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【备战小升初】2025年小升初数学专项复习精讲精练
专题九：解决问题
知识点01：归一、归总问题
1、归一问题
（1）特征：题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量
（2）数量关系：总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量(正归一)
总数量÷单位量=单位量份数(反归一)
2、归总问题
（1）特征：题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量
（2）数量关系：单位量×单位量份数=总数量
知识点02：和差倍问题
1、和差问题
（1）特征：已知两个量的和与差，求这两个量
（2）数量关系：(和+差)÷2=较大数 (和-差)÷2=较小数
2、和倍问题
（1）特征：已知两个量的和及两个量的倍数关系，求这两个量
（2）数量关系：和÷(倍数+1)=1倍的量
3、差倍问题
（1）特征：已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量
（2）数量关系：差÷(倍数-1)=1倍的量
知识点03：间隔问题
1、间隔问题
类型 构题特征 数量关系
植树问题 在不封闭的线路上植树 两端都植 棵数=间隔数+1 路长=每个间隔的距离×(棵数-1) 每个间隔的距离=路长÷(棵数-1) 棵数=路长÷每个间隔的距离+1
两端都不植 棵数=间隔数-1 棵数=路长÷每个间隔的距离-1
一端植另一端不植 棵数=间隔数 棵数=路长÷每个间隔的距离
在封闭线路上植树 棵数=间隔数 棵数=路长÷每个间隔的距离
知识点04：周期问题
1、周期问题
（1）周期现象：一组事件或现象按同样的顺序不断重复出现
（2）周期长度：完成这一组事件或现象的时间，一般简称为“周期”
（3）周期问题处理思路：
找到重复部分，确定周期长度
找到周期现象部分对应的总数
分组：总数÷周期长度=组数……余数
判断所在位置：有余数，余几就代表是组内第几个；无余数，代表是组内最后一个
知识点05：盈亏问题
1、盈亏问题
（1）特征：一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，存在有余(盈)、不足(亏)或刚好分完(尽)三种情况
（2）数量关系
一盈一尽：盈数÷两次分得之差=份数
一亏一尽：亏数÷两次分得之差=份数
一盈一亏：(盈数+亏数)÷两次分得之差=份数
两次皆亏：(大亏一小亏)÷两次分得之差=份数
两次皆盈：(大盈一小盈)÷两次分得之差=份数
知识点06：鸡兔同笼
1、鸡兔同笼
（1）特征：已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡与兔各有多少只。 一般可用列表、假设等方法解答
（2）数量关系
假设全是鸡，则有：兔的只数=(总足数-2×总头数)÷2
鸡的只数=总头数-兔的只数
假设全是兔，则有：鸡的只数=(4×总头数-总足数)÷2
兔的只数=总头数-鸡的只数
知识点07：牛吃草问题
1、牛吃草问题的基本公式
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）
（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
知识点08：行程问题
1、行程问题的数量关系
（1）速度×时间=路程
（2）路程÷时间=速度
（3）路程÷速度=时间
知识点09：工程问题
1、工程问题的数量关系
（1）工作效率×工作时间=工作总量
（2）工作总量÷工作时间=工作效率
（3）工作总量÷工作效率=工作时间
知识点10：浓度问题
1、浓度问题常用公式
（1）溶液=溶质+溶剂
（2）浓度=溶质÷溶液×100%
（3）溶质=溶液×浓度
（4）溶液=溶质÷浓度
知识点11：利率、利税
1、利率、利税常用公式
（1）收入中应纳税部分×税率剂=应纳税额
（2）利息=本金×利率×存期
（3）本息和=本金+利息
（4）利率=利息÷存期÷本金×100%
（5）税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）
（6）税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税率）
知识点12：折扣、利润、购物方案
1、折扣问题的数量关系
（1）现价÷原价=折扣
（2）原价×折扣=现价
（3）现价÷折扣=原价
2、利润问题的数量关系
（1）售价-成本=利润
（2）售价-利润=成本
（3）成本+利润=售价
3、价格问题的数量关系
（1）单价×数量=总价
（2）总价÷数量=单价
（3）总价÷单价=数量
知识点13：分段计费
1、分段计费问题中的数量关系
（1）出租车=起步价+（总路程-起步路程）×单价
（2）水费=第一档量×单价1+第二档量×单价2+……
（3）照相费=拍照定价+加印照片数量×单价
（4）邮费=首重费用+续重费用
01 归一、归总问题
一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了168千米，照这样的速度，又行了5小时，正好到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
【答案】448千米
【分析】这是一道归一问题，汽车的速度不变，可先算出汽车的速度，再用速度乘上总时间即可得所行路程。也可先求出汽车的速度，再用前3小时行的路程加上后5小时行的路程即甲、乙两地的距离。
【详解】解法一：汽车的速度：168÷3=56千米/时
甲、乙两地相距：56×（3+5）=448千米
解法二：汽车的速度：168÷3=56千米/时
甲、乙两地相距：168+56×5=448千米
答：甲、乙两地相距448千米。
【点评】本题考查了归一问题。
2．一个居民小区计划安排40名工人，用两周时间铺设完天然气管道。工人工作了2天后，又增加了20人，若每个工人的工作效率相同，这个小区的居民可以提前几天用上天然气？
【答案】4天
【分析】这是一道归总问题，工人及工作天数发生变化，但工作总量一定，在这种问题中，我们一般设1人1天的工作量为1，则a人1天的工作量为a。
【详解】工作总量：40×7×2=560
完成剩下的工作量还需要的天数：（560-40×2）÷（40+20）=8天
提前时间：14-2-8=4天
答：这个小区的居民可以提前4天用上天然气。
【点评】本题考查了归总问题。
02 和差倍问题
1．甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
【答案】6天
【分析】每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆，把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（52+32）÷（2+1）=28辆，所求天数为（52-28）÷（28-24）=6天。
【详解】（52+32）÷（2+1）=28辆
（52-28）÷（28-24）=6天
答：6天后乙站车辆数是甲站的2倍。
【点评】本题考查了和倍问题。
