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2025 年湖北省荆州市沙市中学高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = { | = + ( 1)0}， = { | = + 1}，则 ∩ =( )
A. [0,1) ∪ (1, + ∞) B. (0,1) ∪ (1, + ∞) C. (0, + ∞) D. [0, + ∞)
2.若 ∈ ， 为虚数单位，| + 2 1| = 1，则| |的最大值为( )
A. 2 B. 10 1 C. 4 D. 10 + 1
3.学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙 2 名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，
则不同的选法种数为( )
A. 20 B. 25 C. 225 D. 450
4.已知向量 ， 满足| | = 2， (2 + ) = 9，则 (2 ) =( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
5.已知数列{ }中， 2 = 1，记 为{ }的前 项和，2 = ，则 2025的值为( )
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
6.已知点 ( , 0)， (2,3)到同一直线的距离分别为 2，3，若这样的直线恰有 2 条，则 的取值范围为( )
A. ( 2,0) B. ( 2,6) C. (0,6) D. (2,6)
7.函数 ( ) = | 1| + | 3| + 2 的最小值为( )
A. 6 B. 2 + 2 C. 6 2 2 D. 2 + 1
8.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ， 的准线与其对称轴交于点 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，且 =
2 ，若射线 为∠ 的平分线，则| | =( )
A. 43 B. 4 C. 5 D.
16
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 (2 4 )，下列说法正确的是( )
A. 2 是 ( )的一个周期
B. ( ) 5 在( 8 , 8 )上递减
C.将 ( ) 图象向左平移8个单位可得到 = 3 2 的图象
D.若 ( 0) = 2，则 4 =
1
0 9
10.下列说法正确的是( )
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A.数据 8，6，4，11，3，7，9，10 的上四分位数为 9

B.若 0 < ( ) < 1，0 < ( ) < 1，且 ( ) = 1 ( | )，则 ， 相互独立
C.某物理量的测量结果服从正态分布 (10, 2)， 越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
D.若样本数据 ( = 1,2, …, 5)的平均数为 4， 2 ( = 1,2, …, 5)的平均数为 22，则样本数据 2 1 + 1，
2 2 + 1，…，2 5 + 1，9 的方差为 20
11.如图，正三棱柱 1 1 1的各棱长相等，且均为 2， 在△ 内及其边
界上运动，则下列说法中正确的是( )
A.存在点 ，使得 1 ⊥平面 1 1
B.若 1 = 5

，则动点 的轨迹长度为3
C. 为 1 1中点，若 1 //平面 1 ，则动点 的轨迹长度为 3
D.存在点 ，使得三棱锥 31 的体积为 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 2 1 6 ) 的展开式中的常数项为 ．
13.在某抽奖活动中，设置 3 个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中
放有红球 2 个，黄球 2 个，绿球 2 个；黄色箱子中放有红球 3 个，黄球 1 个，绿球 2 个；绿色箱子中放有
红球 3 个，黄球 2 个.要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，
再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能
获得奖品.若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为______．
2 2
14 .已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点为 1， 2，过 2的直线 1交 的右支于点 ， (点
在点 上方)，| 2| = 2| 2|，过点 1作直线 2/ / 1，交 于点 (点 在第二象限)，若直线 与直线 1
2
的交点在直线 = 上，则 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 3 = ( + + )( + )．
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 7，△ 的面积为 2 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ， = ．
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(1)已知 为 中点，求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角．
17.(本小题 15 分)
2
已知椭圆 ： 2 +
2 = 1，直线 ： = 2 与 轴交于点 ，过点 的直线与 交于 ， 两点(点 在点 的右侧)．
(1)若点 是线段 的中点，求点 的坐标；
(2)过 作 轴的垂线交椭圆于点 ，连 ，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) = + 1( > 1)．
(1)当 = 时，求函数 ( )的单调区间；
(2)当 ≥ 时，求证： ( ) ≥ 0；
(3)当 1 < ≤ ，试讨论函数 ( )的零点个数．
19.(本小题 17 分)
设 维向量 = ( 1, 2, …, )， = ( 1, 2, …, )，定义运算： = 1 1 + 2 2 + … + ．
