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参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D D A B B C C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．0或
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【详解】解：（1）原式；.........................................................................4分
（2）原式
．.........................................................................8分
18．（8分）【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；.........................................................................3分
（2）解：移项：，
分解因式，
即或，
所以，．.........................................................................8分
19．（8分）【详解】（1）证明：∵，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴．.........................................................................4分
（2）解：由（1）得，
∵点D为的中点，
∴点E为的中点，
∴和的面积等于面积的一半，
和的面积等于面积的一半，
综上所述：面积为面积一半的三角形有：和和和．............................8分
20．（8分）【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，
故中位数；
故答案为：20；15；.........................................................................3分
（2）解：（万件），
表中的值为20．（5分）
（3）解：（万件），
估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件．...................................................................8分21．（8分）【详解】（1）解：如图所示，直线即为的垂直平分线：
；.........................................................................2分
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
连接、，
，四边形是平行四边形，
，
，，
直线是的垂直平分线，
，
，
，
，
四边形是菱形；.........................................................................5分
（3）解： ，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为．
故答案为：．.........................................................................8分
22．（10分）
【详解】（1）解：乙的速度为（）.................................................................3分
（2）∵甲的速度为，由（1）知，乙的速度为，
∴，，
若甲在乙前面，
则，
解得，
若乙在甲前面，
则，
解得，
综上所述，甲与乙相距时甲行驶的时间为或．.........................................................................6分
（3）∵丙与甲同时出发，从地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距，
∴甲与乙相距时，甲和丙行驶时间相等，
由（2）知，乙与甲相遇时间为或，
在中，
当时，，
当时，，
∴过或，
设，
把，代入，
得，
解得；
或把，代入，
得，
解得，
∴或，.........................................................................8分
当丙与乙相遇时，
∵，
∴联立，
得或，
解得或，
故丙与乙相遇时间为或．.........................................................................10分
23．（10分）【详解】（1）解：∵图象的对称轴为直线，在中的二次项系数，
，
，
此时图象对应的解析式为，
把代入解析式，得，
顶点坐标为；.........................................................................3分
（2）证明：．
将图象向下平移4个单位后得到图象，
图象的解析式为，
图象顶点纵坐标为，且，
图象最低点在轴上，或在轴下方．
又图象开口向上，
若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点．...............................................6分
（3）解：∵在中的二次项系数，
对称轴为，
点的横坐标，
点为图象对应的抛物线的顶点．
，，
抛物线开口向上，
当顶点的纵坐标时，图象与轴无交点．
点的横坐标，将其代入中，
得点的纵坐标，化简得．........................................................................8分
是关于的二次函数，其图象是抛物线，记作图象，对称轴是纵轴，开口向下，
画图象如下：
令，得，解得，，
图象与轴的两个交点分别为，，
结合图象可知：当时，，
又，
，
的最大值为．
综上所述，当时，图象与轴无交点，则的最大值为．.........................................10分24．（12分）【详解】（1）证明∶∵是的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，.......................................................................2分
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．.........................................................................4分
（2）解：设，则
∵，
∴，
在中，，
在中， ，
如图：过点B作于点M，连接，则，
∴.........................................................................6分
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：或
∴的值为或2．.........................................................................8分
（3）证明∶如图：设交于点N，在上截取，连接，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，.........................................................................10分
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．.........................................................................12分
10 / 10中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考押题预测卷数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件
C．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
D．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
6．如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
10．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值是 ．
12．分解因式： ．
13．从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ．
14．如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为 ．
15．如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为 ．
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算．
（2）化简：
18．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
淇淇：解方程
解：移项： 第一步
分解因式 第二步
即或 第三步
所以 第四步
(1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
19．（8分）点D，E分别在，上，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形．
20．（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中___________，___________；
(2)请计算表中的值；（需要写出计算过程）
(3)若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
21．（8分）如图，在中，是对角线．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，则四边形的周长为______．
22．（10分）一条公路上有相距的A，两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上匀速行驶．甲从A地出发前往地，速度为．甲出发1小时后，乙也从A地出发前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动．丙与甲同时出发，从地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距．设甲行驶的时间为，甲、乙、丙三人离A地的距离分别为，，，，关于的函数图象如图所示．