2．有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重34千克，乙丙两袋共重32千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？
【答案】甲袋化肥重12千克，丙袋化肥重10千克，乙袋化肥重22千克
【分析】甲乙、乙丙都含有乙，从中可以看出甲比丙多34-32=2千克，且甲是大数，丙是小数，由此可知甲袋化肥重量=（22+2）÷2=12千克，丙袋化肥重量=（22-2）÷2=10千克，乙袋化肥重量=34-12=22千克
【详解】甲袋：（22+2）÷2=12千克 丙袋：（22-2）÷2=10千克
乙袋：34-12=22千克
答：甲袋化肥重12千克，丙袋化肥重10千克，乙袋化肥重22千克。
【点评】本题考查了和差问题。
03 间隔问题
1．从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？
【答案】39米
【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，原来间距×原来段数＝总长度，据此先求出总长度；重新修改时，两端的2根不动，属于两端都不植，段数＝棵数＋1，总长度÷修改后的段数＝修改后的平均间距，据此列式解答。
【详解】30×（27－1）
＝30×26
＝780（米）
780÷（19＋1）
＝780÷20
＝39（米）
答：这时相邻两根电线杆之间的平均距离是39米。
【点评】本题考查了间隔问题中的两端都栽。
一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有10棵花，大三角形边上栽有多少棵花？中间的小三角形边上共栽有多少棵花？
【答案】54棵； 27棵
【分析】（1）从已知条件中知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍，每个小三角形的边上均栽有10棵花，大三角形边上的两个小三角形有一个重合的顶点，所以大三角形一边上栽的棵数是10×2 1＝19（棵）。大三角形三个顶点上栽的这棵花是相邻边公有的，所以大三角形三条边上共栽花（19－1）×3＝54（棵）。
（2）在小三角形每边上栽花就可以看作一端不栽的情况，所以每边的棵数为10－1＝9（棵），三条边共栽9×3＝27（棵）。
【详解】大三角形边上共栽花：
（10×2－1－1）×3
＝18×3
＝54（棵）
中间小三角形边上共栽花：
（10－1）×3
＝9×3
＝27（棵）
答：大三角形边上栽有54棵花，中间小三角形边上共栽有27棵花。
【点评】本题考查了间隔问题中的封闭图形植树。
04 周期问题
1．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物依次代表各年，如果公元1年是鸡年，那么公元2025年是什么年？
【答案】蛇年
【分析】因为公元1年是鸡年，所以为了便于思考，我们把周期的排列顺序变为鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴。从公元1年到公元2025年一共有2025年。每12年一个周期，2025÷12=168……9，余9，从鸡年开始数到第9个，所以2025年是蛇年。
【详解】2025÷12=168……9
答：公元2025年是蛇年。
【点评】本题考查了周期问题。
2．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯这样排下去。（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏灯中有多少盏蓝灯？
【答案】（1）红灯（2）49盏
【分析】这是一个周期变化问题，彩灯按照5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯，每12盏灯一个周期循环出现。（1）100÷12=8个……4盏，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。（2）150÷12=12个……6盏，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中蓝灯有12×4=48盏。最后6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48+1=49盏。
【详解】（1）100÷12=8个……4盏
答：第100盏灯是红灯。
（2）150÷12=12个……6盏 12×4=48盏 48+1=49盏
答：前150盏灯中有49盏蓝灯。
【点评】本题考查了周期问题。
05 盈亏问题
1．妈妈去菜市场买猪肉，买5斤猪肉剩余5元钱，买6斤差3元钱。猪肉每斤多少钱？妈妈带了多少钱？
【答案】猪肉每斤8元，妈妈带了45元
【分析】妈妈买5斤多5元，买6斤差3元，一次多余，一次不够，两次一共相差5+3=8元，多买6-5=1斤，多出8元，因此一斤猪肉要8元。
【详解】猪肉价格：（5+3）÷（6-5）=8元
妈妈带了：5×8+5=45元或8×6-3=45元
答：猪肉每斤8元，妈妈带了45元。
【点评】本题考查了盈亏问题。
2．饲养员将一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子。猴子有多少只？这堆桃子有多少个？
【答案】猴子有11只，这堆桃子有86个
【分析】这是一道两亏题，从题意可知，猴子的数量和桃子的数量是不变的。比较两种分配方案，可以得出每只猴子分10个桃子比分8个桃子要多需24-2=22个桃子，为什么多需22个桃子呢？这是由于每只猴子多分了10-8=2个桃子。每只猴子多分2个桃子，多少只猴子就多需22个桃子呢？22÷2=11只，这就是猴子的数量。再用11×10-24=86个，就是桃子的个数。
【详解】猴子只数：（24-2）÷（10-8）=11只
桃子个数：11×10-24=86个
答：猴子有11只，这堆桃子有86个。
【点评】本题考查了盈亏问题。
06 鸡兔同笼
1．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀（小翅膀不计）。现有三种动物共18只，共有112条腿和22对翅膀。蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？
【答案】蜘蛛2只；蜻蜓6只；蝉10只
【分析】假设所有动物都有6条腿，总腿数为18×6＝108条，但实际有112条腿，多出112－108＝4条。每只蜘蛛比蜻蜓或蝉多2条腿（8－6＝2），因此蜘蛛有4÷2＝2只。剩余动物为蜻蜓和蝉，共18－2＝16只。
假设蜻蜓和蝉都有2对翅膀，总翅膀数为16×2＝32（对），但实际有22对，多出32－22＝10（对），每只蜻蜓比蝉多1对翅膀（2－1＝1对），因此蝉有10÷1＝10（只），剩余蜻蜓有16－10＝6（只）。
【详解】18×6＝108（条）
112－108＝4（条）
8－6＝2（条）
蜘蛛：4÷2＝2（只）
18－2＝16（只）
16×2＝32（对）
32－22＝10（对）
2－1＝1（对）
蝉：10÷1＝10（只）
蜻蜓：16－10＝6（只）
答：蜘蛛2只，蜻蜓6只，蝉10只。
【点评】本题考查了假设法解鸡兔同笼。
2．学校乒乓球室有20张乒乓球台，现在共有54人在打球，那么正在进行乒乓球单打比赛和双打比赛的乒乓球台各有多少张？
