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2024-2025学年广东省部分学校高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则( )
A. B. C. D.
5.利用斜二测画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点，，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，，则( )
A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形，就可以覆盖会徽的主图案在四边形中，，分别是，的中点，，，则下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期是 B. 的最小值是
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称
11.在中，角，，的对边分别为，，若，则( )
A. B.
C. 若，，则 D. 若，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一元二次方程的两个虚根为______．
13.已知函数，则不等式的解集是______．
14.在三棱锥中，，，两两垂直，，以为直径
的球与，分别交于点，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，其中，．
求，；
设，若，证明：．
16.本小题分
如图，正四棱台的上底面面积为，下底面面积为，侧棱长为将正四棱台的四条侧棱延长交于点，得到正四棱锥如图所示．
求正四棱台的体积；
若正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，求球的表面积．
17.本小题分
已知函数，且，函数的图象经过点．
求关于的不等式的解集；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在梯形中，，，，与交于点设，．
用基底表示；
若，，求；
设点到，的距离分别为，，求的值．
19.本小题分
已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且满足，在所在平面内以为边向外作如图所示，，，．
求；
求的内切圆半径；
求的面积的取值范围．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，，
所以
解得，；
证明：因为，，，
所以化为，
即，
所以，
整理得．
16.解：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则即为正四棱台的高，
易得，，且有，
解得，
所以正四棱台的体积为：
．
易知，
所以在得到的正四棱锥中，为的中点，
所以，
设正四棱锥的外接球的半径为，
则在上，连接，则．
在中，，得，
所以正四棱锥的外接球表面积为．
由题意易得上下底面的边长分别为，，连接上下底面的中心即为高，利用勾股定理即可求得高，再由棱台的体积公式即可求得结果；
由比例关系可知正四棱台上底面中心为得到的正四棱锥的高的中点，则球心在正四棱锥的顶点向下作的高线上，连接，根据题意可列出关于球的半径的方程，解之得半径，由此可算得球的表面积．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
17.解：因为函数的图象经过点，，，
所以，得，
所以，，
所以不等式转化为，
即，
解得，
所以不等式的解集为；
由知，
由有两个零点，知方程有两个实数解，
即，得有两个实数解，
令，则，当且仅当时取等号，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数与的图象在区间和上各有一个交点，
则，得，
所以实数的取值范围是．
18.解：由题，，，，
由图可得，
，
则
；
由题可得，
；
由与交于点，可设，，
则
，
由知，
则，解得，
所以，
解得：．
19.解：由，利用正弦定理得，
由余弦定理得，所以，得．
因为，所以．
在中，，得，
又，得，
联立得，因为，所以，．
由余弦定理得，解得．
又，解得．
由知，所以的外接圆半径为，
所以，
，
所以的面积
，
因为是锐角三角形，所以得，
所以，，
所以，
所以面积的取值范围是．
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