橙得分分析统计表
平均数/分 中位数/分 众数/分
甲种爱媛橙 88 b 97
乙种爱媛橙 a 90 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中b＝__________，c＝__________；
(2)计算乙种爱媛橙的平均得分；
(3)从折线统计图看，__________种爱媛橙的评分更稳定（填“甲”或“乙”）；
(4)小李认为乙种爱媛橙的品质较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写出一条即可）
【详解】（1）甲组得分从小到大排列为：75，84，85，88，90，97，97，
∵排在中间的数是88，
∴．
∵乙组得分出现次数最多的是90，
∴．
故答案为：90；（2分）
（2）分，（4分）
（3）由折线统计图可知，乙种爱媛橙的评分更稳定．
故答案为：乙；（6分）
（4）乙种爱媛橙得分的平均数比甲种的高（答案不唯一）．（8分）
20．（8分）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出向下平移个单位后的．
(2)画出关于点的中心对称图形．
(3)画出与的对称中心（黑点标记）．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2分）
（2）如图，即为所作；
（5分）
（3）如图，点即为所作．
（8分）
21．（8分）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点
∴
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴；（4分）
（2）解：∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．（8分）
22．（10分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．

(1)请你利用图1验证勾股定理；
(2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值；
(3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴
∴；（3分）
（2）解：由题意得，
∴，
，
∴，
∴，是方程的两根，
解得，
∵，
∴，；（6分）
（3）解：作于点，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
∴
．（10分）
23．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是正方形对角线的一点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
即，（3分）
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；（5分）
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
∵矩形为正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，（7分）
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．（10分）
24．（12分）定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”．
(1)“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
(2)如图1，在准筝形中，，，，求的长；
(3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．
【详解】（1）解：如图，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题．
故答案为：真．（3分）
（2）∵，
∴，，
，，
∴，
∵，，，
∴，
∴或（舍去）．
∴的长为．（6分）
（3）∵点为线段的中点，，
∴，
又∵，
∴当时，四边形周长最小，
如图，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
∵，，，
∴在，，
∴，，
∴，
过点作轴，使，连接，
∴四边形为平行四边形，，
得出，
作点关于轴对称点，则，连接，
∴当，，三点共线时，，（8分）
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，（10分）
∴当时，，
解得：，
即，
∴．
∴的长度为．（12分）

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