【答案】单打13张；双打7张
【分析】根据题意，可以假设都是双打比赛，用乒乓球台的张数乘4就是双打的人数。这个人数减去实际的54人，就是多出的人数。因为将单打看成双打了，每一张单打看成双打都多（4－2）人。用多出的人数除以每张多的人数就是单打的张数。也可以通过列表的方式，先从双打1张，单张19张开始，用张数乘每张的人数，分别算出单打和双打的人数，再相加，看看什么时候是54人即可。
【详解】20×4＝80（人）
80－54＝26（人）
4－2＝2（人）
单打：26÷2＝13（张）
双打：20－13＝7（张）
或
单打（张） 双打（张） 总人数
19 1 19×2＋1×4 ＝38＋4 ＝42（人）
18 2 18×2＋2×4 ＝36＋8 ＝44（人）
17 3 17×2＋3×4 ＝34＋12 ＝46（人）
16 4 16×2＋4×4 ＝32＋16 ＝48（人）
15 5 15×2＋5×4 ＝30＋20 ＝50（人）
14 6 14×2＋6×4 ＝28＋24 ＝52（人）
13 7 13×2＋7×4 ＝26＋28 ＝54（人）
答：乒乓球单打比赛有13张，双打比赛的乒乓球台有7张。
【点评】本题考查了列表法解鸡兔同笼。
07 牛吃草问题
1．由于天气逐渐变冷，有一片牧场上的草每天都在匀速地减少，如果12头牛来吃草，8天可以把草地上的草吃光，如果17头牛来吃草6天可以把草地的草吃光，如果现在有27头牛来吃草，几天后可以把牧场上的草吃光？
【答案】4天
【分析】这道题要先求出牧场上原有草量和草地每天减少量。因为草地的草每天都在匀速地减少，所以再求所求问题时，要用原有草的量除以27头牛一天吃的草加上一天减少草的总和。
【详解】设每天每头牛吃草1份，
（17×6－12×8）÷（8－6）
＝6÷2
＝3（份）
17×6＋6×3
＝102＋18
＝120（份）
120÷（27＋3）
＝120÷30
＝4（天）
答：如果现在有27头牛来吃草，4天后可以把牧场上的草吃光。
【点评】本题考查了牛吃草问题。
2．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟新来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍排完，同时开4个检票口需3分钟，同时开5个检票口需2分钟。如果想要在1.5分钟后使等候的队伍排完，需要同时开几个检票口？
【答案】6个
【分析】把每个检票口每分钟的检票量看作单位“1”，分别求出4个检票口3分钟和5个检票口2分钟的检票量，然后相减，它们之间的相差就是（3－2）分钟新来的旅客量，所以它们之间的相差除以（3－2）等于每分钟新来旅客的量，4个检票口3分钟的检票量减去3分钟新来的旅客量等于原有的旅客量，再加上1.5分钟新来的旅客量等于1.5分钟检完时的旅客量，再除以1.5即等于需要同时开的检票口个数，据此即可解答。
【详解】（4×3－5×2）÷（3－2）
＝2÷1
＝2
4×3－2×3
＝12－6
＝6
（6＋2×1.5）÷1.5
＝9÷1.5
＝6（个）
答：需要同时开6个检票口。
【点评】本题考查了牛吃草问题。
08 行程问题
1．甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇。东西两城相距多少千米？
【答案】928千米
【分析】由“两车离中点16千米处相遇”，可知甲车比乙车多行（16×2）千米，相遇时间为16×2÷（60－56）＝8（小时），根据速度和×相遇时间＝两地之间的路程，据此列式解答。
【详解】（60＋56）×[（16×2）÷（60－56）]
＝116×（32÷4）
＝116×8
＝928（千米）
答：东西两城相距928千米。
【点评】本题考查了行程问题。
2．甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时。如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？
【答案】45千米；60千米
【分析】行驶路程是360千米，行驶时间是8小时，所以行驶速度是360÷8＝45千米/小时；后一半路程是360÷2＝180千米，行驶总时间仍然是8小时，前半程花了4＋1＝5小时，所以后半程行驶时间是3小时，后半程的速度是180÷3＝60千米/小时。
【详解】360÷8＝45（千米/小时）；
360÷2＝180（千米）
8÷2＝4（小时）
8－（4＋1）＝3（小时）
180÷3＝60（千米/小时）
答：汽车每小时应该行驶45千米，汽车在后一半路程上每小时应该行驶60千米。
【点评】本题考查了行程问题。
09 工程问题
1．某区为了改善城市风貌，现请来176名工人擦洗各个天桥的护栏，如果在规定时间内平均每人擦洗18米，各个天桥的护栏长度一共是3000米，这些工人能按时完成任务吗？
【答案】能
【分析】已知现请来176名工人擦洗各个天桥的护栏，如果规定时间内平均每人擦洗18米，根据乘法的意义，用176乘18，先算出176名工人规定时间内擦洗护栏的总长度；再与护栏的总长度进行比较，即可解答他们能否按时完成擦洗3000米护栏的任务。
【详解】176×18＝3168（米）
3168米＞3000米
答：这些工人能按时完成任务。
【点评】本题考查了工程问题。
2．高德工程队维修一条乡村公路，原计划每天修路180米，15天可以完成。因工作需要，要求9天完成，实际平均每天修路多少米？
【答案】300米
【分析】先用180乘15计算出需要修的总米数，再除以9计算出实际平均每天修路多少米；据此解答。
【详解】180×15÷9
＝2700÷9
＝300（米）
答：实际平均每天修路300米。
【点评】本题考查了工程问题。
10 浓度问题
1．有浓度是20%的盐水溶液若干千克，如果再加入20千克盐，那么盐水的浓度就变为30%，原来的盐水是( )千克。
【答案】140
【分析】假设原来的盐水有x千克，根据盐水的质量×含盐率＝盐的质量，可知原来的盐有20%x千克，再加入20千克盐，现在的盐有（20%x＋20）千克，现在的盐水有（x＋20）千克，盐水的浓度就变为30%，据此列方程为（x＋20）×30%＝20%x＋20，然后解出方程即可。
【详解】解：设原来的盐水有x千克。
（x＋20）×30%＝20%x＋20
0.3x＋6＝0.2x＋20
0.3x＋6－0.2x＝20
0.1x＋6＝20
0.1x＝20－6
0.1x＝14
x＝14÷0.1
x＝140
原来的盐水是140千克。
【点评】本题考查了浓度问题。
2．甲容器中有20%的盐水300克，乙容器中有25%的盐水200克。往甲、乙两容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。每个容器应倒入水多少克？
【答案】300克
【分析】根据溶液×浓度＝溶质，代入数据分别求出两种盐水中盐的质量，甲容器中有60克盐，乙容器中有50克盐；往甲、乙两容器中分别加入等量的水，甲容器和乙容器的盐水质量差不变，根据浓度＝溶质÷溶液，浓度相同，溶质比＝溶液比，据此可知，现在甲、乙的溶液比＝60∶50＝6∶5，把现在甲容器的盐水质量看作6份，乙容器的盐水质量看作5份，它们相差（6－5）份，也就是（6－5）份是（300－200）克，据此求出每份是多少，进而求出6份，也就是现在甲容器的盐水质量，然后减去300克，即可求出加入的水的质量。
【详解】300×20%＝60（克）
