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2024-2025 学年广东省上进联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 1 2 ，则 ( 1) =( )
A. 4+ 2 B. 4 + 2 C. 2 + 4 D. 2 + 4
2.已知集合 = { | = 8 }， = { | = 3 + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,4,7,8} B. {1,4,7,10} C. {4,7} D. {1,4,7}
3 1.函数 ( ) = + 1 + 1( > 1)的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.已知 21， 2为不共线向量， = 1 2 2， = 1 + 2，若 ，
为共线向量，则 =( )
A. 2 B. 4 C. ±1 D. ±2
5.利用斜二测画法画出△ 的直观图如图阴影部分所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2， ′是线段 ′ ′
的中点，则△ 的面积为( )
A. 2
B. 4
C. 2
D. 2 2
6.将函数 = tan(2 + )( > 0) 的图象向右平移4个单位长度，得到函数 ( )的图象，若 ( ) = 1，则 的
最小值为( )
A. 3 2 B.
3
4 C.
D. 2 3
7.如图，不共线且不垂直的单位向量 1， 2的夹角为 ，以点 为原点， 1， 2的正方向分别为 轴、 轴建
立坐标系，该坐标系称为 斜坐标系.若 = 1 + 2，则称( , )为 在 斜坐标系中的坐标，若 =
23，向量 ，
在 斜坐标系中的坐标分别为(1,1)，(2, 1)，则 =( )
A. 13 B.
5
3 C.
7
3 D.
11
3
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8.已知 = 0.7 0.6， = 0.6 0.7， = log23， = log35，则( )
A. > ，且 > B. < ，且 < C. > ，且 < D. < ，且 >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2025 年 2 月 7 日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个
点作四边形 ，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， = 2 ，
= 2 ，则下列等式一定成立的是( )
A. = + B. + = +
C. + = D. = 3 4
10.已知函数 ( ) = 22 sin(2

12 )，则( )
A. ( )的最小正周期是 B. ( ) 1的最小值是 2
C. ( ) 在区间[0, 4 ]上单调递增 D. ( )的图象关于点( 24 , 0)对称
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 + = 4 ，则( )
A. 3 ≤ <

2
B. 2 2 = 2 + 2
C. 5 若 = 4， > ，则 = 8
D.若 cos( ) = 16，则 =
2
3或 =
3
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一元二次方程 2 4 + 5 = 0 的两个虚根为______．
13.已知函数 ( ) = 4 4 + 3，则不等式 ( 3) + (2 1) ≤ 0 的解集是____．
14.在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， = = 2， = 2 3.以 为直
径的球 与 ， 分别交于点 ， ，则 cos∠ = ______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 +
已知 = + ( 1) ，其中 ， ∈ ．
(1)求 ， ；
(2)设 = + ( , ∈ )，若| ( + )| = | |，证明：4 2 5 = 0．
16.(本小题 15 分)
如图 1，正四棱台 1 1 1 1 的上底面面积为 1，下底面面积为 4，侧棱长为 2.将正四棱台的四条侧
棱延长交于点 ，得到正四棱锥 如图 2 所示．
(1)求正四棱台 1 1 1 1 的体积；
(2)若正四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上，求球 的表面积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = ( 2 + 3)( > 0 且 ≠ 1)，函数 = ( ) + ( )的图象经过点(0,3)．
(1)求关于 的不等式 ( ) ≥ 3 2 + 2 的解集；
(2)若函数 = ( ) 有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在梯形 中， = 2 ， = 2 ， = ， 与 交于点 .设 = ， = ．
(1)用基底{ , }表示 ；
(2)若| | = | | = 1 2 ，∠ = ，求 3
；
(3)设点 到 ， 的距离分别为 1， 2，求 1 的值．2
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19.(本小题 17 分)
已知△ 是锐角三角形，角 ， ， 的对边分别为 + ， ， ，且满足 = 2 3，在△
3 3
所在平面内以 为边向外作△ 如图所示， = 3， = 3， △ = 2 ．
(1)求 ；
(2)求△ 的内切圆半径 ；
(3)求△ 的面积的取值范围．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.2 ±
13.{ | ≤ 43 }
14.14
15. 2 + 解：(1)由题意可知， = 2 + 1 = 2 = + ( 1) ，
2 = ,
所以 = 1,
解得 = 2， = 1；
(2)证明：因为 = 2， = 1， = + ，
所以| ( + )| = | |化为| + (2 )| = | 2 + ( + 1) |，
即| 2 + ( + 1) | = | + |，
所以( 2)2 + ( + 1)2 = 2 + 2，
整理得 4 2 5 = 0．
16.解：(1)如图，连接 1 1， 1 1交于点 1，连接 ， 交于点 2，连接 1 2，则 1 2即为正四棱台的
高，
易得 1 =
2
1 ，2 2 = 2，且有
2 2 2
1 = 1 2 + ( 2 2 )
2，
解得 = 141 2 ，2
所以正四棱台 1 1 1 1 的体积为：
= 143 ( 上 + 下 + 上 下) = 6 × (1 + 4 + 1 × 4) =
7 14
6 ．
1
(2)易知 1 =
1 1
=2 2，
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所以在得到的正四棱锥中， 1为 2的中点，
所以 2 = 2 1 2 = 14，
设正四棱锥 的外接球的半径为 ，
则 在 2上，连接 ，则 = = ．
在△ 中， 22 = 2 2 22 + 2 = ( 2) + ( 14 )2，得 =
8
14，
64 128
所以正四棱锥 的外接球表面积为 4 2 = 4 × 14 = 7 ．
17.解：(1)因为函数 = ( ) + ( )的图象经过点(0,3)， ( ) = 2 ， ( ) = ( 2 + 3)，
所以 1 + log 4 = 3，得 = 2，
所以 ( ) = 4 ， ( ) = (4 2 + 3)，
所以不等式 ( ) ≥ 3 2 + 2 转化为4 ≥ 3 × 2 2 + 2，
即(4 )2 2 × 4 3 ≥ 0，
解得 ≥ log43，
所以不等式 ( ) ≥ 3 2 + 2 的解集为[log43, + ∞)；
(2)由(1)知 ( ) = (4 2 + 3)，
由 = 2(4 + 3) 有两个零点，知方程 (4 2 + 3) = + 有两个实数解，