(1)求乙的行驶速度．
(2)求甲与乙相距时甲行驶的时间．
(3)丙出发后多少小时与乙相遇？请直接写出答案．
23．（10分）设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为．
(1)若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标；
(2)证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点；
(3)设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值．
24．（12分）如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)如图2，过点作交延长线于点，求证：．
10 / 11中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考押题预测卷数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件
C．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
D．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
6．如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
10．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值是 ．
12．分解因式： ．
13．从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ．
14．如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为 ．
15．如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为 ．
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算．
（2）化简：
18．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
淇淇：解方程
解：移项： 第一步
分解因式 第二步
即或 第三步
所以 第四步
(1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
19．（8分）点D，E分别在，上，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形．
20．（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中___________，___________；
(2)请计算表中的值；（需要写出计算过程）
(3)若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
21．（8分）如图，在中，是对角线．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，则四边形的周长为______．
22．（10分）一条公路上有相距的A，两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上匀速行驶．甲从A地出发前往地，速度为．甲出发1小时后，乙也从A地出发前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动．丙与甲同时出发，从地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距．设甲行驶的时间为，甲、乙、丙三人离A地的距离分别为，，，，关于的函数图象如图所示．
(1)求乙的行驶速度．
(2)求甲与乙相距时甲行驶的时间．
(3)丙出发后多少小时与乙相遇？请直接写出答案．
23．（10分）设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为．
(1)若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标；
(2)证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点；
(3)设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值．
24．（12分）如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)如图2，过点作交延长线于点，求证：．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考押题预测卷数学试题
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查实数大小比较．实数大小比较的核心规则：正数＞0＞负数；负数比较时，绝对值大的反而小．掌握这一规则是解题的关键．先将数分为正数、0、负数三类：正数大于0，0大于负数；对于负数，通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数反而小，依此规则比较0，的大小．
【详解】解：根据 “正数负数”，可知，且0大于，因此最小数在和中．
，
，
故选：B．
2．下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.
根据完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算逐项判断即可.
【详解】解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意.
故选B.
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是：
，
故选：D．
4．2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：万，
故选：D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件
C．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
D．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
【答案】A
【分析】本题考查了方差、全面调查、命题、不可能事件等内容，方差越小的波动程度越小，正确的命题是真命题，据此相关内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，∴甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐，故A选项符合题意；
B、掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故B选项不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、检测某城市的空气质量应采用抽样调查方式，故D选项不符合题意，
故选A
6．如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，则，由垂径定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由此即可求出的半径．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，
过圆心且，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查了黄金分割、解分式方程等知识点，理解黄金分割的定义是解题的关键．
设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米，然后根据黄金分割的定义求解即可．
【详解】解：设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米，
根据题意可得：，
解得：．
经检验是分式方程的解，
所以毛主席塑像高度是米．
故选B．
8．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故选：C．
9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可．
【详解】解：∵函数可变形为，
∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，
∵函数的图象的对称中心为原点，
∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误；
∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性，
∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误；
∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值，
∵，
即当时，由最小值，为2，
∴函数在时，有最小值，为，
∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确；
∵由函数与函数，可得，
即，
解得，，
∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误．
故选：C
10．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，通过直角三角形斜边中线的性质得出点在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出；首先证明 ，则有，进而可得,先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为．综上可以得到答案．
【详解】∵四边形和四边形是正方形，
∴ ，，，
在和中，
∴ ，
∴．
∵， ，
∴，
∴ ，
∴，
∵是直角三角形，是的中点，
∴，
∴点在正方形的外接圆上．
∵，
∴，
∴，故正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∵，
∴ ，
∴，故错误；
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∴垂直平分；
故①正确；
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
∵与高相同，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，故正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值是 ．
【答案】0或
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，二次根式的加减，
