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2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县中考数学模拟试卷
1．（2025·榕江模拟） 的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数为﹣ ．
故选D．
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
2．（2025·榕江模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称及中心对称的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕着一点旋转一周得到的图形和原图形重合的是中心对称图形”逐选项判断即可．
3．（2025·榕江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，单项式乘单项式的法则逐项判断解题．
4．（2025·榕江模拟）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴知不等式组的解集为，
A选项不等式组的解集为；
B选项不等式组的解集为；
C选项不等式组的解集为；
D选项不等式组无解．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，然后对比数轴上的解集判断解题即可．
5．（2025·榕江模拟）用配方法解方程 时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：B.
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果.
6．（2025·榕江模拟）如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出瑞金表示的点坐标即可.
7．（2025·榕江模拟）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（　　）
油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000
发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961
发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961
A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒
【答案】C
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】
解：由表格可知：在相同条件下，油菜籽发芽频率约为0.96
∴ 2000粒油菜籽的发芽频率约为0.96
∴ 2000粒油菜籽的不能发芽频率约为1-0.96=0.04
∴ 2000粒油菜籽的不能发芽的约为2000×0.04=80粒
故答案为：C
【分析】本题考查频率与频数，用样本估计总体的频率。从表格可知，在相同条件下，油菜籽发芽频率约为0.96，可知2000粒油菜籽的不能发芽频率约为0.04，根据“频数=总数×频率”进行计算即可。
8．（2025·榕江模拟）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的两条对角线相交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得是等边三角形，即可得到对角线的长度解题．
9．（2025·榕江模拟）为估计某地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊分别做上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中两只有标志，从而估计该地区有黄羊（　　）只．
A．1200 B．400 C．200 D．600
【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计该地区有黄羊只，
故答案为：D．
【分析】用标记的数量除以第二次捕捉的做标记的占比解题即可．
10．（2025·榕江模拟）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：所求扇环的圆心角为，
阴影部分图形的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影面积是大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积解答即可．
11．（2025·榕江模拟）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（　　）
A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，
∴得，
∴，
∴，
由②得，，即
∴
∴，故A不正确，B正确，
，故C，D正确，
故答案为：A ．
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，得到，，然后代入a+b整理即可．
12．（2025·榕江模拟）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：
… …
… …
抛物线的对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，将，，代入得：
，
，
，
对称轴为直线，故错误；
，
开口向上，故正确；
当时，，
与轴的交点坐标为，故正确；
与轴的交点坐标为，
向上平移个单位后经过原点，故正确；
，
顶点坐标为，开口向上，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故正确，
故答案为：C．
【分析】根据待定系数法求出函数解析式，配方得到顶点式即可得到对称轴判断①；根据开口方向判断②；求出抛物线与y轴的交点坐标判断③；然后得到平移后的抛物线解析式判断④；根据二次函数的增减性判断⑤解题即可.
13．（2025·榕江模拟）比较两数的大小　 　3．（填“”或“”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2≈2×1.7≈3.4，3.4>3，
∴2>3.
故答案为：>.
【分析】根据无理数的估值可知：≈1.7，所以2≈3.4，而3.4>3，所以可以得到：2>3.
14．（2025·榕江模拟）如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则　 　度．
【答案】15
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
【分析】先根据等腰三角和三角形的内角和∠C和∠ADC的度数，然后根据三角形的外角解题即可．
15．（2025·榕江模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长　 　尺．
【答案】6.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长尺，则绳子长尺，
根据题意得：，
解得，，
答：木头长6.5尺
【分析】设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．
16．（2025·榕江模拟）如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：点P在所对圆周角的圆O上运动，
当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，根据等腰三角形的性质得到，，根据圆周角定理可得∠BOE的度数，然后根据正切的定义得到，再利用30度角的直角三角形的性质求出PO长，即可得到四边形是矩形，进而求出，，根据勾股定理得到长解题即可．
17．（2025·榕江模拟）（1）计算：；
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第______步出现错误，发生错误的原因是______；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
【答案】解：（1）
；
（2）任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后运算除法，再运算加法解题即可；
（2）任务一：根据分式的加减法运算法则判断即可得出答案；
任务二：根据异分母分式加减法运算法则，先同分合并、然后约分解题即可．
18．（2025·榕江模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象交于A、B两点，B点的坐标为．
（1）求两个函数的表达式和A点坐标；
（2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：反比例函数图象过，
，
反比例函数，
一次函数，图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为，
解方程组，得或，
；
（2）由图可知：当反比例函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值范围是或，∴当时的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后联立两个解析式求出交点坐标即可；
（2）借助图象得到直线在双曲线下方的自变量x的值即可．
（1）解：反比例函数图象过，
，
反比例函数，
一次函数，图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为，
解方程组，得或，
；
（2）由图可知：当反比例函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值范围是或，
∴当时的取值范围是或．
19．（2025·榕江模拟）下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
测试 平时成绩 期中测试 期末测试
练习一 练习二 练习三 练习四
成绩 88 92 90 86 90 96
（1）小明6次成绩的众数是　　，中位数是　　；
（2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意．
【答案】（1）90，90
（2）解：综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
（3）解：画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答；
（2）利用加权平均数的公式计算解题；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式解题．
（1）由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
（2）综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
（3）画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
20．（2025·榕江模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设与之间的距离为h，
∵菱形的面积，平行四边形的面积，
∴菱形的面积平行四边形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到是平行四边形，然后根据角平分线的性质得到，即可得到，得到结论；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出OE长，设与之间的距离为h，根据平行四边形的面积解答即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设与之间的距离为h，
∵菱形的面积，平行四边形的面积，
∴菱形的面积平行四边形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积．
21．（2025·榕江模拟）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
【答案】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据“ 30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设购买人物传记本，根据题意列不等式，求出m的最大正整数解解题即可．
（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
22．（2025·榕江模拟）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）．
【答案】（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作于点G．可以得到为矩形，得到．然后利用余弦的定义求出EG长即可；
（2）过点B分别作于点H，于点P．得到是矩形，得，在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
23．（2025·榕江模拟）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点.