即4 + 3 = 2 + ，得2 = 4 +3 32 = 2 + 2 有两个实数解，
令 = 2 ，则 = + 3 ≥ 2 3，当且仅当 = 3时取等号，
则 = + 3 在区间(0, 3)上单调递减，在区间( 3, + ∞)上单调递增，
3
所以函数 = 2 与 = + 的图象在区间(0, 3)和( 3, + ∞)上各有一个交点，
则2 > 2 3，得 > 1 + 12 23，
所以实数 的取值范围是(1 + 12 23, + ∞)．
18.解：(1)由题， = 2 ， = 2 ， = ，
由图可得， = 1 1 2 = 2 (
+ + )
1
= ( + + 2 2 )
= 1 1 2 2 ，
则 = + = 4 3 +
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4 1 1
= 3

2 2
= 56
1
2 ；
(2)由题可得， = ( + ) 1 = (2
+ ) 12 (
+ )
1
= ( + 2 ) ( +
1
2 ) = 2 (
+ 2 ) ( + )
1 2 2 1 2 = 2 (2 + + 3
) = 2 (2| |
2 + | |2 + 3| || |cos 3 )
= 12 × [2 + 1 + 3 × 1 × 1 × (
1
2 )] =
3
4；
(3)由 与 交于点 ，可设 = ， = ，
则 = = ( + )
2
= (2 + ) ( + 3 )
= 6 23 + ( 1)
，
由(1) 5 知 = 6 2 ，
6 2 = 5 =
7
则 3 6 ，解得 11，
1 = 82 = 11
1+ 所以 2
|
=
|
=
1 11
1 | |
= 7，

解得： 1 = 7 2 4
．
19. (1) + 解： 由 = 2 3，利用正弦定理得 2 2 +
2 = 2 3 ，
由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 ，所以 3 = ，得 = 33 ．

因为 ∈ (0, )，所以 = 6．
(2)在△ 中， = | || | = 3| | = 3，得| | = 1，①
= 1又 △ 2 |
| | | = 32 |
| = 3 32 ，得|
| = 3，②
2
联立①②得 = 3，因为 ∈ (0, )，所以 = 3， = 2．
2 = 32 + 22 2 × 3 × 2 × cos 2 由余弦定理得 3 = 19，解得 = 19．
1
又 △ = 2 ( + + ) =
1
2 × (3 + 2 + 19) =
3 3 5 3 57
2 ，解得 = 2 ．
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(3) (2) = 19 19由 知 ，所以△ 的外接圆半径为 = 2 = 19，
所以 = 2 ∠ = 2 19sin∠ ，
= 2 ∠ = 2 19sin∠ = 2 19sin( 5 6 ∠ )，
△ = 1 = 19 ∠ ( 5 所以 的面积 △ 2 6 ∠ )
1 3
= 19 ∠ (2 cos∠ + 2 sin∠ )
1 3 1 2∠
= 19(4 2∠ + 2 2 )
= 192 sin(2∠
) + 19 33 4 ，
0 < ∠ < 2 ,
因为△ 是锐角三角形，所以 5 得 < ∠ < ，0 < 6 ∠ <
, 3 22

所以3 < 2∠
< 2 33 3， 2 < sin(2∠

3 ) ≤ 1，
19 3 19
所以 2 < 2 sin(2∠
) + 19 3 ≤ 19 19 33 4 2 + 4 ，
19 3 19 19 3
所以△ 面积的取值范围是( 2 , 2 + 4 ]．
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