先根据相反数和倒数的定义得出，再根据平方根的意义得，然后分两种情况代入待求式求出解即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴．
∵，
∴．
当时，原式；
当时，原式．
所以的值是0或．
故答案为：0或．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查分解因式，完全平方公式等．根据题意先将提出后利用完全平方公式整理即可．
【详解】解：∵，
故答案为：．
13．从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题．
【详解】解方程组得，
∵有整数解，
∴为，，，
解得为，，，，，；
又∵当二次函数与x轴有交点，
∴，且，
解得：且，
∵当时，函数为，
此时函数与x轴有公共点，
∴符合的a的值为，，，
∴概率是，
故答案为：．
14．如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为 ．
【答案】
【分析】取格点，连接交于点O，由菱形的性质易求，设菱形网格的边长为a，则，求出，进而求出，由勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：如图，取格点，连接 交于点O，
则，
∵，此图为相同的菱形组成的网格，
∴四边形，四边形为菱形，
∴，
设菱形网格的边长为a，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求一个角的正弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质．
15．如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，求弧长，根据菱形的性质，切线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长为；
故答案为：．
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算．
（2）化简：
【答案】（1）4（2）
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，分式的混合运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
18．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
淇淇：解方程
解：移项： 第一步
分解因式 第二步
即或 第三步
所以 第四步
(1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；
（2）解：移项：，
分解因式，
即或，
所以，．
19．（8分）点D，E分别在，上，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线平分三角形的面积．
（1）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据三角形中线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵点D为的中点，
∴点E为的中点，
∴和的面积等于面积的一半，
和的面积等于面积的一半，
综上所述：面积为面积一半的三角形有：和和和．
20．（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中___________，___________；
(2)请计算表中的值；（需要写出计算过程）
(3)若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
【答案】(1)20，15
(2)20．
(3)3200万件．
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）运用加权平均数的计算公式求解即可；
（3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可．
【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，
故中位数；
故答案为：20；15；
（2）解：（万件），
表中的值为20．
（3）解：（万件），
估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件．
21．（8分）如图，在中，是对角线．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，则四边形的周长为______．
【答案】(1)见解析；
(2)四边形是菱形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连接两个交点，交于点、，交于点即可；
（2）四边形是菱形，连接、，根据平行四边形的性质结合，直线是的垂直平分线，证明，得到，，即可证明；
（3）证明，求出，再根据四边形是菱形，即可得解．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为的垂直平分线：
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
连接、，
，四边形是平行四边形，
，
，，
直线是的垂直平分线，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（3）解： ，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解题的关键．
22．（10分）一条公路上有相距的A，两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上匀速行驶．甲从A地出发前往地，速度为．甲出发1小时后，乙也从A地出发前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动．丙与甲同时出发，从地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距．设甲行驶的时间为，甲、乙、丙三人离A地的距离分别为，，，，关于的函数图象如图所示．
(1)求乙的行驶速度．
(2)求甲与乙相距时甲行驶的时间．
(3)丙出发后多少小时与乙相遇？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）用甲1.5小时行驶的路程除以0.5小时即得；
（2）由甲乙的速度可得，，分甲在乙前面，乙在甲前面，两种情况解答；
（3）根据乙与甲同时出发，相遇时行驶时间相等，可知过或，设，当过，时， ，当过，时，，由于丙与乙相遇，分别与联立，解方程即得．
【详解】（1）解：乙的速度为（）
（2）∵甲的速度为，由（1）知，乙的速度为，
∴，，
若甲在乙前面，
则，
解得，
若乙在甲前面，
则，
解得，
综上所述，甲与乙相距时甲行驶的时间为或．
（3）∵丙与甲同时出发，从地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距，
∴甲与乙相距时，甲和丙行驶时间相等，
由（2）知，乙与甲相遇时间为或，
在中，
当时，，
当时，，
∴过或，
设，
把，代入，
得，
解得；
或把，代入，
得，
解得，
∴或，
当丙与乙相遇时，
∵，
∴联立，
得或，
解得或，
故丙与乙相遇时间为或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握路程、速度、时间的关系，列函数解析式，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，分类讨论，是解题的关键．
23．（10分）设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为．
(1)若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标；
(2)证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点；
(3)设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，
（1）先求出解析式，把代入即可求解顶点坐标；
（2）先求出平移后图象的解析式为，由，则图象最低点在轴上，或在轴下方，而图象开口向上，故将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点；
（3）利用二次函数的性质结合图象分析即可．
【详解】（1）解：∵图象的对称轴为直线，在中的二次项系数，
，
，
此时图象对应的解析式为，
把代入解析式，得，
顶点坐标为；
（2）证明：．
将图象向下平移4个单位后得到图象，
图象的解析式为，
图象顶点纵坐标为，且，
图象最低点在轴上，或在轴下方．
又图象开口向上，
若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点．
（3）解：∵在中的二次项系数，
对称轴为，
点的横坐标，
点为图象对应的抛物线的顶点．
，，
抛物线开口向上，
当顶点的纵坐标时，图象与轴无交点．
点的横坐标，将其代入中，
得点的纵坐标，化简得．
是关于的二次函数，其图象是抛物线，记作图象，对称轴是纵轴，开口向下，
画图象如下：
令，得，解得，，
图象与轴的两个交点分别为，，
结合图象可知：当时，，
又，
，
的最大值为．
综上所述，当时，图象与轴无交点，则的最大值为．
24．（12分）如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)如图2，过点作交延长线于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)或2．
(3)见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由圆周角定理、角平分线的性质、角的和差、等角对等边可证，再根据圆的内接四边形的性质以及邻补角的性质可得，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质即可证明结论；
（2）设，则，由（1）易证，在中，，在中，，如图：过点B作于点M，连接，则， 运用等面积法可得；再证明可得，即，最后求得a即可；
（3）如图：设交于点N，在上截取，连接，，首先通过证明可证，通过圆内接四边形的性质可得，从而，再通过证明，最后根据全等三角形的性质以及等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明∶∵是的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则
∵，
∴，
在中，，
在中， ，
如图：过点B作于点M，连接，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：或
∴的值为或2．
（3）证明∶如图：设交于点N，在上截取，连接，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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