(1)当 = 2 时，若 = ( 2, 1)且 1 < 2， 1 < 2，试比较 与 的大小；
(2)已知 ∈ ，记 ( ) = { | = ( 1, 2, …, )， = ( 1, 2, …, )且 1， 2，…， 和 1， 2，…，
均为 1，2，…， 的某一排列)．
( )求 (3)， (4)；
( )若 ≥ 4，求 ( ). (提示：12 + 22 + … + 2 = ( +1)(2 +1)6 . )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
13.1328
14. 213
2 2 2
15. + 解：(1)由余弦定理，可得 = 2 ，
即 2 + 2 2 = 2 ，
又 2 3 = ( + + )( + ) = 2 + 2 2 + 2 ，
所以 3 = + ，
由正弦定理，可得 3 = + ，
又 ≠ 0，则有 3 = 1 1，即 sin( 6 ) = 2，
∈ ( , 5 又 6 6 6 )，所以
= 6 6，

即 = 3；
(2) 1由 △ = 2 =
3
4 = 2 3，可得 = 8，
在△ 中，由余弦定理，
可得 2 = 2 + 2 2
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= ( + )2 3 = 49 24 = 25，所以 = 5，
故△ 的周长为 + + = 12．
16.解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∩ = ， ∩ = ， ， 平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， ⊥平面 ，又 ， 为 ， 中点，
∴ // ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ = ， 为 中点，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点， , , 正方向为 ， ， 轴正方向，可建立如图空间直角坐标系：
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不妨设 = = 1，则 (0,0,1)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)，
∴ = ( 1,0,1)， = (0,1,0)， = (0, 1,1)， = (1,0,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= ( 1,0,1) ( , , ) = + = 0
则
，
= = 0
令 = 1，解 = 0， = 1，
∴ = (1,0,1)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= (0, 1,1) ( , , ) = + = 0
则
，
= (1,0,0) ( , , ) = = 0
令 = 1，则 = 0， = 1，
∴ = (0,1,1)，
∴ |cos < ， > | =
| | |(0,1,1) (1,0,1)| 1 1
| || | = =12+12× 12+12 2× 2
= 2，
即平面 与平面 1夹角余弦值为2，
∴ 平面 与平面 的夹角为3．
2
17.解：(1)因为椭圆 ： 2 ，直线 ： = 2 与 轴交于点 ，过点 2 + = 1
的直线与 交于 ， 两点(点 在点 的右侧)，
所以 (2,0)，
设点 ( 0, 0)，由点 是线段 的中点，得 (2 0 2,2 0)，
20 5+ 20 = 1 0 =
由点 4， 都在椭圆 上，得 2 ，解得 ，
(2 0 2)2 14
2 + 4
2
0 = 1 0 =± 8
所以点 的坐标为( 54 , ±
14 ；
8 )
(2)依题意，过 作 轴的垂线交椭圆于点 ，连 ，可得直线 的斜率存在且不为 0，
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设直线 的方程为 = ( 2)， ≠ 0， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，
由点 在点 的右侧，得 2 < 2 < 1 < 2，
= ( 2)
由 2 2 ，消去 得(1 + 2
2) 2 8 2 + 8 2 2 = 0，
2 + = 1
由 = 64 4 8(1 + 2 2)(4 2 1) > 0，得 22 < <
2
2 , ≠ 0，
+ = 8
2 8 2 2 3
1 2 ，则有 ( + ) 2 = ，1+2 2 , 1 2 = 1+2 2 2 1 2 1 2
显然 ( 2, 2)，直线 的方程为：( + 2)( 1 2) = ( 2)( 1 + 2)，
= 1 = 1+ 2 2 1 1 2 = 3( 1+ 2) 4 2 1 当 时， 2 1 2 1
= 0，
2
因此直线 过定点(1,0)，设直线 的方程为 = + 1，
= + 1
由 2 2 ，消去 得(
2 + 2) 2 + 2 1 = 0，则 ′ = 4 2 + 4( 2 + 2) > 0，
2 + = 1
= 4 2 + 4( 2 + 2) > 0, + = 2 11 2 2+2 , 1 2 = 2+2，
2
于是| | = 2 + 1| +11 2| = 2 2 2 ，+2
1
点 到直线 的距离 =
2
，
+1
2
= 1 | | = 2 +1 = 2 ≤ 2
因此 △ 2 2+2 2+1+ 1 2 ，当且仅当 = 0 时取等号，
2+1
而当 = 0 时，直线 与椭圆相切，不符合题意，
所以△ 面积的取值范围为(0, 22 )．
18.解：(1)根据题目已知： ( ) = + 1( > 1)
当 = 时， ( ) = + 1， ′( ) = ( + 1) = ，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)为增函数；
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) < 0，则 ( )在( ∞,0)为减函数；
所以当 = 时，函数 ( )的减区间为( ∞,0)，增区间内为(0, + ∞)．
(2)证明：因为 ≥ ，当 ≥ 0 时， ≥ ，所以 ≥ ，
当 < 0 时， ≤ ，所以 ≥ ，所以 + 1 ≥ + 1，
设 ( ) = + 1，由(1)可知 ( ) ≥ (0) = 0，所以不等式 ( ) ≥ 0 成立．
(3)解法一： ′( ) = ( + 1) = (( + 1) ( ) )，