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求：①的半径，②的长.
【答案】解：直线与相切；理由：连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
即，
为上的一点，
直线与相切；
①，
，
，
，
，
，
，
圆的半径为；
②，
，
∵过点作的切线交的延长线于点，
，
，即
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得出解题即可；
（2）①先得到，即可得到，然后根据对应边成比例解题即可；
②过点作的切线交的延长线于点，根据切线性质可得，然后根据，得到再根据相似三角形的对应变成比例解题即可.
24．（2025·榕江模拟）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x 12 14 15 17
y 36 32 30 26
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得：，
解得：k=-2，b=60，
∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60，
通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式，
因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60．
自变量的取值范围为：10≤x≤18．
（2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168，
解得：x=16，x=24舍去，
答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg；
（3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元，
答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后检验其它点的坐标即可；
（2）根据总利润=单利润×销售量列一元二次方程解答即可；
（3）先根据总利润=单利润×销售量求出函数关系式，配方得到顶点式，然后根据自变量x的取值范围求出最值即可．
25．（2025·榕江模拟）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，利用全等三角形的性质可得，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出四边形是矩形，再结合，，证出四边形是正方形，利用正方形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）连接AC，利用，可得，再证出，可得，再证出，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可．
1 / 12025年贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县中考数学模拟试卷
1．（2025·榕江模拟） 的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（2025·榕江模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·榕江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·榕江模拟）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·榕江模拟）用配方法解方程 时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·榕江模拟）如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·榕江模拟）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（　　）
油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000
发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961
发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961
A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒
8．（2025·榕江模拟）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·榕江模拟）为估计某地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊分别做上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中两只有标志，从而估计该地区有黄羊（　　）只．
A．1200 B．400 C．200 D．600
10．（2025·榕江模拟）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·榕江模拟）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（　　）
A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲
12．（2025·榕江模拟）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：
… …
… …
抛物线的对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·榕江模拟）比较两数的大小　 　3．（填“”或“”）
14．（2025·榕江模拟）如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则　 　度．
15．（2025·榕江模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长　 　尺．
16．（2025·榕江模拟）如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为　 　．
17．（2025·榕江模拟）（1）计算：；
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第______步出现错误，发生错误的原因是______；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
18．（2025·榕江模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象交于A、B两点，B点的坐标为．
（1）求两个函数的表达式和A点坐标；
（2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．
19．（2025·榕江模拟）下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
测试 平时成绩 期中测试 期末测试
练习一 练习二 练习三 练习四
成绩 88 92 90 86 90 96
（1）小明6次成绩的众数是　　，中位数是　　；
（2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意．
20．（2025·榕江模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
21．（2025·榕江模拟）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
22．（2025·榕江模拟）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）．
23．（2025·榕江模拟）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点.
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求：①的半径，②的长.
24．（2025·榕江模拟）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x 12 14 15 17
y 36 32 30 26
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
25．（2025·榕江模拟）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数为﹣ ．
故选D．
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称及中心对称的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕着一点旋转一周得到的图形和原图形重合的是中心对称图形”逐选项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，单项式乘单项式的法则逐项判断解题．
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴知不等式组的解集为，
A选项不等式组的解集为；
B选项不等式组的解集为；
C选项不等式组的解集为；
D选项不等式组无解．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，然后对比数轴上的解集判断解题即可．
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：B.
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出瑞金表示的点坐标即可.
