资源简介

7.5　正态分布（同步检测）
一、选择题
1.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，若P(ξ≤1)＝0.84，则P(－1<ξ≤0)等于(　　)
A.0.16 B.0.32
C.0.34 D.0.68
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)＝(　　)
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
3.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在区间(82，106)内的产品估计有(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5．
A.8 186件 B.6 826件
C.4 772件 D.2 718件
4.随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上(含90分)为及格．阅卷结果显示，全年级1 200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为(附：若X～N(μ，σ2)，记p(k)＝P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683)(　　)
A.136 B.272
C.328 D.820
6.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，若Z～N(μ1，σ)，则下列结论正确的是(　　)
A.μ1<μ2，σ1>σ2 B.P(μ1≤Z≤μ2)≥P(μ1≤X≤μ2)
C.P(Z≥μ2)≥P(Z≥μ1) D.P(Z≤μ2)>P(Y≤μ1)
7.(多选)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列选项中正确的是(　　)
A.σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8，10.2)的概率越大
B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在(9.8，10.2)与落在(9.9，10.3)的概率相等
8.(多选)在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则，若X在[μ－3σ，μ＋3σ]外，可以认为生产线是不正常的，已知P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1，0.000 1)(单位：厘米)，则(　　)
A.P(X＝1)＝
B.P(X<0.99)＝P(X≥1.01)
C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99，1.02]内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修
二、填空题
9.若X～N ，则D(X)＝________
10.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(15，9)，其中X∈[6，18]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．
参考数据：若X～N(μ，σ2),则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
11.以下是关于正态密度曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴的上方；
②曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；
③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
④曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；
⑥σ越大，曲线越尖陡，σ越小，曲线越扁平．
其中说法正确的有________(填序号)．
12.柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|≤)＝，P(113.已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a＝________，b＝________
三、解答题
14.某企业举行招聘考试，共有1 000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝65，σ＝10，试估计初试成绩不低于75分的人数；(精确到个位数)
(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σμ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ15.搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中的锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了20世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N(μ，0.25)，且P(X<6)＝，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．
(1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；
②若A厂生产了10 000件这种搪瓷水杯，记ξ表示这10 000件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的产品件数，求E(ξ)．
(2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示．
设L＝，若以“L的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．
注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C
2.A　解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16．]
3.A　解析：依题意，μ＝90，σ＝8，∴P(82∴质量在区间(82，106)内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件．]
4.B 解析：∵P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，∴μ＝＝4.
5.B　解析：由题得μ＝0.49×150＝73.5，σ＝22，∵p(k)＝P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)，p(0.75)≈0.547，∴P(57≤X≤90)＝p(0.75)≈0.547，P(X≥90)＝0.5×(1－0.547)＝0.226 5，∴该校及格人数为0.226 5×1 200≈272．故选B．
6.D　解析：由题可知两曲线分别关于X＝μ1，Y＝μ2对称，X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以由题图可知，μ1<μ2，σ1<σ2，A错误；Z～N(μ1，σ)，故Z的曲线关于x＝μ1对称，且与Y的分布曲线一样“矮胖”，故P(μ1≤Z≤μ2)P(Z≤μ1)＝>P(Y≤μ1)，D正确．故选D．
7.BC
8.BCD　解析：由题意可得μ＝1，σ＝0.01，对于A，因为正态分布求得是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0)，所以P(X＝1)接近于0，或P(X≤1)＝或P(X≥1)＝，故A错误；对于B，因为X服从正态分布N(1，0.000 1)，所以关于μ＝1对称，所以P(X<0.99)＝P(X≥2－0.99)＝P(X≥1.01)，故B正确；对于C，因为μ－3σ＝0.97，μ＋3σ＝1.03，即零件长度在[0.97，1.03]内的是正常的，否则就为不正常零件，故C正确；对于D，由C的分析，可知0.95 [0.97，1.03]，所以需要对生产线进行检修，故D正确．故选BCD．
二、填空题
9.答案：
解析：因为X～N，所以D(X)＝.
10.答案：0.84　
解析：由题意知，该产品服从X～N(15，9)，则μ＝15，σ＝3，所以P(6≤X≤18)＝P(15－3×3≤X≤15＋3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，所以P(μ－3σ≤X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.157 3＋0.682 7＝0.84，即P(6≤X≤18)＝0.84．所以抽到“可用产品”的概率为0.84．
11.答案：①④⑤　
解析：直接根据正态密度曲线的性质作出判断，②③⑥不符合上述性质，故错误．
12.答案：　
解析：因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称．由P(|X|≤)＝，得P(013.答案：，－1　
解析：∵随机变量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4．∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，解得a＝，b＝－1．
三、解答题
14.解：(1)由学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝65，σ＝10，得75＝65＋10＝μ＋σ，因此P(X≥75)＝P(X≥μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0.158 65，
所以估计初试成绩不低于75分的人数为0.158 65×1 000≈159．
(2)Y的可能取值为0，10，20，30，
则P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝10)＝×＋×C××＝，
P(Y＝20)＝×C××＋×＝，P(Y＝30)＝×＝，
所以Y的分布列为
Y 0 10 20 30
P
数学期望为E(Y)＝0×＋10×＋20×＋30×＝19.5．
15.解：(1)①根据题意，P(X<6)＝，得μ＝6，即A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6．
②∵σ2＝0.25，∴σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，
易知一件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的概率约为0.682 7，依题意知ξ服从参数为10 000，0.682 7的二项分布，∴E(ξ)≈10 000×0.682 7＝6 827．
(2)A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：
用样本估计总体，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数XB的平均值为(3.5×10＋4.5×8＋5.5×6＋6.5×5＋7.5×1)＝4.8．
∵A厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件，∴LA＝＝≈0.17，
∵B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，∴LB＝＝0.16，
又∵0.17>0.16，故A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性．

展开更多......

收起↑