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浙江省绍兴市2025年初中毕业生学业水平调测数学试题
1．（2025·绍兴模拟） 实数 2 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·绍兴模拟）如图的几何体是由四个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·绍兴模拟） 据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过11900000个.数字11900000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绍兴模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·绍兴模拟） 一组数据3，4，6，5，6的中位数是（　　）
A．6 B．5.5 C．5 D．4
6．（2025·绍兴模拟） 当时，代数式的值是（　　）
A． B．0 C． D．
7．（2025·绍兴模拟）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知. 若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有x钱，乙原有y钱，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·绍兴模拟） 如图，将绕点 B 顺时针旋，得（A与D为对应点），若点D刚好落在边AC上，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绍兴模拟） 如图，，，C 在线段BD上，F是AE的中点，连结 BF，DF，若 ，，则BF的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·绍兴模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·绍兴模拟） 将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张不透明卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“巳”的概率是　 　.
13．（2025·绍兴模拟） 写出一个大于2且小于3的最简二次根式：　 　.
14．（2025·绍兴模拟） 如图，点A，B，C均在上，，则与的度数和是　 　.
15．（2025·绍兴模拟） 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若 BF=2DF，则的值是　 　.
16．（2025·绍兴模拟） 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将沿BE折叠得，再将沿CE折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是　 　.
17．（2025·绍兴模拟） 计算：.
18．（2025·绍兴模拟） 解不等式组
19．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，点D在BC边上，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
20．（2025·绍兴模拟）《国家学生体质健康标准》将八年级男生引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格.某校随机调查了八年级部分男生引体向上测试成绩等级，根据等级，绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）求本次调查的男生人数以及扇形统计图中良好等级的圆心角大小；
（2）若八年级共有300名男生，估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数.
21．（2025·绍兴模拟）已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
22．（2025·绍兴模拟）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速.
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时，甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段(减速时间忽略不计)，当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处，已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s(千米)与甲车在此路段行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图所示.
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速.
23．（2025·绍兴模拟） 若对于y关于x的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d.
（1）若，求d的值；
（2）若，
①若点，均在函数y的图象上，当的值最大时，求d的值；
②当时，求t的值.
24．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，直径BC=6，，AD是的切线，点D为切点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，线段AO交于点E，连结DE，若，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交于点F，连结DF，若，求AF的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 实数 2 的相反数是-2，
故答案为：B .
【分析】根据“ 相反数是指绝对值相同但符号不同的两个数 ”解答即可.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为第一层有三个正方形，上边一层的左边有一个正方形，
故答案为：A .
【分析】根据从正面看的图形解答即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11900000用科学记数法表示是 ，
故答案为：A .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： A：，原计算错误；
B：，计算正确；
C：，原计算错误；
D：，原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断解题.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据排列为3，4，5，6，6，
居于中间的数为5，故中位数为5，
故答案为：C .
【分析】根据“ 中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均”解答即可.
6．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时， 原式，
故答案为：D .
【分析】直接把x，y的值代入计算解题即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设甲原有x钱，乙原有y钱，列方程组为 ，
故答案为：A .
【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“ 甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱 ”列二元一次方程组即可解题.
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵绕点 B 顺时针旋，得 ，
∴BA=BD，∠A=∠BDE，
又∵，
∴∠A=，
故答案为：C .
【分析】根据旋转的性质得到BA=BD，∠A=∠BDE，然后根据等边对等角和三角形的内角和得到∠A的度数解题即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接FC，
∵，
∴AB=CD=1，AC=CE，∠ACB=∠CDE，
∴BD=3，
∵，
∴∠ACB+∠ECD=∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACD=90°，
又∵ F是AE的中点，
∴∠AFC=90°=∠ABC，CF=AF，
∴∠FAB+∠FCB=360°-90°-90°=180°=∠FCD+∠FCB，
∴∠FAB=∠FCD，
∴△FAC≌△FCD，
∴BF=FD，∠AFB=∠CFD，
∴∠AFC=∠BFD=90°，
∴∠FBD=45°，
∴，
故答案为：D .