200×25%＝50（克）
60∶50
＝（60÷10）∶（50÷10）
＝6∶5
（300－200）÷（6－5）
＝100÷1
＝100（克）
6×100＝600（克）
600－300＝300（克）
答：每个容器应倒入水300克。
【点评】本题考查了浓度问题。
11 利率、利税问题
1．某个体粮油经销店年初向赵先生借款500元，年利率为12%。第一年末还280元，第二年末赵先生到经销店购买10千克精制香油（折合成现金作为还款资金），第三年末又还207.20元，全都还清。每千克香油的价钱是多少元？
【答案】12.86元
【分析】由题意可知：先求出第一年末还款后，还剩下款数，然后求出第二年末应还款数，再求出第二年末购油后，还剩欠款数，用第二年末购油后，还剩欠款数减去第二年末购油后，还剩欠款数，就是10千克香油的价钱，最后根据单价＝总价÷数量即可求出香油的单价。
【详解】第一年末还款后，还剩下款数为
500×（1＋12%）－280
＝500×1.12－280
＝280（元）。
第二年末应还款数为
280×（1＋12%）
＝280×1.12
＝313.6（元）。
第二年末购油后，还剩欠款数
207.20÷（1＋12%）
＝207.20÷1.12
＝185（元）。
10千克香油需要的钱数为313.6－185＝128.6（元）。
所以，每千克香油价格为128.6÷10＝12.86（元）。
答：每千克香油的价格是12.86元。
【点评】本题考查了利率、利税问题。
2．国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分的14%的税；③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，问丁老师这笔稿费是多少元？又得知马老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，问马老师这笔稿费是多少元？
【答案】丁老师的稿费为3800元，马老师的稿费为5000元
【分析】因为第一档的不纳税，先求出第二档的要纳税钱数是多少，再用缴个人所得税420元和550元与第二档的要纳税作比较，看属于那个档次再计算稿费，据此解答。
【详解】第一档的不纳税，第二档的要纳税
（4000－800）×14%
＝3200×14%
＝448（元）
说明丁老师稿费低于4000元。
丁老师的稿费为：
420÷14%＋800
＝3000＋800
＝3800（元）。
马老师的所得税高于448元，应该用第三档的来计算。
马老师的稿费为：550÷11%＝5000（元）。
答：丁老师的稿费为3800元，马老师的稿费为5000元。
【点评】本题考查了利率、利税问题。
12 折扣、利润、购物方案
1．某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？
【答案】36支
【分析】配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，本题中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比.
【详解】相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.
（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.
他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
设买红笔是x支，可列出比例式
5x∶9×30＝2∶3
x==36(支)
答：红笔买了 36支。
【点评】本题考查了折扣、利润问题。
2．某商店到水果产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%，商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？
【答案】2.50元
【分析】先求出每千克的成本价，然后根据售价＝成本×（1＋利润率）。
【详解】每千克的运费是1.50×400÷1000＝0.60（元）
每千克的成本：
（1.20＋0.60）÷（1－10%）
＝1.8÷0.9
＝2.00（元）
零售价为：2.00×（25%＋1）
＝2×1.25
＝2.50（元）
答：零售价应是每千克2.50元。
【点评】本题考查了折扣、利润问题。
13 分段计费
1．某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表：
收费方式 月用水量/m3 单价（元/m3）
第一阶梯 0～15 4.5
第二阶梯 15～20 6
第三阶梯 20以上 8
注：
①公摊水费：每户每月10元；
②每月实际应交水费＝阶梯水费＋公摊水费。
（1）若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？
（2）已知某户居民某月的实际应交水费为187.5元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？
（3）若某户某月实际应交水费平均每立方米6.5元，求该户该月用水量。
【答案】（1）95.5元
（2）30立方米
（3）5或35立方米。
【分析】（1）利用小明家该月实际应交水费＝15×4.5＋超过15立方米的部分×6＋公摊水费，即可求出结论；
（2）设这户居民的该月用水量是x立方米，根据该户居民某月的实际应交水费为187.5元，可列出关于x的方程，解之即可得出结论；
（3）设该户该月用水量是y立方米，分0＜y≤15，15＜y≤20及y＞20三种情况考虑，根据该户该月实际应交水费平均每立方米6.5元，可列出关于y的方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论。
【详解】（1）根据题意得：15×4.5＋（18－15）×6＋10
＝15×4.5＋3×6＋10
＝67.5＋18＋10
＝95.5（元）。
答：小明家该月实际应交水费95.5元；
（2）设这户居民的该月用水量是x立方米，
∵15×4.5＋（20－15）×6＋10＝107.5，107.5＜187.5，
∴x＞20
根据题意得：15×4.5＋（20－15）×6＋8（x－20）＋10＝187.5，
解得：x＝30
答：这户居民的该月用水量是30立方米；
（3）设该户该月用水量是y立方米，
当0＜y≤15时，4.5y＋10＝6.5y，
解得：y＝5；
当15＜y≤20时，15×4.5＋6（y－15）＋10＝6.5y，
解得：y＝﹣25（不符合题意，舍去）；
当y＞20时，15×4.5＋（20－15）×6＋8（y－20）＋10＝6.5y，
解得：y＝35
答：该户该月用水量是5或35立方米。
【点评】本题考查了分段计费。
2．某市出租车规定：
路程 收费标准
3千米以内（包括3千米） 8元
3千米以上 每增加1千米多收1.4元
有一天，小红一家三人坐出租车去离家8千米远的动物园玩，动物园每张门票是58元，每人还买了一瓶1.5元的矿泉水。问小红一家共花费了多少元？
【答案】193.5元
