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2025年中考数学专题训练：有理数及其运算
一、单选题
1．下列各数中有理数是（ ）
A． B．
C． D．0.10100100010000…（相邻的两个1之间依次多一个0）
2．中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（ ）
A． B．3 C．0 D．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．点到直线的距离是点到直线的垂线段
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
4．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．根据周口市2024年政府工作报告指出全市常住人口为876.5万人，城镇化率达到，数据“876.5万”，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
6．嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66．
甲说：如果没有写错符号，该算式；
乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了；
丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了；
丁说：算式．
下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（ ）
A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确
C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确
7．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
8．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（ ）个
①；②；③；④若，且，则或
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（1）的相反数是 ，（2） ．
10．若a，b为实数，且，则的值为 ．
11．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ．
12．已知，则 （填“”“”或“”号）
13．有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ．
14．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“卓越数”．例如，，，，，就是三个卓越数．在正整数中，从1开始，第2025个卓越数是 ．
15．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题：
（1）当，时， ；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．计算：．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合．
(1)若，求A，B，C，D四点表示的数的和．
(2)若线段，，能围成等腰三角形，求x的值．
21．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，当点的“短距”等于点的“短距”时，称、两点为“等距点”．例如：若点的坐标为，则点的“短距”为3．点与点的“短距”均为3，则称、两点为“等距点”．
(1)已知点，在点，，中，为点的“等距点”的是点______．
(2)若点的“短距”为1，求的值．
(3)若，两点为“等距点”，求的值．
22．“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）关系式；
(2)当千米时，求剩余油量的值；
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
23．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）
24．我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”．
(1)直接写出计算结果：_______，________；
(2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______．
(3)试说明（，为正整数且）．
《2025年中考数学专题训练：有理数及其运算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D D C C B A
1．C
【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据有理数包括有限小数或无限循环小数，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含的，③有规律但无限不循环的小数．据此解答即可．
【详解】解：A、是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，分数是有理数，故本选项符合题意；
D、0.10100100010000…（相邻的两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查负数的定义，根据负数小于0求解即可．
【详解】解：根据负数的定义：是负数，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了不等式性质，绝对值性质，点到直线的距离以及中点四边形的判定定理，根据以上知识逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，当时，，当时，，当时，，故该选项是假命题，不符合题意；
B. 时，或，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，
∴，故选项D正确；
故选D．
5．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：876.5万，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可．
【详解】解：
；故甲运算正确；
∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66．
而；
∴错误的符合一定是把“”错写成“”
设写错符号的数为，
∴，
解得，
∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确；
∵
，故丁正确；
故选：C
7．B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，
设经过次传输，可以结束程序，
∵，，
∴，
解得，
∵为正整数，
∴的值为，即经过次传输，可以结束程序，
故选：．
8．A
【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键．
根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④．
【详解】解：由题可知： ，，
故①正确；②③错误；
由，则或，
当时，，；
当时，，；
所以④错误．
所以正确的只有①，即1个．
故选A．
9． /
【分析】本题考查了求一个数的相反数，求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念．
根据立方根的运算法则及相反数的概念计算即可．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：；
，
故答案为：．
10．1
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根和非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果．
【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
12．
