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2024-2025学年人教版七年级下册数学 第10章二元一次方程组单元试卷
一、单选题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程组，则代数式的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．用代入法解方程组时，下列变形正确的是（ ）．
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
4．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
5．解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
6．若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（ ）
A．元、元 B．元、元
C．元、元 D．元、元
8．若方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（ ）
A． B．2 C． D．0.5
9．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A． B．
C． D．
10．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，用含的代数式表示，得 ．
12．方程组的解为则■+▲= ．
13．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ．
14．已知，且，则 ．
15．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7．如果把这个两位数加上45，结果恰好为原数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，那么原来的两位数是 ．
16．已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是 ．
17．对于有理数x、y定义一种运算“”：，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，，则的值为 ．
18．我国古代著作中记载了一道“绳索量竿”问题，译文：有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长1托；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短1托．竿长 托，绳长 托．(注：“托”是古代的长度单位)
三、解答题
19．解方程组：
(1) (2)
20．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值．
21．小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？
22．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）：
车型 甲 乙 丙
每辆汽车运载量 5 8 10
每辆汽车运费/元 400 500 600
(1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？
(2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆．
(3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？
23．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B C C B B D
11．
12．
13．
14．6
15．16
16．
17．
18． 3 4
19．（1）解：
得，，
解得：，
将代入①得，，
∴原方程组的解为：；
（2）解：原方程组可变形为，
得：，
解得：，
将代入得：．
则该方程组的解为：．
20．解：∵和的解相同，
∴，解得：，
将代入中，得：，
解得：．
∴，．
21．解：设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
答：小明家与学校的距离是0.7千米．
22．（1）解：设需要乙车辆，丙车辆
由题意可得：
解得：
需要乙车8辆，丙车7辆
（2）解：设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆
由题意可得：
消去可得：
由于是正整数，且小于16，则：
由是正整数，解得
有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆；
②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；
（3）解：两种方案得运费分别是：
①；
②；
甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元.
23．（1）解：
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：，
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．

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