【分析】连接FC，先根据≌得到AB=CD=1，AC=CE，∠ACB=∠CDE，然后根据SAS证明△FAC≌△FCD，即可得到△BFD是等腰直角三角形，然后根据余弦的定义解题即可.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中任意抽取一张有4种等可能结果，期中得到文字是“巳”的有2种，
∴得到文字是“巳”的概率为，
故答案为： .
【分析】根据概率公式直接计算解题.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：符合条件的无理数为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的估算解题即可.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，则∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=∠ACB=60°，
故答案为：60° .
【分析】根据等边对等角解答即可.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ADF∽△EBF，△DGF∽△BAF，
∴，，
∴，即，
故答案为： .
【分析】根据平行线的性质得到△ADF∽△EBF，△DGF∽△BAF，然后根据对应边成比例解答即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当点G在EC上时，F、G重合，BF=AB=4，BC=10，
∴CG=，
设AE=x，则DE=10-x，CE=10+x，
∵，
∴，
解得：x=10-2；
当点G在AD上时，如图，
∵∠FEC=∠CED，∠BEF=∠GEH，
∴∠HEC=∠HGE=90°，
∴△HEG∽△ECD，
∴，即，
解得AE=2或AE=8（舍去）
∴ 点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是 10-2故答案为： .
【分析】分为点G在EC上或点G在AD上两种临界时利用勾股定理和相似三角形的性质求出AE长，即可得到取值范围.
17．【答案】解：原式=4-2+1
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂和零次幂，去绝对值，然后加减解题即可.
18．【答案】解：
由①得，
由②得，
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可.
19．【答案】（1）解：设，因为，则，
因为，所以，所以，
所以，，
所以.
（2）解：在中，，即，
所以，
所以，的周长为.
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）设，可得，然后根据正弦得到AC长，再根据勾股定理求出AD长，表示正切即可；
（2）利用勾股定理求出x值，即可得到三角形的周长.
20．【答案】（1）解：，
，.
答：本次调查的男生人数为50，扇形统计图中良好等级的圆心角是.
（2）解：.
答：估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数是18.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用及格等级的人数除以它的占比求出考查的总人数，然后利用总人数减去其它等级的人数求出良好的人数，再运用360°×良好的占比求出圆心角即可；
（2）运用300×样本优秀的占比解答即可；
21．【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】甲：运用两组对边分别相等得到ABCD是平行四边形，再根据∠B是直角得到结论即可；乙：根据对角线相等且平分的四边形是矩形解答即可.
22．【答案】（1）解： 由题意可得，当时，.
（2）解：设直线AC的解析式为：，由题意可得，它经过点代入可得，
所以直线AC的解析式为：，
点C横坐标，
当时，，
所以点C的坐标为.
由（1）可得，，所以直线CD经过点.
设直线CD的解析式为：，
则
解得
所以，所以.
（3）解：当时，，得，
所以乙车在该路段上的总用时为：（小时），
乙车的平均速度为：，
所以乙车在该区间测速路段超速了.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度×时间解答即可；
（2）先求出直线AC的解析式，即可得到点C的坐标，进而求出直线CD的解析式可得a的值；
计算s=50时的时间t，然后根据速度=路程÷时间求出乙车的速度比较解题即可.
23．【答案】（1）解：因为，所以y随x的增大而增大，
所以.
（2）解：①，
所以取到最大值时，此时，
所以此范围内最大值为2，最小值为，所以.
②当时，，所以.
当，，
所以（舍去）；
当，，
所以（舍去）；
当，即时，，
所以；
综上，或.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的增减性解题即可；
（2）①把点A、B的坐标代入，得到m+n关于t的二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值即可；
②分为，，和四种情况，利用函数的增减性得到方程，求出n的值即可.
24．【答案】（1）证明：因为BC是的直径，，
所以AB是的切线.
又因为AD是的切线，
所以.
（2）解： 如图，连结OD，
因为 ，，，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以.
所以，所以，
所以.
（3）解：如图，连接OA，OD，FB，BD，
因为，且，所以.
所以，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，且，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
因为BC是的直径，所以，所以，
所以.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据切线长定理解答即可；
（2）连结OD，即可得到 ，进而得到，求出，根据余弦的定义解题即可；
（3）连接OA，OD，FB，BD，即可得到，然后证明，根据对应边成比例求出AB长，然后根据勾股定理得到AC的值，求∠ACB的余弦值即可解题.