【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方得出，，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】解：第一组所有数的和为，
第二组所有数的和为，
第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是，
同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了数字规律，乘方运算，理解数量关系找出规律是关键．
根据题意把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，由此推理即可求解．
【详解】解：设两个数分别为，为整数，
∴，
设两个数分别为，为整数，
∴，
∴ 除4外，所有能被4整除的偶数都是卓越数，即当时，均为卓越数，另外，还有如等，这样不能被4整除的数，均不是卓越数，
∴被4除余2的正整数不是卓越数，
同时，根据表格信息可得，除1外，所有奇数均为卓越数，
∴把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，依次类推，
∴，
∴第个卓越数在（组），且是第三个数，
∴，
故答案为： ．
15． 或
【分析】本题主要考查新定义下的运算，有理数混合运算，绝对值的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握知识点的应用以及分类讨论思想．
（）根据新定义即可求解；
（）分当为偶数时，则为奇数和当为奇数时，则为偶数两种情况分析，然后根据新定义列出方程，再进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（）当，时，为偶数，
∴
，
故答案为：；
（）当为偶数时，则为奇数，，
当时，，解得：（舍）
当时，，解得：（舍），
当时，，解得：（舍）；
当为奇数时，则为偶数，，
当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：
17．
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，先计算零次幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：
；
18．(1)
(2)7
【分析】该题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．
（1）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可．
（2）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据有理数的加法法则计算，即可作答．
（2）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘除，最后运算减法，即可作答．
（3）先把除法化为乘法，再运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答．
（4）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
．
（3）解：
；
（4）解：
．
20．(1)A、B、C、D四点表示的数的和为6
(2)x的值为2或5或3.5
【分析】本题主要考查数轴，有理数的加减法以及等腰三角形的定义，正确地进行进行分类讨论是解答本题的关键．
（1）直接进行加减运算即可；
（2）分别求出，，的长，再根据为底和腰时分别讨论、计算即可．
【详解】（1）解：当时有：
，
∴A、B、C、D四点表示的数的和为6．
（2）解：据题意得：，，，
当为底时，则有，
∴
解得，；
当为腰，且时，，
∴，
解得，；
当为腰，且时，
∴，
解得，
∴x的值为2或5或3.5．
21．(1)，
(2)或或
(3)或
【分析】本题考查新定义，点到坐标轴的距离．
（1）分别求出点A，E，F，G到坐标轴的距离，得到各点的“短距”，根据“等距点”的定义判断即可；
（2）根据“短距”的定义得到或，求解得到m的值，进行检验即可；
（3）先分别求出点M，点N到两坐标轴的距离，根据“等距点”的定义分类讨论，列出方程求出k的值，再进行检验即可．
【详解】（1）解：点到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，“短距”为1；
点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，“短距”为1；
点到x轴的距离为3，到y轴的距离为3，“短距”为3；
点到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，“短距”为1；
∴点的“等距点”的是点E，点G．
故答案为：E，G
（2）解：∵点的“短距”为1，
∴或
解得或0或3
当时，点C为，“短距”为1，符合题意；
当时，点C为，“短距”为1，符合题意；
当时，点C为，“短距”为1，符合题意；
综上所述，或或．
（3）解：点到x轴的距离是，到y轴的距离是1，
点到x轴的距离是，到y轴的距离是4，
点M与点N是“等距点”，分以下情况讨论：
①若点M的“短距”为，点N的“短距”为，
则，
解得或，
当时，，，点M与点N不是“等距点”，不合题意；
当时，，，点M与点N不是“等距点”，不合题意；
②若点M的“短距”为，点N的“短距”为4，不可能；
③若点M的“短距”为1，点N的“短距”为，
则，
解得或，
当时，,，点M与点N是“等距点”，符合题意；
当时，，，点M与点N是“等距点”，符合题意；
综上所述，或2．
22．(1)该车平均每千米的耗油量为升/千米，
(2)当千米时，油量的值为升
(3)他们不能在汽车报警前回到家
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，能够列出正确的关系式，并会代入求值是解题的关键．
（1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）代入求出Q值即可；
（3）根据行驶的路程油量平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)，
剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为；
（2）解：当时，（升）．
答：当(千米)时，油量的值为升．
（3）解：(千米)，
∵，
他们不能在汽车报警前回到家．
23．(1)400
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键：
（1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可；
（2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答．
【详解】（1）解：；
故答案为：400；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
则，
解得，
，
∴嘉琪同学的接水时间为．
24．(1)，
(2)②④
(3)证明见解析
【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法；
（1）根据“的圈次方”的定义计算即可；
（2）根据“的圈次方”的定义判断即可；
（1）根据“的圈次方”的定义证明即可．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）解：，
①令，，，此时，故①说法错误；
②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确；
③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误；
④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确；
⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误．
所有正确结论的序号是②④，
故答案为：②④．
（3）解：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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