【分析】根据题意，小红一家坐出租车去离家8千米远的动物园玩，8＞3，所以出租车的费用要分成两部分收费：第一部分，路程3千米，收费8元；第二部分，超过3千米的部分，单价1.4元，这部分路程即为（8－3）千米，根据“单价×数量＝总价”，求出这部分的费用；然后把两部分的费用相加，即是一共要付的车费。此外，再加上3张门票和3瓶矿泉水，即为小红一家一共花费的钱数。
【详解】打车费用：8＋1.4×（8－3）
＝8＋1.4×5
＝8＋7
＝15（元）
总费用：58×3＋1.5×3＋15
＝174＋4.5＋15
＝178.5＋15
＝193.5（元）
答：小红一家共花费了193.5元。
【点评】本题考查了分段计费。
一、填空题（共5小题）
1．陈师傅原来每天最多能加工150个零件。自从工厂引进新设备后，陈师傅每天加工的零件个数在170～200个之间（含200个）。现在陈师傅1个月（按22天计算）最多能加工( )个零件。
【答案】 4400
【分析】求最多能加工多少个零件，用陈师傅现在每天加工零件最多的个数200乘天数22即可。
【详解】200×22＝4400（个）
【点评】此题考查了工程问题。
2．过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一天，随后增加15位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同，且一位同学单独完成需要60天，那么艺术小组的同学有 位。
【答案】 10
【分析】设一个同学一天完成1份工作量，那么总工作量为：1×60=60（份），增加的15个同学两天完成的工作量为：15×2=30（份），那么剩下的工作量即为艺术小组3天的工作量，所以人数为：（60-30）÷3=10（位）。
【详解】设一个同学一天完成1份工作量，则：
（1×60－15×2）÷3
＝（60－30）÷3
＝30÷3
＝10（位）
所以，艺术小组的同学有10位。
【点评】此题考查了归一归总问题。
3．污水处理厂有600吨污水待处理，且每天新增同样多的污水需要处理，如果每天处理200吨，6天可以处理完。如果每天处理250吨， 天可以处理完。
【答案】 4
【分析】原有的600吨污水加上6天新增的污水之和能够按原有处理计划处理掉。通过这个条件，先把每天新增的污水吨数求出来，再计算按照新的处理方案需要几天处理完。
【详解】（200×6-600）÷6
=600÷6
=100（吨）
设需要x天处理完
600+100x=250x
600+100x-100x=250x-100x
150x=600
150x÷150=600÷150
x=4
需要4天处理完。
【点评】此题考查了牛吃草问题。
4．春节前夕，一个富翁向乞丐帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350元。他决定每人多给20元。这时从其他地方有闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。富翁原打算施舍 元。
【答案】1850
【分析】设原有的乞丐人数是未知数，根据两种情况表示出富翁原打算施舍的钱数，据此列方程求解。
【详解】解：设原有的乞丐人数是x人；
100x+350=（100+20）（x+5）-550
x=15
100×15+350
1500+350
=1850（元）
【点评】此题考查了盈亏问题。
5．在一个庆典晚会上，男女嘉宾共69人。出现了一个非常有趣的情况：每位女士认识的男士的人数各不相同，而且组成连续的自然数，最少的认识16位男士，最多的只有两位男士不认识。这次晚会上，共有女嘉宾( )人。
【答案】 26
【分析】如果女生认识最少的认识1位男士，认识最多的认识所有男生，那么，男女生数量相等；但实际情况女生最少认识16位男士，缺少1－15，最多有两位男士不认识，缺少只有1位男士不认识和没有男士不认识，所以，女士比男士少：15＋2＝17（人），女嘉宾有：（69－17）÷2＝26（人）
【详解】（69－15－2）÷2
＝52÷2
＝26（人）
所以，共有女嘉宾26人。
【点评】本题考查了差倍问题。
二、选择题（共5小题）
6．假期将至，超市都在搞打折促销活动，同一品牌原价为50元的洗衣液，甲超市打七折销售，乙超市降价20%销售，丙超市“买三送一”。现在妈妈打算买4瓶洗衣液，在（ ）超市买更划算。
A．甲 B．乙 C．丙
【答案】A
【分析】甲超市：“打七折”销售，把原价看作单位“1”，则现价是原价的70%；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买4瓶洗衣液的总价钱，再乘70%，即可求出在甲超市购买洗衣液所需的钱数；
乙超市：“降价20%”销售，把原价看作单位“1”，则现价是原价的（1－20%）；先求出原价购买4瓶洗衣液的总价钱，再乘（1－20%），即可求出在乙超市购买洗衣液所需的钱数；
丙超市：把“买三送一”看作一组，先用除法求出4瓶里有几组，再用每组买的瓶数乘组数，求出实际需买的瓶数；然后用每瓶洗衣液的价钱乘实际购买的数量，求出在丙超市购买洗衣液所需的钱数；
最后比较三家超市购买4瓶洗衣液所需的钱数，得出在哪家超市买更划算。
【详解】甲超市：
50×4×70%
＝200×0.7
＝140（元）
乙超市：
50×4×（1－20%）
＝200×0.8
＝160（元）
丙超市：
4÷（3＋1）
＝4÷4
＝1（组）
实际购买数量：1×3＝3（瓶）
实际需付：50×3＝150（元）
140＜150＜160
在甲超市买更划算。
故答案为：A
【点评】本题考查了折扣问题。
7．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（ ）道题。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，假设10道题全做对，则得10×8=80（分），这样就少得80-41=39（分）；实际做错一题比做对一题少8+5=13（分），那么做错的题数39÷13=3（道），据此解答。
【详解】假设全部做对，那么答错（或不做）的题数：
（10×8-41）÷（8+5）
=（80-41）÷（8+5）
=39÷13
=3（道）
数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（3）道题。
故答案为：B
【点评】本题考查了鸡兔同笼。
8．希望小学学生排成正方形方阵做早操，从前往后数小明排第7个，从后往前数排第13个，从左往右数，从右往左数都排第10个。最外层一共可以排（ ）个学生。
A．78 B．72 C．76 D．80
【答案】B
【分析】由于是方阵，先求出每行或每列的人数，即为最外层每边的人数，每边的人数乘4减去4，得到最外层的人数。
【详解】10+10-1=19（人）
19×4=76（人）
76-4=72（人）
最外层有72人。
故答案为：B
【点评】本题考查了间隔问题。
9．下列问题中，能用90－21×3解决的是（ ）。
①篮球每个90元，垒球每个21元，一个篮球比3个垒球贵多少元？
②工程队翻修一条90千米的路，每天修21千米，3天后还剩多少？
③篮球原价90元，现降价21元。买3个能省多少钱？
④轿车每小时行90千米，卡车每小时比它少行21千米。卡车从甲地到乙地用了3小时，甲乙两地相距多少千米？