1 / 1浙江省绍兴市2025年初中毕业生学业水平调测数学试题
1．（2025·绍兴模拟） 实数 2 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 实数 2 的相反数是-2，
故答案为：B .
【分析】根据“ 相反数是指绝对值相同但符号不同的两个数 ”解答即可.
2．（2025·绍兴模拟）如图的几何体是由四个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为第一层有三个正方形，上边一层的左边有一个正方形，
故答案为：A .
【分析】根据从正面看的图形解答即可.
3．（2025·绍兴模拟） 据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过11900000个.数字11900000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11900000用科学记数法表示是 ，
故答案为：A .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．（2025·绍兴模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： A：，原计算错误；
B：，计算正确；
C：，原计算错误；
D：，原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断解题.
5．（2025·绍兴模拟） 一组数据3，4，6，5，6的中位数是（　　）
A．6 B．5.5 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据排列为3，4，5，6，6，
居于中间的数为5，故中位数为5，
故答案为：C .
【分析】根据“ 中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均”解答即可.
6．（2025·绍兴模拟） 当时，代数式的值是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时， 原式，
故答案为：D .
【分析】直接把x，y的值代入计算解题即可.
7．（2025·绍兴模拟）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知. 若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有x钱，乙原有y钱，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设甲原有x钱，乙原有y钱，列方程组为 ，
故答案为：A .
【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“ 甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱 ”列二元一次方程组即可解题.
8．（2025·绍兴模拟） 如图，将绕点 B 顺时针旋，得（A与D为对应点），若点D刚好落在边AC上，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵绕点 B 顺时针旋，得 ，
∴BA=BD，∠A=∠BDE，
又∵，
∴∠A=，
故答案为：C .
【分析】根据旋转的性质得到BA=BD，∠A=∠BDE，然后根据等边对等角和三角形的内角和得到∠A的度数解题即可.
9．（2025·绍兴模拟） 如图，，，C 在线段BD上，F是AE的中点，连结 BF，DF，若 ，，则BF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接FC，
∵，
∴AB=CD=1，AC=CE，∠ACB=∠CDE，
∴BD=3，
∵，
∴∠ACB+∠ECD=∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACD=90°，
又∵ F是AE的中点，
∴∠AFC=90°=∠ABC，CF=AF，
∴∠FAB+∠FCB=360°-90°-90°=180°=∠FCD+∠FCB，
∴∠FAB=∠FCD，
∴△FAC≌△FCD，
∴BF=FD，∠AFB=∠CFD，
∴∠AFC=∠BFD=90°，
∴∠FBD=45°，
∴，
故答案为：D .
【分析】连接FC，先根据≌得到AB=CD=1，AC=CE，∠ACB=∠CDE，然后根据SAS证明△FAC≌△FCD，即可得到△BFD是等腰直角三角形，然后根据余弦的定义解题即可.
10．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
11．（2025·绍兴模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025·绍兴模拟） 将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张不透明卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“巳”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中任意抽取一张有4种等可能结果，期中得到文字是“巳”的有2种，
∴得到文字是“巳”的概率为，
故答案为： .
【分析】根据概率公式直接计算解题.
13．（2025·绍兴模拟） 写出一个大于2且小于3的最简二次根式：　 　.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：符合条件的无理数为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的估算解题即可.
14．（2025·绍兴模拟） 如图，点A，B，C均在上，，则与的度数和是　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，则∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=∠ACB=60°，
故答案为：60° .
【分析】根据等边对等角解答即可.
15．（2025·绍兴模拟） 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若 BF=2DF，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ADF∽△EBF，△DGF∽△BAF，
∴，，
∴，即，
故答案为： .
【分析】根据平行线的性质得到△ADF∽△EBF，△DGF∽△BAF，然后根据对应边成比例解答即可.
16．（2025·绍兴模拟） 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将沿BE折叠得，再将沿CE折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当点G在EC上时，F、G重合，BF=AB=4，BC=10，
∴CG=，
设AE=x，则DE=10-x，CE=10+x，
∵，
∴，
解得：x=10-2；
当点G在AD上时，如图，
∵∠FEC=∠CED，∠BEF=∠GEH，
∴∠HEC=∠HGE=90°，
∴△HEG∽△ECD，
∴，即，
解得AE=2或AE=8（舍去）
∴ 点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是 10-2故答案为： .