7．【答案】C
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】
解：由表格可知：在相同条件下，油菜籽发芽频率约为0.96
∴ 2000粒油菜籽的发芽频率约为0.96
∴ 2000粒油菜籽的不能发芽频率约为1-0.96=0.04
∴ 2000粒油菜籽的不能发芽的约为2000×0.04=80粒
故答案为：C
【分析】本题考查频率与频数，用样本估计总体的频率。从表格可知，在相同条件下，油菜籽发芽频率约为0.96，可知2000粒油菜籽的不能发芽频率约为0.04，根据“频数=总数×频率”进行计算即可。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的两条对角线相交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得是等边三角形，即可得到对角线的长度解题．
9．【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计该地区有黄羊只，
故答案为：D．
【分析】用标记的数量除以第二次捕捉的做标记的占比解题即可．
10．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：所求扇环的圆心角为，
阴影部分图形的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影面积是大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积解答即可．
11．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，
∴得，
∴，
∴，
由②得，，即
∴
∴，故A不正确，B正确，
，故C，D正确，
故答案为：A ．
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，得到，，然后代入a+b整理即可．
12．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，将，，代入得：
，
，
，
对称轴为直线，故错误；
，
开口向上，故正确；
当时，，
与轴的交点坐标为，故正确；
与轴的交点坐标为，
向上平移个单位后经过原点，故正确；
，
顶点坐标为，开口向上，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故正确，
故答案为：C．
【分析】根据待定系数法求出函数解析式，配方得到顶点式即可得到对称轴判断①；根据开口方向判断②；求出抛物线与y轴的交点坐标判断③；然后得到平移后的抛物线解析式判断④；根据二次函数的增减性判断⑤解题即可.
13．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2≈2×1.7≈3.4，3.4>3，
∴2>3.
故答案为：>.
【分析】根据无理数的估值可知：≈1.7，所以2≈3.4，而3.4>3，所以可以得到：2>3.
14．【答案】15
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
【分析】先根据等腰三角和三角形的内角和∠C和∠ADC的度数，然后根据三角形的外角解题即可．
15．【答案】6.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长尺，则绳子长尺，
根据题意得：，
解得，，
答：木头长6.5尺
【分析】设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：点P在所对圆周角的圆O上运动，
当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，根据等腰三角形的性质得到，，根据圆周角定理可得∠BOE的度数，然后根据正切的定义得到，再利用30度角的直角三角形的性质求出PO长，即可得到四边形是矩形，进而求出，，根据勾股定理得到长解题即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后运算除法，再运算加法解题即可；
（2）任务一：根据分式的加减法运算法则判断即可得出答案；
任务二：根据异分母分式加减法运算法则，先同分合并、然后约分解题即可．
18．【答案】（1）解：反比例函数图象过，
，
反比例函数，
一次函数，图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为，
解方程组，得或，
；
（2）由图可知：当反比例函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值范围是或，∴当时的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后联立两个解析式求出交点坐标即可；
（2）借助图象得到直线在双曲线下方的自变量x的值即可．
（1）解：反比例函数图象过，
，
反比例函数，
一次函数，图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为，
解方程组，得或，
；
（2）由图可知：当反比例函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值范围是或，
∴当时的取值范围是或．
19．【答案】（1）90，90
（2）解：综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
（3）解：画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答；
（2）利用加权平均数的公式计算解题；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式解题．
（1）由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
（2）综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
（3）画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设与之间的距离为h，
∵菱形的面积，平行四边形的面积，
∴菱形的面积平行四边形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到是平行四边形，然后根据角平分线的性质得到，即可得到，得到结论；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出OE长，设与之间的距离为h，根据平行四边形的面积解答即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设与之间的距离为h，
∵菱形的面积，平行四边形的面积，
∴菱形的面积平行四边形的面积，
∵菱形的面积，
∴四边形的面积．
21．【答案】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据“ 30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设购买人物传记本，根据题意列不等式，求出m的最大正整数解解题即可．
（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
22．【答案】（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作于点G．可以得到为矩形，得到．然后利用余弦的定义求出EG长即可；
（2）过点B分别作于点H，于点P．得到是矩形，得，在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
23．【答案】解：直线与相切；理由：连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
即，
为上的一点，
直线与相切；
①，
，
，
，
，
，
，
圆的半径为；
②，
，
∵过点作的切线交的延长线于点，
，
，即
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得出解题即可；
（2）①先得到，即可得到，然后根据对应边成比例解题即可；
②过点作的切线交的延长线于点，根据切线性质可得，然后根据，得到再根据相似三角形的对应变成比例解题即可.
24．【答案】解：（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得：，
解得：k=-2，b=60，
∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60，
通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式，
因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60．
自变量的取值范围为：10≤x≤18．
（2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168，
解得：x=16，x=24舍去，
答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg；
（3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元，
答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后检验其它点的坐标即可；
（2）根据总利润=单利润×销售量列一元二次方程解答即可；
（3）先根据总利润=单利润×销售量求出函数关系式，配方得到顶点式，然后根据自变量x的取值范围求出最值即可．
25．【答案】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，利用全等三角形的性质可得，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出四边形是矩形，再结合，，证出四边形是正方形，利用正方形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）连接AC，利用，可得，再证出，可得，再证出，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可．
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