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】该算式表示从90中减去21乘3的结果。选项①和②都符合这个算式：选项①：一个篮球比3个垒球贵多少元，即篮球价格减去3个垒球的价格，也就是90－21×3。选项②：3天修的路程为21×3千米，还剩的路程为总路程减去已修的路程，也就是90－21×3。选项③用降价21元乘3即为省的钱，选项④用轿车速度90减去21求出卡车速度再乘3即为甲乙两地距离，③和④不符合该算式。
【详解】由分析可知选项①和②都符合这个算式，能用90－21×3解决。
故答案为：A
【点评】本题考查了行程问题。
10．小明调制了3杯蜂蜜水，最甜的是（ ）。
A．用10克蜂蜜配成110克蜂蜜水。
B．蜂蜜与水的比是。
C．蜂蜜占蜂蜜水的。
【答案】C
【分析】分别求出前两个选项中蜂蜜水的浓度，再比较三个选项中蜂蜜水浓度的百分比，即可得到正确答案。
【详解】A．10克蜂蜜配成110克蜂蜜水，蜂蜜水的浓度为：10÷110≈9.1%；
B．蜂蜜与水的比是1∶10，蜂蜜水的浓度为：1÷（1＋10）≈9.1%；
C．蜂蜜占蜂蜜水的10%，蜂蜜水的浓度为10%。
9.1%＜10%
故答案为：C
【点评】本题考查了浓度问题。
三、解答题（共5小题）
11．李英和黄明比赛走楼梯，李英走3级楼梯时，黄明能走5级，这幢楼每两层之间有20级楼梯，那么当黄明走到6楼时，李英走到几楼？
【答案】4楼
【分析】由题意可知：李英和黄明二人的速度是不变的，则速度比也是不变的，据“李英走3级楼梯时，黄明能走5级”可知，李英、黄明的速度比为3∶5，黄明跑到第6层时，跑了（6－1）＝5层，再据李英的速度
黄明的速度之比为3∶5，则相同时间内，路程比也是3∶5，即可求出李英跑的层数，再加1，就是李英所在的楼层。
【详解】李英、黄明的速度比＝3∶5
相同时间内。速度和路程成正比
所以，李英和黄明的路程比＝3∶5
当黄明走到6楼时，李英走到了：（6－1）÷5×3＋1＝4楼
答：当黄明走到6楼时，李英走到4楼。
【点评】本题考查了上楼问题。
12．标有A、B、C、D、E、F的6盏灯依次排成一行，每盏灯有一个开关。现在A、C、E不亮，其余3盏亮着。军军从灯A开始顺次拉动开关，即从A到F，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动1000次开关后，哪些灯亮着，哪些灯不亮？
【答案】A，C，F亮着，B，D，E不亮
【分析】一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由此计算出拉动开关1000次后，6盏灯各被拉动开关多少次即可解答。
【详解】1000÷6=166……4，意味着6盏灯从A到F被拉动166个循环后，A、B、C、D又被拉动各一次。因此，灯A，B，C，D各被拉动167次开关，灯E，F各被拉动166次开关。初始状态A、C、E不亮，B、D、F亮着，所以灯A，B，C，D改变了原来状态，灯E，F没改变原来状态。
故当军军拉动1000次后A，C，F亮，而B，D，E没亮。
【点评】本题考查了周期问题。
13．欣欣、希希、望望三人分别在相距18千米的A、B两地同时动身，欣欣、希希二人从A地出发，步行去B地，望望从B地出发向，骑自行车去A地，望望首先在途中与希希相遇，10分钟后又与欣欣相遇，然后继续前进，达到A地后立马掉头返回B地，在AB的中点追上了欣欣，最后与希希同时到达B地。三人每分钟各行多少米？
【答案】欣欣50米，希希75米，望望150米
【分析】根据题意可知，望望到达A地后立马掉头返回B地，在中点追上了欣欣，与希希同时到达B地，说明望望的速度是欣欣的3倍，是希希的2倍，所以望望与希希相遇时，望望骑行了18÷（1＋2）×2千米，望望骑行的路程除以3等于这时欣欣步行的路程，两地相距的路程减去望望骑行的路程，再减去欣欣步行的路程等于望望与希希相遇时望望与欣欣相距的路程，然后把单位换算成米，再除以10即等于望望与欣欣的速度和，再除以（1＋3）即等于欣欣的每分钟行的米数，欣欣速度乘3等于望望的速度，望望的速度除以2等于希希的速度，据此即可解答。
【详解】18÷（1＋2）×2
＝18÷3×2
＝6×2
＝12（千米）
12÷3＝4（千米）
18－12－4
＝6－4
＝2（千米）
＝2000米
2000÷10＝200（米）
200÷（1＋3）
＝200÷4
＝50（米）
50×3＝150（米）
150÷2＝75（米）
答：欣欣每分钟行50米，希希每分钟行75米，望望每分钟行150米。
【点评】本题考查了和倍问题。
14．某汽车公司组织比赛，比赛规则如图所示：维修队有29人（含司机），速度为每分钟1千米（不计掉头时间），则维修队完成比赛最快需多少时间？
【答案】130分钟
【分析】司机每次送4人到达终点，每分钟1千米，10千米需要10分钟，来回需要20分钟。将29合理的分配，使最后加上司机5个人一起到达终点。29人里面有6个4，最后剩下的5人正好是司机与其余的4人。最后的时间＝来回的趟数×来回每趟的时间＋最后只有去的时间。
【详解】10÷1＝10（分钟）
10×2＝20（分钟）
29＝4×6＋5
20×6＋10
＝120＋10
＝130（分钟）
答：维修队完成比赛最快需130分钟。
【点评】本题考查了分段计费。
15．某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有多少名？
【答案】70名
【分析】甲乙旅社的标价是一样的，可以每人的标价为100元，则5名教师就是500元。再设有x个学生，甲旅社是老师的费用是按照原价，学生的费用打七折，就是学生的费用现价是原价的70%，即为（100x×70%）元，甲旅社最后的费用再加上500。乙旅社的老师、学生的费用全部打八折，就是现价是原价的80%，即为100（x＋5）×80%元。
甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，将乙旅社的费用看成单位“1”，甲是乙的（1－10%），利用乙的费用×90%＝甲的费用解答即可。
【详解】解：设学生有x名，每人100元。
500＋100x×70%＝100（x＋5）×80%×（1－10%）
500＋70x＝80（x＋5）×90%
500＋70x＝72（x＋5）
500＋70x＝72x＋360
72x－70x＝500－360
2x＝140
x＝140÷2
x＝70
答：学生有70名。
【点评】本题考查了折扣问题。
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【备战小升初】2025年小升初数学专项复习精讲精练
专题九：解决问题
知识点01：归一、归总问题
1、归一问题
（1）特征：题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量
（2）数量关系：总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量(正归一)
总数量÷单位量=单位量份数(反归一)
2、归总问题
（1）特征：题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量
（2）数量关系：单位量×单位量份数=总数量
知识点02：和差倍问题
1、和差问题
（1）特征：已知两个量的和与差，求这两个量
（2）数量关系：(和+差)÷2=较大数 (和-差)÷2=较小数
2、和倍问题
（1）特征：已知两个量的和及两个量的倍数关系，求这两个量
（2）数量关系：和÷(倍数+1)=1倍的量
3、差倍问题