【分析】分为点G在EC上或点G在AD上两种临界时利用勾股定理和相似三角形的性质求出AE长，即可得到取值范围.
17．（2025·绍兴模拟） 计算：.
【答案】解：原式=4-2+1
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂和零次幂，去绝对值，然后加减解题即可.
18．（2025·绍兴模拟） 解不等式组
【答案】解：
由①得，
由②得，
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可.
19．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，点D在BC边上，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）解：设，因为，则，
因为，所以，所以，
所以，，
所以.
（2）解：在中，，即，
所以，
所以，的周长为.
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）设，可得，然后根据正弦得到AC长，再根据勾股定理求出AD长，表示正切即可；
（2）利用勾股定理求出x值，即可得到三角形的周长.
20．（2025·绍兴模拟）《国家学生体质健康标准》将八年级男生引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格.某校随机调查了八年级部分男生引体向上测试成绩等级，根据等级，绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）求本次调查的男生人数以及扇形统计图中良好等级的圆心角大小；
（2）若八年级共有300名男生，估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数.
【答案】（1）解：，
，.
答：本次调查的男生人数为50，扇形统计图中良好等级的圆心角是.
（2）解：.
答：估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数是18.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用及格等级的人数除以它的占比求出考查的总人数，然后利用总人数减去其它等级的人数求出良好的人数，再运用360°×良好的占比求出圆心角即可；
（2）运用300×样本优秀的占比解答即可；
21．（2025·绍兴模拟）已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】甲：运用两组对边分别相等得到ABCD是平行四边形，再根据∠B是直角得到结论即可；乙：根据对角线相等且平分的四边形是矩形解答即可.
22．（2025·绍兴模拟）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速.
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时，甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段(减速时间忽略不计)，当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处，已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s(千米)与甲车在此路段行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图所示.
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速.
【答案】（1）解： 由题意可得，当时，.
（2）解：设直线AC的解析式为：，由题意可得，它经过点代入可得，
所以直线AC的解析式为：，
点C横坐标，
当时，，
所以点C的坐标为.
由（1）可得，，所以直线CD经过点.
设直线CD的解析式为：，
则
解得
所以，所以.
（3）解：当时，，得，
所以乙车在该路段上的总用时为：（小时），
乙车的平均速度为：，
所以乙车在该区间测速路段超速了.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度×时间解答即可；
（2）先求出直线AC的解析式，即可得到点C的坐标，进而求出直线CD的解析式可得a的值；
计算s=50时的时间t，然后根据速度=路程÷时间求出乙车的速度比较解题即可.
23．（2025·绍兴模拟） 若对于y关于x的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d.
（1）若，求d的值；
（2）若，
①若点，均在函数y的图象上，当的值最大时，求d的值；
②当时，求t的值.
【答案】（1）解：因为，所以y随x的增大而增大，
所以.
（2）解：①，
所以取到最大值时，此时，
所以此范围内最大值为2，最小值为，所以.
②当时，，所以.
当，，
所以（舍去）；
当，，
所以（舍去）；
当，即时，，
所以；
综上，或.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的增减性解题即可；
（2）①把点A、B的坐标代入，得到m+n关于t的二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值即可；
②分为，，和四种情况，利用函数的增减性得到方程，求出n的值即可.
24．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，直径BC=6，，AD是的切线，点D为切点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，线段AO交于点E，连结DE，若，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交于点F，连结DF，若，求AF的长.
【答案】（1）证明：因为BC是的直径，，
所以AB是的切线.
又因为AD是的切线，
所以.
（2）解： 如图，连结OD，
因为 ，，，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以.
所以，所以，
所以.
（3）解：如图，连接OA，OD，FB，BD，
因为，且，所以.
所以，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，且，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
因为BC是的直径，所以，所以，
所以.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据切线长定理解答即可；
（2）连结OD，即可得到 ，进而得到，求出，根据余弦的定义解题即可；
（3）连接OA，OD，FB，BD，即可得到，然后证明，根据对应边成比例求出AB长，然后根据勾股定理得到AC的值，求∠ACB的余弦值即可解题.
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