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设 ( ) = ( + 1) ( ) ，此时 (0) = 0，
则 ′( ) = (1 ) ( )
，
1
因为 1 < ≤ ，所以 0 < ≤ 2 , > 1，
则 ′( )在 为减函数， ′(0) = 2 1，
①当 = 时， ′(0) = 0，结合 ′( )在 为减函数，
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) > 0， ( )在( ∞,0)为增函数；
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)为减函数；
所以 ( ) ≤ (0) = 0，所以 ′( ) ≤ 0，即 ( )在 上为减函数，
又因为 (0) = 0，所以 ( )只有一个零点；
②当 1 < < 时， ′(0) = 2 1 < 0，
所以存在 0 < 0，使得 ′( 0) = 0，
当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) > 0，所以 ( )在( ∞, 0)上增函数；
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) < 0，所以 ( ) < 0 在( 0, + ∞)上减函数．
因为 (0) = 0，则 ( 0) > 0，当 → ∞， ( ) → ∞，
1 ∈ ( ∞, 0)使得 ( 1) = 0，
所以 ∈ ( ∞, 1)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，即 ( )在( ∞, 1)为减函数；
当 ∈ ( 1, 0)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，即 ( )在( 1, 0)为增函数；
当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，即 ( )在(0, + ∞)为减函数；
当 → ∞， ( ) → 1，又因为 (0) = 0，所以 ( 1) < 0．
所以 2 ∈ ( ∞, 1)使得 ( 2) = 0，
( )在(0, + ∞)为减函数，所以 ( ) < (0) = 0，所以 ( )存在两个零点．
综上所述：当 = 时，函数 ( )有 1 个零点；当 1 < < 函数 ( )有 2 个零点．
19.解：(1)由题该 = ( 1 1 + 2 2) ( 1 2 + 2 1) = ( 1 2)( 1 2) > 0，
所以 > ；
(2)( )先求 (3)：设 = (1,2,3)， = ( 1, 2, 3)，其中 1， 2， 3为 1，2，3 的排列，
所以 = 1 + 2 2 + 3 3 = 2( 1 + 2 + 3) + ( 3 1) = 12 + 3 1，
而 3 1可能取值有±1，±2，故 (3) = {10,11,13,14}，再求 (4)：设 = (1,2,3,4)， = ( 1, 2, 3, 4)，
其中 1， 2， 3， 4，为 1，2，3，4 的排列，
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当 4 = 4, = 16 +
3
=1 = 28 + 3 1, 3 1，可能取值有±1，±2，则 可能值为 26，27，29，
30；
当 4 = 3, = 12 +
1
=1 = 26 + 3 1, 3 1，可能取值有±1，±2，±3，则 可能值为 23，24，
25，27，28，29；
当 4 = 2, = 8 +
3
=1 = 24 + 3 1, 3 1，可能取值有±1，±2，±3，则 可能值为 21，22，
23，25，26，27；
当 4 = 1, = 4 +
3
=1 = 22 + 3 1, 3 1，可能取值有±1，±2，则 可能值为 20，21，23，
24；
综上， (4) = 20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30；
( )由(1)，若存在 < ， > ，则不妨交换 ， 则．别的值会变大，
设 = (1,2, …, ), = ( , 1, , 1)，则 = ( +1)( +2)6 最小；
= (1,2, , ) ( +1)(2 +1)，则 = 6 最大；
所以 ( ) ( +1)( +2) ( +1)(2 +1)的元素均属于集合 ( ) = [ 6 ． 6 ]，
设 表示集合{ | ∈ ( )且 ( )的元素个数，即 = | ( )| | ( )|(注意 表示集合 的元素个数)，
下证 = 0( ≥ 4)：当 = 4 时，由上知 4 = 0，考虑 +1， ( + 1)：由 ( + 1)中最小元素为 =
( +1)( +2)( +3)
6 ，
( +1)( +2)(2 +3)
最大元素为 6 ，即 ( + 1)中的元素均在 ( + 1)中，
设 = (1,2, …, , + 1)， = ( 1, 2, , , +1)，
其中 1， 2， ， 为 1，2，…， 的任一排列，所以 可能取值为 ( + 1) = { + ( + 1)2| ∈ ( )}．
2
即 恰好没有覆盖到集合 ( + 1) = [ ( +1)( +8 +6) , ( +1)( +2)(2 +3)6 6 中的 个元素，
当 = (1,2, …, , + 1), = ( + 1, 1, 2, , )，
( +1)( +2)其中 1， 2， ， 为 1，2，…， 的任一排列，所以 可能取值为 ( + 1) = { + 2 | ∈ ( )}，
( + 1) = [ ( +1)( +2)( +3) , ( +1)(
2+2 +3)
即 恰好没有覆盖到集合 6 3 ]，
2
≥ 4 ( +1)( +2)( +3) ≤ ( +1)( +8 +6) ≤ ( +1)(
2+2 +3) ( +1)( +2)(2 +3)
中的 个元素，当 时， 6 6 3 ≤ 6 ，
即 ( + 1) ∪ ( + 1) = [ ( +1)( +2)( +3) , ( +1)( +2)(2 +3)6 6 ] = ( + 1)，
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故 ( + 1)不覆盖集合 ( + 1)的元素至多有 2 个，故 +1 ≤ 2 4 = 0，所以 5 = 6 = = = 0，
所以 ( ) = { ∈ | ( +1)( +2) ≤ ≤ ( +1)(2 +1)6 6 }．
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