（1）特征：已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量
（2）数量关系：差÷(倍数-1)=1倍的量
知识点03：间隔问题
1、间隔问题
类型 构题特征 数量关系
植树问题 在不封闭的线路上植树 两端都植 棵数=间隔数+1 路长=每个间隔的距离×(棵数-1) 每个间隔的距离=路长÷(棵数-1) 棵数=路长÷每个间隔的距离+1
两端都不植 棵数=间隔数-1 棵数=路长÷每个间隔的距离-1
一端植另一端不植 棵数=间隔数 棵数=路长÷每个间隔的距离
在封闭线路上植树 棵数=间隔数 棵数=路长÷每个间隔的距离
知识点04：周期问题
1、周期问题
（1）周期现象：一组事件或现象按同样的顺序不断重复出现
（2）周期长度：完成这一组事件或现象的时间，一般简称为“周期”
（3）周期问题处理思路：
找到重复部分，确定周期长度
找到周期现象部分对应的总数
分组：总数÷周期长度=组数……余数
判断所在位置：有余数，余几就代表是组内第几个；无余数，代表是组内最后一个
知识点05：盈亏问题
1、盈亏问题
（1）特征：一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，存在有余(盈)、不足(亏)或刚好分完(尽)三种情况
（2）数量关系
一盈一尽：盈数÷两次分得之差=份数
一亏一尽：亏数÷两次分得之差=份数
一盈一亏：(盈数+亏数)÷两次分得之差=份数
两次皆亏：(大亏一小亏)÷两次分得之差=份数
两次皆盈：(大盈一小盈)÷两次分得之差=份数
知识点06：鸡兔同笼
1、鸡兔同笼
（1）特征：已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡与兔各有多少只。 一般可用列表、假设等方法解答
（2）数量关系
假设全是鸡，则有：兔的只数=(总足数-2×总头数)÷2
鸡的只数=总头数-兔的只数
假设全是兔，则有：鸡的只数=(4×总头数-总足数)÷2
兔的只数=总头数-鸡的只数
知识点07：牛吃草问题
1、牛吃草问题的基本公式
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）
（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
知识点08：行程问题
1、行程问题的数量关系
（1）速度×时间=路程
（2）路程÷时间=速度
（3）路程÷速度=时间
知识点09：工程问题
1、工程问题的数量关系
（1）工作效率×工作时间=工作总量
（2）工作总量÷工作时间=工作效率
（3）工作总量÷工作效率=工作时间
知识点10：浓度问题
1、浓度问题常用公式
（1）溶液=溶质+溶剂
（2）浓度=溶质÷溶液×100%
（3）溶质=溶液×浓度
（4）溶液=溶质÷浓度
知识点11：利率、利税
1、利率、利税常用公式
（1）收入中应纳税部分×税率剂=应纳税额
（2）利息=本金×利率×存期
（3）本息和=本金+利息
（4）利率=利息÷存期÷本金×100%
（5）税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）
（6）税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税率）
知识点12：折扣、利润、购物方案
1、折扣问题的数量关系
（1）现价÷原价=折扣
（2）原价×折扣=现价
（3）现价÷折扣=原价
2、利润问题的数量关系
（1）售价-成本=利润
（2）售价-利润=成本
（3）成本+利润=售价
3、价格问题的数量关系
（1）单价×数量=总价
（2）总价÷数量=单价
（3）总价÷单价=数量
知识点13：分段计费
1、分段计费问题中的数量关系
（1）出租车=起步价+（总路程-起步路程）×单价
（2）水费=第一档量×单价1+第二档量×单价2+……
（3）照相费=拍照定价+加印照片数量×单价
（4）邮费=首重费用+续重费用
01 归一、归总问题
1．一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了168千米，照这样的速度，又行了5小时，正好到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
2．一个居民小区计划安排40名工人，用两周时间铺设完天然气管道。工人工作了2天后，又增加了20人，若每个工人的工作效率相同，这个小区的居民可以提前几天用上天然气？
02 和差倍问题
1．甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
2．有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重34千克，乙丙两袋共重32千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？
03 间隔问题
1．从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？
2．一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有10棵花，大三角形边上栽有多少棵花？中间的小三角形边上共栽有多少棵花？
04 周期问题
1．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物依次代表各年，如果公元1年是鸡年，那么公元2025年是什么年？
2．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯这样排下去。（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏灯中有多少盏蓝灯？
05 盈亏问题
1．妈妈去菜市场买猪肉，买5斤猪肉剩余5元钱，买6斤差3元钱。猪肉每斤多少钱？妈妈带了多少钱？
2．饲养员将一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子。猴子有多少只？这堆桃子有多少个？
06 鸡兔同笼
1．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀（小翅膀不计）。现有三种动物共18只，共有112条腿和22对翅膀。蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？
2．学校乒乓球室有20张乒乓球台，现在共有54人在打球，那么正在进行乒乓球单打比赛和双打比赛的乒乓球台各有多少张？
07 牛吃草问题
1．由于天气逐渐变冷，有一片牧场上的草每天都在匀速地减少，如果12头牛来吃草，8天可以把草地上的草吃光，如果17头牛来吃草6天可以把草地的草吃光，如果现在有27头牛来吃草，几天后可以把牧场上的草吃光？
2．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟新来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍排完，同时开4个检票口需3分钟，同时开5个检票口需2分钟。如果想要在1.5分钟后使等候的队伍排完，需要同时开几个检票口？
08 行程问题
1．甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇。东西两城相距多少千米？
2．甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时。如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？
09 工程问题
1．某区为了改善城市风貌，现请来176名工人擦洗各个天桥的护栏，如果在规定时间内平均每人擦洗18米，各个天桥的护栏长度一共是3000米，这些工人能按时完成任务吗？
2．高德工程队维修一条乡村公路，原计划每天修路180米，15天可以完成。因工作需要，要求9天完成，实际平均每天修路多少米？
10 浓度问题
1．有浓度是20%的盐水溶液若干千克，如果再加入20千克盐，那么盐水的浓度就变为30%，原来的盐水是( )千克。
2．甲容器中有20%的盐水300克，乙容器中有25%的盐水200克。往甲、乙两容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。每个容器应倒入水多少克？
11 利率、利税问题
1．某个体粮油经销店年初向赵先生借款500元，年利率为12%。第一年末还280元，第二年末赵先生到经销店购买10千克精制香油（折合成现金作为还款资金），第三年末又还207.20元，全都还清。每千克香油的价钱是多少元？
2．国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分的14%的税；③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，问丁老师这笔稿费是多少元？又得知马老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，问马老师这笔稿费是多少元？
12 折扣、利润、购物方案
1．某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？
2．某商店到水果产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%，商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？
13 分段计费
1．某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如下表：
收费方式 月用水量/m3 单价（元/m3）
第一阶梯 0～15 4.5
第二阶梯 15～20 6
第三阶梯 20以上 8
注：
①公摊水费：每户每月10元；
②每月实际应交水费＝阶梯水费＋公摊水费。
（1）若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？
（2）已知某户居民某月的实际应交水费为187.5元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？
（3）若某户某月实际应交水费平均每立方米6.5元，求该户该月用水量。
2．某市出租车规定：
路程 收费标准
3千米以内（包括3千米） 8元
3千米以上 每增加1千米多收1.4元
有一天，小红一家三人坐出租车去离家8千米远的动物园玩，动物园每张门票是58元，每人还买了一瓶1.5元的矿泉水。问小红一家共花费了多少元？
一、填空题（共5小题）
1．陈师傅原来每天最多能加工150个零件。自从工厂引进新设备后，陈师傅每天加工的零件个数在170～200个之间（含200个）。现在陈师傅1个月（按22天计算）最多能加工( )个零件。
2．过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一天，随后增加15位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同，且一位同学单独完成需要60天，那么艺术小组的同学有 位。
3．污水处理厂有600吨污水待处理，且每天新增同样多的污水需要处理，如果每天处理200吨，6天可以处理完。如果每天处理250吨， 天可以处理完。
4．春节前夕，一个富翁向乞丐帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350元。他决定每人多给20元。这时从其他地方有闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。富翁原打算施舍 元。
5．在一个庆典晚会上，男女嘉宾共69人。出现了一个非常有趣的情况：每位女士认识的男士的人数各不相同，而且组成连续的自然数，最少的认识16位男士，最多的只有两位男士不认识。这次晚会上，共有女嘉宾( )人。
二、选择题（共5小题）
6．假期将至，超市都在搞打折促销活动，同一品牌原价为50元的洗衣液，甲超市打七折销售，乙超市降价20%销售，丙超市“买三送一”。现在妈妈打算买4瓶洗衣液，在（ ）超市买更划算。
A．甲 B．乙 C．丙
7．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（ ）道题。
A．2 B．3 C．4 D．5
8．希望小学学生排成正方形方阵做早操，从前往后数小明排第7个，从后往前数排第13个，从左往右数，从右往左数都排第10个。最外层一共可以排（ ）个学生。
A．78 B．72 C．76 D．80
9．下列问题中，能用90－21×3解决的是（ ）。
①篮球每个90元，垒球每个21元，一个篮球比3个垒球贵多少元？
②工程队翻修一条90千米的路，每天修21千米，3天后还剩多少？
③篮球原价90元，现降价21元。买3个能省多少钱？
④轿车每小时行90千米，卡车每小时比它少行21千米。卡车从甲地到乙地用了3小时，甲乙两地相距多少千米？
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．小明调制了3杯蜂蜜水，最甜的是（ ）。
A．用10克蜂蜜配成110克蜂蜜水。
B．蜂蜜与水的比是。
C．蜂蜜占蜂蜜水的。
三、解答题（共5小题）
11．李英和黄明比赛走楼梯，李英走3级楼梯时，黄明能走5级，这幢楼每两层之间有20级楼梯，那么当黄明走到6楼时，李英走到几楼？
12．标有A、B、C、D、E、F的6盏灯依次排成一行，每盏灯有一个开关。现在A、C、E不亮，其余3盏亮着。军军从灯A开始顺次拉动开关，即从A到F，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动1000次开关后，哪些灯亮着，哪些灯不亮？
13．欣欣、希希、望望三人分别在相距18千米的A、B两地同时动身，欣欣、希希二人从A地出发，步行去B地，望望从B地出发向，骑自行车去A地，望望首先在途中与希希相遇，10分钟后又与欣欣相遇，然后继续前进，达到A地后立马掉头返回B地，在AB的中点追上了欣欣，最后与希希同时到达B地。三人每分钟各行多少米？
14．某汽车公司组织比赛，比赛规则如图所示：维修队有29人（含司机），速度为每分钟1千米（不计掉头时间），则维修队完成比赛最快需多少时间？
15．某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有多少名？
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